Диссертация (1149648), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

 íåêîòîðûõ ðàáîòàõ, íàïðèìåð [34, 32], ïðåäñòàâëåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷èïîñòðîåíèÿ ïðîãðàììíîãî óïðàâëåíèÿ êàê äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì, òàê è äëÿ íåëèíåéíîãî ñëó÷àÿ. Îäíàêî â ýòîì àíàëèòè÷åñêîì ðåøåíèè èñïîëüçóåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû, ïîëó÷èòü êîòîðóþ äàæå â ñëó÷àå ëèíåéíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì.3.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷óẋ = f (x, u, t), t ∈ [0, T ],(3.1)x(0) = x0 ,(3.2)x(T ) = xT .(3.3)Ñ÷èòàåì ñèñòåìó (3.1) óïðàâëÿåìîé [34] èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ (3.2) â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (3.3).

Çäåñü T > 0 çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè, f (x, u, t) âåùåñòâåííàÿ n-ìåðíàÿâåêòîð-ôóíêöèÿ, x n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò, êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòüíåïðåðûâíîé ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà [0, T ] ïðîèçâîäíîé, x0 , xT ∈ Rn çàäàííûå âåêòîðû. Ïðåäïîëàãàåì f (x, u, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïî x è u è íåïðåðûâíîé ïîâñåì òð¼ì àðãóìåíòàì. Ïóñòü m-ìåðíîå óïðàâëåíèå u ïðèíàäëåæèò ñëåäóþùåìó ìíîæåñòâó33äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèéU = u ∈ Pm [0, T ] ZTu(t), u(t) dt 6 C ,(3.4)0ãäå C çàäàííàÿ êîíñòàíòà.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.

Òðåáóåòñÿ ïîäîáðàòü òàêîå óïðàâëåíèå, êîòîðîå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé (3.4) è ïåðåâîäèò ñèñòåìó (3.1) èç íà÷àëüíîãîïîëîæåíèÿ (3.2) â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (3.3) çà âðåìÿ T .3.2Ñâåäåíèå ê âàðèàöèîííîé çàäà÷åÏîëîæèì z(t) = ẋ(t), z ∈ Pn [0, T ]. Òîãäà ñ ó÷¼òîì (3.2) èìååìZ tz(τ )dτ.x(t) = x0 +0Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàëZ1 TI(z, u) =ϕ(z, u, t), ϕ(z, u, t) dt +2 0Z TnX+ max{0,u(t), u(t) dt − C} +ψi (z),0(3.5)i=1ãäåZϕ(z, u, t) = z(t) − f x0 +tz(τ )dτ, u, t ,0TZψi (z) = |ψ i (z)|, ψ i (z) = x0i +zi (t)dt − xT i , i = 1, n,0à x0i i-àÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà x0 , xT i i-àÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà xT , i = 1, n.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèîíàë (3.5) íåîòðèöàòåëåí äëÿ âñåõ z ∈ Pn [0, T ] è äëÿ âñåõu ∈ Pm [0, T ] è îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êå [z ∗ , u∗ ] ∈ Pn [0, T ] × Pm [0, T ] òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âåêòîð-ôóíêöèÿ∗Zx (t) = x0 +tz ∗ (τ )dτ0ÿâëÿåòñÿ ïðîãðàììíûì äâèæåíèåì, ñîîòâåòñòâóþùèì èñêîìîìó ïðîãðàììíîìó óïðàâëåíèþu∗ ∈ U .3.3Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìàÂâåä¼ì ìíîæåñòâîΩ = z ∈ Pn [0, T ] x0 +Z034Tz(t)dt = xT .Íàì òàêæå ïîòðåáóþòñÿ èíäåêñíûå ìíîæåñòâàI0 = {i = 1, n | ψ i (z) = 0},I− = {i = 1, n | ψ i (z) < 0},I+ = {i = 1, n | ψ i (z) > 0}è ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà óïðàâëåíèéTZU0 = u ∈ Pm [0, T ] u(t), u(t) dt − C = 0 ,0TZU− = u ∈ Pm [0, T ] u(t), u(t) dt − C < 0 ,0TZU+ = u ∈ Pm [0, T ] u(t), u(t) dt − C > 0 .0Ôóíêöèîíàë I ñóáäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå [z, u]âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåÒåîðåìà 3.3.1.∂I(z, u) =nhZz(t) − f (x, u, t) −T ∂f (x, u, τ ) 0∂xt+Xωi ei +nXµj ej , − ∂f (x, u, t) 0j=1i∈I0z(τ ) − f (x, u, τ ) dτ +iz(t) − f (x, u, t) + 2νu ωi ∈ [−1, 1], i ∈ I0 ,∂uµj = 0, j ∈ I0 , µj = 1, j ∈ I+ , µj = −1, j ∈ I− ,oν ∈ [0, 1], u ∈ U0 , ν = 1, u ∈ U+ , ν = 0, u ∈ U− .Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü v ∈ Pn[0, T ]. Âû÷èñëèì êëàññè÷åñêóþ âàðèàöèþ ôóíêöèîíàëà ψi,i = 1, n. ÈìååìZψi (z + αv) = |x0i +Tzi (t) + αvi (t)dt − xT i | = ψi (z)+0 Z Tαei , v(t) dt + o(α), i ∈ I+ ,0 Z To(α)+ α→ 0 ïðè α ↓ 0.− ei , v(t) dt + o(α), i ∈ I− ,α0Z T α maxωi ei , v(t) dt + o(α), i ∈ I0 ,ωi ∈[−1,1]0Ïóñòüw ∈ Pn [0, T ]. ÄàëååZ Tmax{0,u(t), u(t) dt − C}.

