Диссертация (1149651), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Других дифракционных рефлексов вне структурыне наблюдается.На рис. 12 показаны угловые положения первого дифракционного рефлекса для различных длин волн, соответствующих резонансам экситонов в квантовых ямах в образце P566. Для резонансов, столь близко расположенных поспектру, разброс углов распространения достаточно мал.Рис. 12: Зависимость угла распространения первого дифракционного рефлексаϕ11 от угла падения θ1 вблизи угла Брюстера при периоде решетки 9 мкм дляэкситонных резонансов квантовых ям в образце P566 при температуре 10 К.Введем коэффициенты, описывающие долю интенсивности падающегосвета, распространяющуюся в каждом из дифракционных направлений с номерами n: Kn = |R(qn )|2 = |Gn |2 , где K0 — коэффициент отражения, Kn —дифракционная эффективность n-ого рефлекса.Рассмотрим ситуацию, когда описываемая выражением (5) периодическая пространственная модуляция квантовой ямы представляет собой изменение всех трех параметров экситонного резонанса, т.е.

когда восприимчивостиполос g1 и g2 описываются выражением (8) с различными тройками параметров:ΓR1 , ΓN R1 , ω1 , и ΓR2 , ΓN R2 , ω2 . Введем отстройки ∆ω1 = ω − ω1 и ∆ω2 = ω − ω2 .Подставим эти параметры в (5), и найдем спектральные зависимости коэффи-45циентов Kn :Kn (ω) =(ΓR1 ∆ω2 α + ΓR2 ∆ω1 (1 − α))2 + (ΓR1 ΓN R2 α + ΓR2 ΓN R1 (1 − α))2, n = 0,(∆ω12 + Γ2N R1 ) (∆ω22 + Γ2N R2 )sin2 (πnα) (ΓR1 ∆ω2 − ΓR2 ∆ω1 )2 + (ΓR1 ΓN R2 − ΓR2 ΓN R1 )2·,π 2 n2(∆ω12 + Γ2N R1 ) (∆ω22 + Γ2N R2 )n 6= 0.(18)Эти выражения представляют собой спектры отражения K0 (ω) и дифракции Kn (ω), которые могут быть измерены непосредственно в эксперименте.Как будет показано в Главе 3, модификация квантовых ям ионным пучкомпосле эпитаксиального роста приводит, в первую очередь, к модуляции неоднородного уширения экситонного резонанса в связи с различной плотностьюдефектов в облученных и необлученных областях.

Найдем значения коэффициентов для этого случая, т.е. при ΓR1 = ΓR2 = ΓR и ∆ω1 = ∆ω2 = ∆ω:Kn (∆ω) =222ΓR ∆ω + (αΓN R2 + (1 − α)ΓN R1 ),(∆ω 2 + Γ2N R1 ) (∆ω 2 + Γ2N R2 )n = 0,(19)222sin(πnα)Γ(Γ−Γ)NR2NR1R·, n 6= 0.π 2 n2(∆ω 2 + Γ2N R1 ) (∆ω 2 + Γ2N R2 )2.4Точное решение уравнений МаксвеллаПриближение однократного рассеяния справедливо лишь в случае малой радиационной ширины экситонного резонанса ΓR . Кроме того, выше был рассмотрен лишь случай Брюстеровской геометрии, а отражением дифрагировавшегосвета при прохождении границы II/I пренебрегалось, что неверно для случаядифракции на большой угол. Более точную модель можно получить путем решения уравнений Максвелла, что и будет проделано в данном разделе.Рассматриваемая в данном разделе структура, показанная на рис. 13,алогична рассмотренной выше (рис.

9). Пусть из верхнего полупространства46I под углом θ1 падает электромагнитная волна амплитудой A с p-поляризацией~ = (Ex , 0, Ez ), а магнитное —(электрическое поле такой волны имеет вид E~ = (0, Hy , 0)). Искомое рассеянное в верхнее полупространство I поле предHставим в виде разложения по x-компонентам волнового вектора (обозначим ихq) с коэффициентами A·R(q). Аналогичным образом введем нисходящее A·B(q)и восходящее A · D(q) поля в слое II, и нисходящее (прошедшее) поле A · T (q) внижнем полупространстве III. Восходящее поле в полупространствеIII примемqравным нулю.

Введем z-проекцию волнового вектора kzj (q) =k 2 n2j − q 2 в сре-де с показателем преломления nj , где j = 1, 2. Отметим, что kzj (kx ) = knj cos θj .Rz0n1yxn2IADBIIQW-hn2TIIIРис. 13: Геометрия задачи при точном решении уравнений Максвелла. QW —слой пространственно-модулированной квантовой ямы.Будем искать решение в виде функции, удовлетворяющей уравнениямМаксвелла в каждом из слоев I, II и III по отдельности: RRi(qx−zkz1 (q))Aeδ(q−k)dq+AR(q)ei(qx+zkz1 (q)) dq, z ∈ I,x RRHy (x, z) =A B(q)ei(qx−zkz2 (q)) dq+ A D(q)ei(qx+zkz2 (q)) dq, z ∈ II, A R T (q)ei(qx−zkz2 (q)) dq,z ∈ III.(20)Интегрирование подразумевается по всевозможным значениям q.

