Диссертация (1149651), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Запишем разложение восприимчивости аналогично (6), но амплитуду пространственной модуляции предположим малой, длячего введем малый параметр перед всеми членами разложения, кроме нулевого:G(q) = G0 δ(q) + +∞Xn=−∞,n6=0Gn δ (q + qn ) ,(53)59где qn =2πnL .Будем искать рассеянное поле R(q) в виде разложения помалому параметру :R(q) =+∞Xm R(m) (q),(54)m=0где индекс в скобках обозначает номер приближения по . Подставим разложения для G(q) и R(q) в уравнение (33):+∞XmR(m) (q) −m=0=+∞Xm=0+∞Xm+1n=−∞,n6=0r − iG0 (r + e2iϕ )δ(q − kx ) − 1 − iG0 (re2iϕ + 1)ia− (q, q + qn )Gn1−+∞Xia− (q, q) kkz2z2(k(q)x ) G0kz2 (q + qn )R(m) (q + qn ) =kz2 (kx )ia+ (kx − qn , kx )Gnkz2 (kx −qn )n=−∞,n6=0 1 − ia− (kx − qn , kx − qn ) kz2 (kx ) G0δ (q − kx + qn ) .(55)Выпишем множители при 0 :r − irG0 − iG0 e2iϕR(0) (q) =δ(q − kx ).1 − iG0 − irG0 e2iϕ(56)Введем коэффициент R(0)0 (он совпадает с коэффициентом R0 для отражения от ”экситонного зеркала” (35)):R(0)0r − irG0 − iG0 e2iϕ=.1 − iG0 − irG0 e2iϕ(57)Выпишем множители при 1 , и подставим в них R(0)0 :R(1) (q) =+∞XiGn a− (kx − qn , kx )R(0)0 − a+ (kx − qn , kx )n=−∞,n6=0x −qn )1 − ia− (kx − qn , kx − qn ) kz2k(kG0z2 (kx )δ(q − kx + qn ).(58)Введем коэффициенты R(1)n :R(1)n =iGn a− (kx − qn , kx )R(0)0 − a+ (kx − qn , kx )x −qn )G01 − ia− (kx − qn , kx − qn ) kz2k(kz2 (kx ).(59)60Множители при p для p > 1 выглядят следующим образом:R(p) (q) =+∞Xia− (q, q + qn )Gnkz2 (q + qn )R(p−1) (q + qn ).kz2 (q)k(k)z2xn=−∞,n6=0 1 − ia− (q, q) kz2 (kx ) G0(60)Рекуррентное выражение для расчета коэффициентов p-ой поправки jого дифракционного рефлекса выглядит следующим образом:R(p)j =+∞Xkz2 (kx −qj−n )Gnkz2 (kx )R(p−1)j−n .k (kx −qj )qj ) z2kz2 (kG0x)ia− (kx − qj , kx − qj−n )n=−∞,n6=0 1 − ia− (kx − qj , kx −(61)При вычислении каждого последующего приближения по возникаюттолько δ-функции вида δ(q − kx + qn ), т.е.
при последовательном уточнениивыражения для рассеянного поля, не возникает направлений, кроме определяемых основным уравнением дифракции (15). Таким образом, разложение (54)принимает следующий вид:R(q) =+∞+∞ XXp R(p)m δ(q − kx + qm ).(62)p=0 m=−∞Отметим некоторые особенности этого разложения:• Каждая последующая поправка вычисляется на основе значений всех коэффициентов предыдущей поправки.• Коэффициент R(0)0 соответствует отражению от ”экситонного зеркала” сэффективной восприимчивостью g(x) = G0 .• Поправки для отражения возникают только для членов разложения ∼ 2и далее (т.е.
R(p)0 6= 0 для p = 0 и p ≥ 2).• При расчете коэффициентов R(p)m при больших m следует учитывать возможность возникновения эванесцентных волн при дифракции на решетке,а также полного внутреннего отражения на границе I/II (рис. 13).61Приведенные формулы могут быть использованы для нахождения спектральных зависимостей коэффициентов отражения и дифракционных эффективностей.2.7Сравнение приближенийДля сравнения между собой полученных в приближении однократного рассеяния и при разложении точного решения уравнения Максвелла коэффициентовотражения и дифракционных эффективностей рассмотрим простейший случайпадения света p-поляризации под углом Брюстера (θ1 = θBr ) на решетку ссимметричными полосами (α = 21 ).