Èìååìíàéä¼ìêëàññè÷åñêóþâàðèàöèþôóíêöèîíàëà0Zmax{0,Tu(t) + αw(t), u(t) + αw(t) dt − C} = max{0,0Z035Tu(t), u(t) dt − C}++ Z Tα2u(t), w(t) dt + o(α), u ∈ U+ ,00 + o(α), u ∈ U− ,Z T α max2νu(t), w(t) dt + o(α), u ∈ U0 ,ν∈[0,1]o(α)→ 0 ïðè α ↓ 0.α01Êëàññè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëà2â Òåîðåìå 2.7.2.ZTϕ(z, u, t), ϕ(z, u, t) dt áåð¼òñÿ òàê æå, êàê0Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñóáäèôôåðåíöèàëà ∂I(z, u), êîòîðîå âûïèñàíîâ ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû.Òåîðåìà äîêàçàíà.Åñëè z ∈ Ω, u ∈ U , òî ôóíêöèîíàë I ñóáäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå [z, u] âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåÑëåäñòâèå 3.3.1.∂I(z, u) =nhZz(t) − f (x, u, t) −T ∂f (x, u, τ ) 0z(τ ) − f (x, u, τ ) dτ +∂x ∂f (x, u, t) 0iωi ei , −z(t) − f (x, u, t) + 2νu ωi ∈ [−1, 1], i = 1, n,∂uoν ∈ [0, 1], u ∈ U0 , ν = 0, u ∈ U− .t+nXi=1(3.6)Äîêàçàòåëüñòâî.  ñëó÷àå z ∈ Ω, u ∈ U èìååì I+ = ∅, U+ = ∅, è òîãäà ñîîòíîøåíèå (3.6)ñëåäóåò èç Òåîðåìû 3.3.1.Åñëè ñèñòåìà (3.1) ëèíåéíà ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì x è ïî óïðàâëåíèþ u,òî ôóíêöèîíàë I ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðåäñòàâèì ôóíêöèîíàë (3.5) â âèäåËåììà 3.3.1.1I(z, u) = I1 (z, u) + I2 (u) + I3 (z),2ãäå I1 (z, u), I2 (u), I3 (z) ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå èç ïðàâîé ÷àñòè (3.5). ÔóíêöèîíàëûI2 (u) è I3 (z) âûïóêëû êàê ìàêñèìóìû âûïóêëûõ ôóíêöèîíàëîâ [24]. Ïîêàæåì âûïóêëîñòüôóíêöèîíàëà I1 â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè ñèñòåìû (3.1).Ïóñòü ñèñòåìà (3.1) èìååò âèäẋ = A(t)x + B(t)u + w(t),ãäå A(t) n × n-ìàòðèöà, B(t) n × m-ìàòðèöà, w(t) n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ. Ñ÷èòàåì A(t), B(t), w(t) âåùåñòâåííûìè è íåïðåðûâíûìè íà [0, T ].

