Диссертация (1149648), страница 5
Текст из файла (страница 5)
å. ðåøèì çàäà÷ómin ||h||2 =h∈dΦ(z)ãäåminβk ∈[0,1], k=1,n(2.33)||h(β1 , . . . , βn )||2 ,`n ZTh XX∂fj i i i∂fjh(β1 , . . . , βn ) = 0,aidτ +mj fj + λ β1 [ϕ1 − ϕ1 , e1 ] +∂x∂zi=1j=1t+ (1 − β1 )[−ϕ1 − ϕ1 , −e1 ] + · · · + βn [ϕn − ϕn , en ] + (1 − βn )[−ϕn − ϕn , −en ] == [λ(2β1 − 1)ϕ1 + · · · + λ(2βn − 1)ϕn − λϕ,`Xi=1Tn ZX∂fj∂fj i iaidτ +mj fj +∂x∂zj=1t+ λ(2β1 − 1)e1 + · · · + λ(2βn − 1)en ] =n`n XX X= λai(2βi − 1)ϕi − λϕ,i=1i=1j=1ZTtÒàêèì îáðàçîì, çàäà÷ó (2.33) ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:minβk ∈[0,1], k=1,nnλnXnX∂fj∂fj i idτ +mj fj + λ(2βi − 1)ei .∂x∂zi=12(2βi − 1)ϕi − λϕ +i=127+ZT h X`0i=1n ZTni2 oXX∂fj∂fj i iaidτ +mj fj + λ(2βi − 1)ei dt .∂x∂zj=1i=1(2.34)tÇàäà÷à (2.34) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé. Äëÿ å¼ ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, ìåòîä Âóëüôà èëè åãîìîäèôèêàöèþ [17], [18].
Îáîçíà÷èì ýòî ðåøåíèå (β1∗ , . . . , βn∗ ).Âåêòîð-ôóíêöèÿ∗q (t, z) =`Xi=1Tnn ZXX∂fj i i∂fjdτ +mj fj + λ(2βi∗ − 1)eiai∂x∂zi=1j=1(2.35)tñîñòîèò èç ïîñëåäíèõ n êîìïîíåíò íàèìåíüøåãî ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà Φ.∗q (t,z)Åñëè ||q ∗ (z)|| > 0 (â äàííîì ñëó÷àå z íå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé Φ), òî − ||q∗ (z)|| ïðåä-ñòàâëÿåò ñîáîé íàïðàâëåíèå ñïóñêà ôóíêöèîíàëà Φ â òî÷êå z .Ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ ìåòîäà ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà [25] äëÿ íàõîæäåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèîíàëà Φ.
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå z1 ∈ Cn [0, T ]. Ïóñòü óæå íàéäåíîzp ∈ Cn [0, T ]. Åñëè ϕ(zp ) = 0 è âûïîëíåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà (2.29) èëè (2.32),òî òî÷êà zp ñòàöèîíàðíàÿ, è ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ. Åñëè æå óñëîâèå ϕ(zp ) = 0 íå âûïîëíåíîèëè ϕ(zp ) = 0, íî íå âûïîëíåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà (2.29) èëè (2.32), òî ïîëîæèìzp+1 = zp − γp qp∗ ,ãäå qp∗ = q ∗ (t, zp ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (2.35), à γp ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è îäíîìåðíîéìèíèìèçàöèèmin Φ(zp − γqp∗ ) = Φ(zp − γp qp∗ ).γ>0ÒîãäàΦ(zp+1 ) 6 Φ(zp ).Ñäåëàåì îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà h òå æå äîïîëíèòåëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî è îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà q â ìåòîäå íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà.
Òîãäà, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zp }áåñêîíå÷íà, òî ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ñõîäèòñÿ [23] â ñëåäóþùåì ñìûñëå:vu TuZu||h(zp )|| = th(t, zp ), h(t, zp ) dt → 0 ïðè p → ∞.0Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zp } êîíå÷íà, òî ïîñëåäíÿÿ å¼ òî÷êà åñòü ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà ôóíêöèîíàëà Φ ïî ïîñòðîåíèþ.Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàáîòû ìåòîäà ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ðàññìîòðèì ïðèìåð.28Ïðèìåð 2.6.1.Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèîíàëàh Z1 no i22P2 =ẋ (t) − tx(t) dt ,x(0) = 1,x(1) = 2.0Ïîëîæèì λ = 100, z1 (t) = 0, òîãäà x1 (t) = 1.
 äàííîì ñëó÷àå ñóáäèôôåðåíöèàë ôóíêöèîíàëà Φ èìååò âèä∂Φ(z) = −ãäå1 1 2+ t + 2z(t) I1 (x) + λ(ω + µ),2 2Z1 nZ1 nZ too22z(τ )dτ dt,I1 (x) =ẋ (t) − tx(t) dt =z (t) − t x0 +000à âåëè÷èíû ω è ν îïðåäåëåíû â âûðàæåíèè äëÿ ñóáäèôôåðåíöèàëà ∂ϕ(z) ïåðåä Òåîðåìîé 2.5.1.