Ограничимся также рассмотрением толькоотражения (n = 0) и первого дифракционного рефлекса (n = 1).2.7.1Однократное рассеяниеИз выражений (19) получим следующие выражения для спектров отражения идифракции:Kn (∆ω) =ΓN R1 +ΓN R2 222ΓR ∆ω +22 (∆ω 2 + ΓN R1 ) (∆ω 2 + Γ2N R2 ) ,n = 0,(63)14Γ2R (ΓN R2 − ΓN R1 )2·, n = 1. 2π (∆ω 2 + Γ2N R1 ) (∆ω 2 + Γ2N R2 )Введем коэффициенты отражения от однородных ”экситонных зеркал” вприближении однократного рассеяния:Γ2R,KM 1,2 (∆ω) =∆ω 2 + Γ2N R1,2Также введем контраст η =ΓN R2 −ΓN R1ΓN R1 +ΓN R2 .(64)Коэффициент отражения идифракционные эффективности ”экситонной дифракционной решетки” могут быть выражены через коэффициенты отражения однородных зеркалKM 1,2 (∆ω) следующим образом:62Kn (∆ω) =1111+ η KM 2 (∆ω) +− η KM 1 (∆ω), n = 0, 2 42 4 η (K (∆ω) − K (∆ω)) ,M1M2π2(65)n = 1.Таким образом, отражение от дифракционной решетки определяется суммой коэффициентов отражения однородных зеркал с различными весами, а дифракция — разницей.2.7.2Разложение точного решения уравненияМаксвеллаОграничимся первыми двумя членами разложения — R(0)0 и R(1)1 .
Для случая падения в p-поляризации под углом Брюстера (r = 0) получим следующеевыражение для x-проекции волнового вектора:n21kxBr = k p 2.n1 + n22(66)В этом случае выражение для R(0)0 примет следующий вид:R(0)0 =iG0 2iϕe .iG0 − 1(67)Рассмотрим случай малоугловой дифракции, т.е. qn kx . Тогда для R(1)1получим следующее выражение:R(1)1 = −iG1e2iϕ .2(iG0 − 1)(68)Запишем восприимчивости полос для наиболее интересного в рамках данной работы случая модуляции только нерадиационного уширения ΓN R :g1,2 =ΓR.∆ω − iΓN R1,2(69)63Подставим восприимчивость в коэффициенты разложения G0 и G1 , и найдем спектры отражения и дифракции в приближении разложения до членов∼ 1 (K(1)0 = |R(0)0 |2 и K(1)1 = |R(1)1 |2 ):K(1)n (∆ω) =ΓN R1 +ΓN R2 222(∆ω+Γ)R2, (∆ω 2 + Γ̃21 )(∆ω 2 + Γ̃22 )n = 0,1 4Γ2R (ΓN R2 − ΓN R1 )2 (∆ω 2 + Γ2N R1 )(∆ω 2 + Γ2N R2 ), n = 1. π2 ·(∆ω 2 + Γ̃21 )2 (∆ω 2 + Γ̃22 )2(70)где Γ̃1,2 введены следующим образом:sΓ̃1,2 =Γ2N R1 + Γ2N R2 + (ΓN R1 + ΓN R2 + ΓR )(ΓR ±2p(ΓN R2 − ΓN R1 )2 + Γ2R.(71)На рис.
17, а и б показан пример расчета спектров отражения и дифракции с использованием двух описанных приближений для приведенных на рисунке параметров экситонного резонанса. Видно, что качественное поведениеспектров отражения и дифракции схоже, но количественно наблюдается значительное расхождение: приближение однократного рассеяния предсказываетбольший коэффициент отражения и меньшую дифракционную эффективностьпо сравнению с разложением точного решения уравнения Максвелла. Далеебудет рассматриваться только последнее.В отсутствии пространственной модуляции восприимчивости (ΓN R1,2 →ΓN R ) получаем Γ̃1 → ΓN R , Γ̃2 → ΓN R + ΓR , и первое выражение в (70) принимает вид функции Лоренца, являющейся точным решением (38) уравнений Максвелла для однородной квантовой ямы.