Ïóñòü z1 , z2 ∈ Pn [0, T ],u1 , u2 ∈ Pm [0, T ], α ∈ (0, 1). Èìååì I1 α(z1 , u1 ) + (1 − α)(z2 , u2 ) = αz1 (t) + (1 − α)z2 (t)−36−A(t) x0 +Zt αz1 (τ ) + (1 − α)z2 (τ ) dτ −022 −B(t) αu1 (t) + (1 − α)u2 (t) − w(t) = αϕ(z1 , u1 ) + (1 − α)ϕ(z2 , u2 ) =Z TZ T2ϕ(z1 , u1 ), ϕ(z1 , u1 ) dt + 2α(1 − α)ϕ(z1 , u1 ), ϕ(z2 , u2 ) dt+=α00+(1 − α)2TZϕ(z2 , u2 ), ϕ(z2 , u2 ) dt = αTZ0ϕ(z1 , u1 ), ϕ(z1 , u1 ) dt+0TZϕ(z1 , u1 ), ϕ(z2 , u2 ) dt + 2α(1 − α)+(1 − α)Z0Tϕ(z1 , u1 ), ϕ(z1 , u1 ) dt − α(1 − α)−α(1 − α)0=αϕ(z1 , u1 ), ϕ(z2 , u2 ) dt−0ZZTTZϕ(z2 , u2 ), ϕ(z2 , u2 ) dt =0Tϕ(z1 , u1 ), ϕ(z1 , u1 ) dt + (1 − α)0ZTϕ(z2 , u2 ), ϕ(z2 , u2 ) dt−0Z−α(1 − α)Tϕ(z1 , u1 ) − ϕ(z2 , u2 ), ϕ(z1 , u1 ) − ϕ(z2 , u2 ) dt.0 ñèëó íåîòðèöàòåëüíîñòè ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî èìååì äëÿ âñåõ z1 , z2∈ Pn [0, T ],u1 , u2 ∈ Pm [0, T ], α ∈ (0, 1)I1 α(z1 , u1 ) + (1 − α)(z2 , u2 ) 6 αI1 (z1 , u1 ) + (1 − α)I1 (z2 , u2 ),÷òî è äîêàçûâàåò âûïóêëîñòü ôóíêöèîíàëà I1 .Òåïåðü îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèîíàë I ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì (â ñëó÷àå ëèíåéíîñòèèñõîäíîé ñèñòåìû) êàê ñóììà âûïóêëûõ ôóíêöèîíàëîâ [24].Ëåììà äîêàçàíà.Èçâåñòíî, ÷òî íåîáõîäèìûì, à â ñëó÷àå âûïóêëîñòè è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ìèíèìóìàôóíêöèîíàëà (3.5) â òî÷êå [z ∗ , u∗ ] â òåðìèíàõ ñóáäèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå [23]0n+m ∈ ∂I(z ∗ , u∗ ),ãäå 0n+m íóëåâîé ýëåìåíòà ïðîñòðàíñòâà Pn [0, T ] × Pm [0, T ].

Îòñþäà è èç Ëåììû 3.3.1çàêëþ÷àåì, ÷òî ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà 3.3.2. Äëÿ òîãî ÷òîáû óïðàâëåíèå u∗ ∈ U ïåðåâîäèëî ñèñòåìó (3.1) èç íà÷àëüíîãîïîëîæåíèÿ (3.2) â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (3.3) çà âðåìÿ T , íåîáõîäèìî, à â ñëó÷àå ëèíåéíîñòèñèñòåìû (3.1) è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû0n+m ∈ ∂I(z ∗ , u∗ ),ãäå âûðàæåíèå äëÿ ñóáäèôôåðåíöèàëà ∂I(z, u) âûïèñàíî â ôîðìóëå (3.6).37(3.7)3.4Ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêàÍàéä¼ì ìèíèìàëüíûé ïî íîðìå ñóáãðàäèåíòh = h(t, z, u) ∈ ∂I(z, u)â òî÷êå [z, u], òî åñòü ðåøèì çàäà÷óhZ2min ||h|| = minh∈∂I(z,u)ωi , i∈I0 , νTs1 (t) +0XZ2s1 (t) = s1 (t) +nX2 is2 (t) + 2νu dt ,(3.8)0i∈I0ãäåTωi ei dt +µj e j ,j=1ZTs1 (t) = z(t) − f (x, u, t) − ∂f (x, u, τ ) 0∂xts2 (t) = − ∂f (x, u, t) 0∂uz(τ ) − f (x, u, τ ) dτ,z(t) − f (x, u, t) ,à âåëè÷èíû ωi , i ∈ I0 , µj , j = 1, n, ν îïðåäåëåíû â Òåîðåìå 3.3.1.Çàäà÷à (3.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé è ìîæåò áûòü ðåøåíà îäíèì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ [17], [18].Îáîçíà÷èì ωi∗ , i ∈ I0 , ν ∗ å¼ ðåøåíèå.

Òîãäà âåêòîð-ôóíêöèÿhiXG(t, z, u) := h∗ = s1 (t) +ωi∗ ei , s2 (t) + 2ν ∗ ui∈I0ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ïî íîðìå ñóáãðàäèåíòîì ôóíêöèîíàëà I â òî÷êå [z, u]. ÅñëèG(t,z,u)||G(z, u)|| > 0, òî âåêòîð-ôóíêöèÿ − ||G(z,u)||ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñóáäèôôåðåíöèàëüíî-ãî ñïóñêà ôóíêöèîíàëà I â òî÷êå [z, u].Îïèøåì ñëåäóþùèé ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà äëÿ ïîèñêà ñòàöèîíàðíûõòî÷åê ôóíêöèîíàëà I . Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó [z1 , u1 ] ∈ Pn [0, T ]×Pm [0, T ].

Ïóñòü óæåïîñòðîåíà òî÷êà [zk , uk ] ∈ Pn [0, T ] × Pm [0, T ]. Åñëè âûïîëíåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà(3.7), òî òî÷êà [zk , uk ] ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëà I , è ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ. ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëîæèì[zk+1 , uk+1 ] = [zk , uk ] − αk Gk ,ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ Gk = G(t, zk , uk ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàèìåíüøèé ïî íîðìå ñóáãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà I â òî÷êå [zk , uk ], à âåëè÷èíà αk ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷èîäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèèmin I([zk , uk ] − αGk ) = I([zk , uk ] − αk Gk ).α>038ÒîãäàI(zk+1 , uk+1 ) 6 I(zk , uk ).Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[zk , uk ]} êîíå÷íà, òî ïîñëåäíÿÿ å¼ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëà I ïî ïîñòðîåíèþ.Åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[zk , uk ]} áåñêîíå÷íà, òî îïèñàííûé ïðîöåññ ìîæåò è íåïðèâåñòè ê ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ôóíêöèîíàëà I , ïîñêîëüêó ñóáäèôôåðåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ∂I(z, u) íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì â ìåòðèêå Õàóñäîðôà [24].3.5Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêàÍàéä¼ì ãèïîäèôôåðåíöèàë ôóíêöèîíàëà I .Ðàíåå äëÿ ôóíêöèîíàëîâ ψi , i = 1, n, áûë âû÷èñëåí ñóáäèôôåðåíöèàë, êîòîðûé âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëå∂ψi (z) = co ei , −ei , i ∈ I0 ,∂ψi (z) = −ei , i ∈ I− ,∂ψi (z) = ei , i ∈ I+ .Èçâåñòíî [28], ÷òî òîãäà äëÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà ôóíêöèîíàëîâ ψi , i = 1, n, èìååì ñëåäóþùååâûðàæåíèådψi (z) = co ψ i (z) − ψi (z), ei , − ψ i (z) − ψi (z), −ei .Ïóñòü, êàê è ðàíåå,ZTu(t), u(t) dt − C}.I2 (u) = max{0,0Äëÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà ôóíêöèîíàëà I2 àíàëîãè÷íî èìååì âûðàæåíèåZ T dI2 (u) = cou(t), u(t) dt − C − I2 (u), 2u , − I2 (u), 0m .0Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà ôóíêöèîíàëà I .dI(z, u) = 0, s1 (t), s2 (t) ++nXcoZT ψ i (z) − ψi (z), ei , 0m , − ψ i (z) − ψi (z), −ei , 0m +(3.9)i=1+co u(t), u(t) dt − C − I2 (u), 0n , 2u , − I2 (u), 0n , 0m .0Ïåðåõîä îò ñóáäèôôåðåíöèàëà ê ãèïîäèôôåðåíöèàëó îáóñëîâëåí òåì ôàêòîì, ÷òîãèïîäèôôåðåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå (3.9), â îòëè÷èå îò ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî, ÿâëÿåòñÿ39íåïðåðûâíûì â ìåòðèêå Õàóñäîðôà [25], ÷òî ïîçâîëèò ãàðàíòèðîâàòü ñõîäèìîñòü â íåêîòîðîì ñìûñëå ðàññìàòðèâàåìîãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà.Èçâåñòíî, ÷òî íåîáõîäèìûì, à â ñëó÷àå âûïóêëîñòè è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ìèíèìóìàôóíêöèîíàëà (3.5) â òî÷êå [z ∗ , u∗ ] â òåðìèíàõ ãèïîäèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå [25]0n+m+1 ∈ dI(z ∗ , u∗ ).Îòñþäà è èç Ëåììû 3.3.1 çàêëþ÷àåì, ÷òî ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà 3.5.1.

Äëÿ òîãî ÷òîáû óïðàâëåíèå u∗ ∈ U ïåðåâîäèëî ñèñòåìó (3.1) èç íà÷àëüíîãîïîëîæåíèÿ (3.2) â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (3.3) çà âðåìÿ T , íåîáõîäèìî, à â ñëó÷àå ëèíåéíîñòèñèñòåìû (3.1) è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû(3.10)0n+m+1 ∈ dI(z ∗ , u∗ ),ãäå âûðàæåíèå äëÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà dI(z, u) âûïèñàíî â ôîðìóëå (3.9).Íàéä¼ì ìèíèìàëüíûé ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíòg(t, z, u) ∈ dI(z, u)ôóíêöèîíàëà I â òî÷êå [z, u], òî åñòü ðåøèì çàäà÷ómin ||g||2 =g∈dI(z,u)+nXi=1T+βn+1Zminβi ∈[0,1], i=1,n+1 0, s1 (t), s2 (t) + βi ψ i (z) − ψi (z), ei , 0m + (1 − βi ) − ψ i (z) − ψi (z), −ei , 0m +(3.11)2u(t), u(t) dt − C − I2 (u), 0n , 2u + (1 − βn+1 ) − I2 (u), 0n , 0m .0Çàäà÷à (3.11) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé è ìîæåò áûòü ðåøåíà îäíèì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ [17], [18].Îáîçíà÷èì βi∗ , i = 1, n + 1, å¼ ðåøåíèå.

Характеристики

Список файлов диссертации