Выпишем также производную от этой функции по z:47∂Hy (x,z)∂zRRi(qx−zkz1 (q))−iAk(k)eδ(q−k)dq+iAkz1 (q)R(q)ei(qx+zkz1 (q) dq, z ∈ I,z1xxRR=−iA kz2 (q)B(q)ei(qx−zkz2 (q)) dq+ iA kz2 (q)D(q)ei(qx+zkz2 (q)) dq, z ∈ II,R −iA kz2 (q)T (q)ei(qx−zkz2 (q)) dq,z ∈ III.(21)Из уравнений Максвелла можно получить следующие граничные условиядля границ I/II и II/III:∂Hy∂Hy(−h + 0) =(−h − 0)∂z∂z1 ∂Hy1 ∂Hy(0 + 0) = 2(0 − 0)2n1 ∂zn2 ∂z(22)Hy (0 + 0) − Hy (0 − 0) = 01 ∂Hy Hy (−h + 0) − Hy (−h − 0) = 4πg̃(x) 2(−h)n2 ∂zДалее будут использованы следующие замены:• Введем эффективную восприимчивость g(x):g(x) =2πkz2 (kx )g̃(x).n22(23)Представим g(x) в виде Фурье-разложения:ZG(q)eiqx dq.g(x) =(24)Коэффициенты разложения могут быть найдены с помощью обратногопреобразования Фурье:1G(q) =2πZg(x)e−iqx dx.(25)48• Введем набег фазы при прохождении светом слоя II в одну сторону: ϕ(q) =hkz2 (q).

Также введем набег фаз для преломленной волны ϕ = ϕ(kx ) =hkn2 cos θ2 .• Введем функцию b(q) следующим образом:b(q) =n22 kz1 (q).n21 kz2 (q)(26)Также введем обозначение:b = b(kx ) =n2 cos θ1.n1 cos θ2(27)После подстановки выражения для поля (20) в граничные условия (22) сучетом замен получим следующую систему уравнений:B(q) − D(q)e−2iϕ(q) − T (q) = 0 b(q)R(q) + B(q) − D(q) = bδ(q − k )xR(q) − B(q) − D(q) = −δ(q − kx ) B(q) + D(q)e−2iϕ(q) + 2i R kz2 (q0 ) G(q − q 0 )T (q 0 )e−i(ϕ(q)−ϕ(q0 )) dq 0 − T (q) = 0kz2 (kx )(28)Из этого уравнения можно выразить R(q):ZR(q) − i 0kz2 (q 0 )b(q ) − 1 i(ϕ(q)+ϕ(q0 )) b(q 0 ) + 1 i(ϕ(q)−ϕ(q0 ))00G(q − q )R(q )e+edq 0 =kz2 (kx )b(q) + 1b(q) + 1b−1b + 1 i(ϕ(q)+ϕ)b − 1 i(ϕ(q)−ϕ)= δ(q − kx )− iG(q − kx )e+e.

(29)b+1b(q) + 1b(q) + 1Введем следующую функцию:b(q 0 ) ± 1r± (q, q ) =.b(q) + 10(30)Для случая r− (kx , kx ) получаем простое ”Френелевское” выражение (обозначим его r):49r = r− (kx , kx ) =n2 cos θ1 − n1 cos θ2.n2 cos θ1 + n1 cos θ2(31)На рис. 14 показан график функции r(θ1 ) и коэффициента отражения поформуле Френеля r2 (θ1 ). Углу Брюстера соответствует r(θBr ) = 0, касательному падению r(90◦ ) = −1, а максимальное значение функция r(θ1 ) достигаетпри падении по нормали к образцу, и оно равно rmax = r(0◦ ) =n2 −n1n2 +n1≤ 1.Рис. 14: Функция r(θ1 ) (сплошная линия) и ее квадрат (пунктир) при падениисвета из вакуума (n1 = 1) на GaAs (n2 = 3.6).