В присутствии модуляции качественноеповедение K0 (∆ω) ∼1∆ω 2вдали от резонанса сохраняется. Формируемый благо-даря контрасту пространственной модуляции дифракционный отклик спадаетгораздо быстрее: K1 (∆ω) ∼1∆ω 4 .По той же причине ширина на половине высо-ты спектральной особенности в K1 (∆ω) меньше ширины на половине высотыспектральной особенности в K0 (∆ω).64Рис. 17: Теоретически рассчитанные коэффициент отражения (а) и дифракционная эффективность первого рефлекса (б) для приведенных параметров экситонного резонанса в приближении однократного рассеяния (пунктир) и разложения точного решения уравнения Максвелла (сплошная линия). На вкладкепоказаны дифракционные эффективности в логарифмическом масштабе.
(в)Температурная зависимость резонансных коэффициентов (коэффициенты нормированы на значение в нуле температуры).При увеличении температуры образца увеличивается связанное с рассеянием на фононной подсистеме однородное уширение экситонного резонансаΓ2 (T ). Уширение приводит к уменьшению резонансного коэффициента отражения по закону K0 (0) ∼1.Γ22 (T )Одновременно с уширением происходит ослаб-ление контраста дифракционной решетки, что приводит к более быстрому посравнению с отражением затуханию резонансной дифракционной эффективности по закону K1 (0) ∼1.Γ42 (T )На рис. 17, в показаны теоретические зависимостинормированных на значение при нулевой температуре резонансных коэффициентов K0 (0) и K1 (0) от однородного уширения Γ2 (T ) для модели разложенияточного решения уравнения Максвелла.652.8Максимальная дифракционнаяэффективностьДля практического применения резонансных дифракционных решеток важнымвопросом являются условия, при которых достигается максимальная дифракционная эффективность.
Для этого, из полученных в разделе 2.6 выраженийопределим резонансные (∆ω = 0) коэффициенты отражения и дифракции дляслучая Брюстеровской геометрии (θ1 = θBr ), малоугловой дифракции (отражение дифракционных рефлексов от границы II/I не учитывается) и произвольнойвеличины коэффициента заполнения α:K(1)n (0) =Γ2R (ΓN R1 (1 − α) + ΓN R2 α)2, (ΓN R1 ΓN R2 + ΓR (ΓN R1 (1 − α) + ΓN R2 α))2n = 0,Γ2R Γ2N R1 Γ2N R2 (ΓN R2 − ΓN R1 )2sin(πα)2·, n = 1.π2(ΓN R1 ΓN R2 + ΓR (ΓN R1 (1 − α) + ΓN R2 α))4(72)Найдем условия, при которых достигается максимальная резонансная дифракционная эффективность K(1)1 .
Радиационная ширина резонанса ΓR и нерадиационное уширение немодулированной полосы ΓN R1 задаются условиями роста и эксперимента, поэтому эти параметры можно считать фиксированными.Очевидно, что в этом случае максимум резонансной дифракционной эффективности достигается при максимальном контрасте между полосами решетки, т.е.при ΓN R2 → +∞, и равен следующей величине (далее обозначим γ =γ 2 sin(πα)2lim K(1)1 (0) = 2 ·.ΓN R2 →+∞π (α + γ)4ΓN R1ΓR ):(73)Значение αmax , при котором достигается максимум этого выражения, может быть найден как нуль первой производной по α, что приводит к следующему трансцендентному уравнению на αmax :ctg(παmax ) =2π(αmax + γ).(74)66Вблизи αmax =12котангенс может быть аппроксимирован первыми двумячленами разложения в ряд:ctg(παmax ) ≈ π1− αmax .2(75)С использованием этой аппроксимации можно найти приближенное выражение для αmax :αmax1 − 2γ+≈4s1 + 2γ42−2.π2(76)На рис.
18 показано численное решение уравнения (74), и предложеннаяаппроксимация. Видно, что для достаточно больших γ для нахождения корней возможно использовать аппроксимирующую функцию. При любых γ максимальная резонансная дифракционная эффективность достигается при модулированной полосе шире немодулированной (αmax ≤ 12 ). На вкладке рисункапоказана зависимость максимальной резонансной дифракционной эффективности от параметра γ, полученная путем подстановки корня трансцендентногоуравнения αmax в выражение (73). Из рисунка видно, что для реалистичныхзначений γ максимальная резонансная дифракционная эффективность в Брюстеровской геометрии достигает 1 – 3%.Выше предполагалось, что нерадиационная ширина немодулированнойполосы решетки ΓN R1 не зависит от ΓN R2 (что позволило выполнить переходΓN R2 → +∞).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