Ãèïîäèôôåðåíöèàë ôóíêöèîíàëà Φ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå1 1dΦ(z) = 0, − + t2 + 2z(t) I1 (x) + λco [ϕ(z) − ϕ(z), 1], [−ϕ(z) − ϕ(z), −1] ,2 2çäåñüZTϕ(z) = |ϕ(z)|, ϕ(z) = x0 +z(t)dt − xT .0 Òàáëèöå 2.6.1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.Òàáëèöà 2.6.1. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ÌÃÑkzkxk||q ∗ (zk )||Φ(zk )10199.833100.250.004190.0278200.025962 0.99917 + 0.0025t2 1 + 0.99917t + 0.0008(3)t331.08(3) − 0.25t21 + 1.08(3)t − 0.08(3)t3Èç Òàáëèöû 2.6.1 âèäíî, ÷òî â òî÷êå z3 íåîáõîäèìîå óñëîâèå (2.32) ìèíèìóìà âûïîëíåíî(q ∗ (z3 ) = 0).2.7Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿÏðèâåä¼ì ïðèìåðû çàäà÷, êîòîðûå ìîãóò ïðèâîäèòü ê íåîáõîäèìîñòè ìèíèìèçàöèè¾ïîëèíîìèàëüíîãî¿ ôóíêöèîíàëà.Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ òàêèõ âåêòîð-ôóíêöèé x ∈ Cn1 [0, T ] ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì ïîëîæåíèåì x0 , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò èíòåãðàëüíîìó ñîîòíîøåíèþZTg(x, ẋ, t)dt = K,029(2.36)ãäå K çàäàííàÿ êîíñòàíòà.
Ôóíêöèþ g(x, ẋ, t) ñ÷èòàåì âåùåñòâåííîé, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïî x è ẋ è íåïðåðûâíîé ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî çàäà÷à(2.36) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëàP2 = ZTg(x, ẋ, t)dt − K2,0êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòè÷íûé òð¼õ÷ëåí îò èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà. Åñëèäîïîëíèòåëüíî ïðèñóòñòâóåò îãðàíè÷åíèå íà ïðàâîì êîíöå xT , òî òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòüôóíêöèîíàëP2 = ZTg(x, ẋ, t)dt − K2ZTẋ(t)dt − xT+ x0 +02.(2.37)0Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò îáùåãî ñëó÷àÿ çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèåì íà ïðàâîì êîíöå, ðàññìîòðåííîãî âûøå, ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà (2.37) èùåòñÿ íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå, ïîñêîëüêóïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå çàäà÷è (2.36), óäîâëåòâîðÿþùåå çàäàííûì íà÷àëüíîìó è êîíå÷íîìó óñëîâèÿì. Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå íå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòè ñòðîèòüòî÷íóþ øòðàôíóþ ôóíêöèþ è èñïîëüçîâàòü ìåòîäû íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ¾ïîëèíîìèàëüíîãî¿ ôóíêöèîíàëà ìîæíîñâåñòè ëþáîå èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå, ñîäåðæàùåå ïîëîæèòåëüíûå ñòåïåíè èíòåãðàëüíûõôóíêöèîíàëîâ è êîíñòàíòû.Âåðí¼ìñÿ ê çàäà÷å (2.1)(2.3).Òåîðåìà 2.7.1.Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøåíèåZt∗x (t) = x0 +z ∗ (τ )dτ0ñèñòåìû (2.1) ïðè óïðàâëåíèè u∗ ∈ U óäîâëåòâîðÿëî óñëîâèÿì (2.2), (2.3), íåîáõîäèìî,÷òîáû äëÿ âñåõ t èç ïðîìåæóòêà [0, T ] âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿZT ∂y(x∗ , z ∗ , u∗ , t) 0∂y(x∗ , z ∗ , u∗ , τ ) 0 ∗ ∗ ∗y(x , z , u , τ )dτ +y(x∗ , z ∗ , u∗ , t) +∂x∂ztT+s ZXi=1 ZT ∂y (x∗ , z ∗ , u∗ , τ )∂y0i (x∗ , z ∗ , u∗ , t) 0iy0i (x∗ , z ∗ , u∗ , t)dt − Lidτ += 0n ,∂x∂z0t ∂y(x∗ , z ∗ , u∗ , t) 0∂u+s XZTi=10y(x∗ , z ∗ , u∗ , t)+ ∂y (x∗ , z ∗ , u∗ , t)0iy0i (x , z , u , t)dt − Li= 0m .∂u∗∗∗30Äîêàçàòåëüñòâî.
Êàê áûëî çàìå÷åíî, çàäà÷à (2.1)(2.3) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ìèíèìèçàöèèôóíêöèîíàëà (2.4) íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå.ZTy(x, z, u, t), y(x, z, u, t) dt èìååò âèäÃðàäèåíò Ãàòî ôóíêöèîíàëà0" ZT ∂y(x, z, u, τ ) 0∂xy(x, z, u, τ )dτ + ∂y(x, z, u, t) 0∂zy(x, z, u, t),t ∂y(x, z, u, t) 0∂u#y(x, z, u, t) .TÃðàäèåíò Ãàòî ôóíêöèîíàëàs ZXi=1"Ts ZXi=1y0i (x, z, u, t)dt − Li2èìååò âèä (ñì. (2.10))0 ZT ∂y (x, z, u, τ )∂y0i (x, z, u, t) 0idτ +,y0i (x, z, u, t)dt − Li∂x∂z0tTs ZXi=1# ∂y (x, z, u, t)0iy0i (x, z, u, t)dt − Li.∂u0Òîãäà èñïîëüçóÿ óñëîâèå ∇P2 (z ∗ , u∗ ) = 0n+m , óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû.Òåîðåìà äîêàçàíà.Íàêîíåö, åñëè ñèñòåìà (2.1) ðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ, ò. å. ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîé ôîðìåẋ = y(x, u, t)(2.38)x(0) = x0 ,(2.39)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìòî èç Òåîðåìû 2.7.1 ïðè y(x, z, u, t) := z − y(x, u, t) ñëåäóåòÒåîðåìà 2.7.2.Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøåíèåZt∗x (t) = x0 +z ∗ (τ )dτ0ñèñòåìû (2.38) ïðè óïðàâëåíèè u∗ ∈ U óäîâëåòâîðÿëî óñëîâèÿì (2.3), (2.39), íåîáõîäèìî,÷òîáû äëÿ âñåõ t èç ïðîìåæóòêà [0, T ] âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ∗∗∗∗z (t) − y(x , z , u , t) −ZT ∂y(x∗ , z ∗ , u∗ , τ ) 0 ∗z (τ ) − y(x∗ , z ∗ , u∗ , τ ) dτ +∂xt31T+s ZXi=1 ZT ∂y (x∗ , z ∗ , u∗ , τ )∂y0i (x∗ , z ∗ , u∗ , t) 0idτ += 0n ,y0i (x∗ , z ∗ , u∗ , t)dt − Li∂x∂z0t∂y(x∗ , z ∗ , u∗ , t) 0 ∗−z (t) − y(x∗ , z ∗ , u∗ , t) +∂uTs Z ∂y (x∗ , z ∗ , u∗ , t)X0i+= 0m .y0i (x∗ , z ∗ , u∗ , t)dt − Li∂ui=10Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå, íåîáõîäèìîñòü ìèíèìèçàöèè ïðîèçâåäåíèÿ ñòåïåíåé èíòåãðàëîâ âîçíèêàåò â çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ â òîì èëè èíîì ñìûñëå ôîðì àýðîäèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
 êà÷åñòâå êîíêðåòíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèèñëåäóþùåãî èíòåãðàëà êà÷åñòâà:I = I1m1 I2m1 I3m3 ,çäåñüZ1I1 =3Z1x(t)ẋ (t)dt,I2 =0Z1x(t)dt,0x(0) = 0,I3 =x2 (t)dt,0x(1) = 1,à m1 , m2 , m3 íåêîòîðûå öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Íå îñòàíàâëèâàåìñÿ ïîäðîáíî íàôèçè÷åñêîì ñìûñëå ôóíêöèîíàëà I . Îòìåòèì ëèøü, ÷òî èíòåãðàëû I1 , I2 , I3 ñ òî÷íîñòüþ äîïîñòîÿííûõ ìíîæèòåëåé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå, ïëîùàäü è îáú¼ì îáúåêòà ñîîòâåòñòâåííî è âîçíèêàþò ïðè ðàññìîòðåíèè îñåñèììåòðè÷íîãî òîíêîãî òåëà, íàõîäÿùåãîñÿ â íüþòîíîâñêîì ãèïåðçâóêîâîì ïîòîêå ïîä íóëåâûì óãëîì àòàêè. Äåòàëüíîå îïèñàíèåäàííîé çàäà÷è ìîæíî íàéòè â [113].
 ðàáîòàõ [109, 111, 112] òàêæå ìîæíî íàéòè ïðèëîæåíèå ïîëèíîìîâ îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ ê àýðîäèíàìèêå, à èìåííî, ê îïðåäåëåíèþîïòèìàëüíûõ â êàêîì-òî ñìûñëå ôîðì àýðîäèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ.32Ãëàâà 3Ïðîãðàììíîå óïðàâëåíèå ýòîé ãëàâå èëëþñòðèðóåòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ìåòîäà ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ ïðîãðàììíîãî óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé îáúåêòà, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