Пунктиром обозначен уголБрюстера.Также введем интерференционный множитель:0i(ϕ(q)+ϕ(q 0 ))a± (q, q ) = e00−2iϕ(q 0 )r∓ (q, q ) + r± (q, q )e.(32)С учетом этих замен получим интегральное уравнение, позволяющее найти угловое распределение рассеянного над образцом поля R(q) по Фурье-образувосприимчивости G(q):50ZR(q) − ikz2 (q 0 )a− (q, q 0 )G(q − q 0 ) R(q 0 ) dq 0 = rδ(q − kx ) − ia+ (q, kx )G(q − kx ).kz2 (kx ){z}|K(q,q 0 )(33)Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром K(q, q 0 ),которое не может быть представлено ни в виде K(q −q 0 ), ни в виде K1 (q)K2 (q 0 ).Отметим, что на данном этапе никаких предположений о виде функции G(q)не делалось.2.5Экситонное зеркалоРассмотрим случай однородной в пространстве квантовой ямы (”экситонногозеркала”), когда g(x) = G0 .

Тогда Фурье-разложение восприимчивости приметследующий вид:G(q) = G0 δ(q).(34)Подставим это выражение в уравнение (33). Для столь простого вида функции G(q), распределение R(q) может быть найдено в виде R(q) =R0 δ(q − kx ), где:r − irG0 − iG0 e2iϕ.R0 =1 − iG0 − irG0 e2iϕ(35)В случае рассеяния на однородном ”экситонном зеркале” рассеянное поле принимает вид отраженной плоской волны амплитудой R0 с той же xкомпонентой волнового вектора, что и падающая волна, т.е. выполняется равенство угла падения и угла отражения. Подставим восприимчивость в видесуммы мнимой и вещественной частей G0 = G00 + iG000 , и найдем коэффициентотражения KR :512KR = |R0 |2 = r2 +2(1 − r ) r + 1 + 2r1+2G000|G0 |21++ r2 + 1 + 2r 1 +G000|G0 |2G000|G0 |2cos 2ϕ +G00|G0 |2sin 2ϕcos 2ϕ +G00|G0 |2sin 2ϕ .(36)Подстановка выражений для восприимчивости квантовой ямы (9) и (10)приводит к следующему выражению:ΓN R∆ω− r ) r + 2r 1 + ΓR cos 2ϕ − ΓR sin 2ϕ + 12 .KR (∆ω) = r +ΓN R∆ω2222∆ω + (ΓR + ΓN R ) + ΓR r + 2r 1 + ΓR cos 2ϕ − ΓR sin 2ϕ(37)Γ2R (122Это выражение позволяет определить спектральное поведение коэффициента отражения от однородной квантовой ямы с параметрами экситонногорезонанса ΓR , ΓN R и ω0 , расположенной на глубине h (задающей набег фаз ϕ)при произвольном угле падения θ1 (задающим r).

Рассмотрим подробнее особыеслучаи, приводящие к упрощению этого выражения.2.5.1Геометрия БрюстераПри падении света под углом Брюстера θ1 = θBr величина r обращается в ноль,и коэффициент отражения принимает следующий вид:KR (∆ω) =Γ2R.∆ω 2 + (ΓR + ΓN R )2(38)Это выражение представляет собой лоренцеву кривую с резонансным коэффициентом отражения KR (0) =Γ2R,Γ2N Rи полушириной на половине высотыΓ = ΓR + ΓN R . Измерение этих величин в эксперименте позволяет восстановитьрадиационную ширину и нерадиационное уширение экситонного резонанса:pΓR = Γ KRR ,ΓN Rp= Γ 1 − KRR .(39)(40)52Отметим, что аналогичное выражение для коэффициента отражениясправедливо для любого угла падания в случае n1 = n2 .2.5.2Компенсация дисперсии коэффициента отраженияВ случае отсутствия слоя с восприимчивостью (G0 = 0), выражение (37) принимает спектрально-независимый вид формулы Френеля KR (∆ω) = r2 (рис. 14).Существуют ситуации, когда такой спектрально-независимый коэффициент отражения наблюдается и при наличии резонансной восприимчивости, т.е.

возникает эффект компенсации дисперсии коэффициента отражения. Для исчезновения спектральной зависимости необходимо, чтобы дробь в (37) была равнанулю, что возможно при r, определяемым следующим уравнением:r2 + 2rΓN R1+ΓR∆ωcos 2ϕ −sin 2ϕ + 1 = 0.ΓR(41)Корни этого уравнения будут спектрально-независимыми только приsin 2ϕ = 0, т.е. при ϕ = m π2 . Вблизи резонанса и для малых (порядка единиц длин волн) толщин покрывающего слоя h можно пренебречь спектральнойзависимостью набега фаз, и это условие может быть переписано как условие натолщину покрывающего слоя:h=mλλ2=m,4n2 cos θ24 cos θ2(42)где λ2 — длина волны света в слое II (рис. 13). Для GaAs (n2 ≈ 3.6) припадении света из среды I угол преломления θ2 может принимать значения от 0◦до 16.1◦ . При этом, cos θ2 принимает значения от 1 до 0.958, поэтому условиеможно приближенно переписать как h ≈ m λ42 , т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации