Диссертация (1149648), страница 3
Текст из файла (страница 3)
kλxk = |λ|kxk,2. kx + yk 6 kxk + kyk,3. kxk > 0, kxk = 0 ⇔ x = 0.Ïàðà (X, k · k), ñîñòîÿùàÿ èç ïðîñòðàíñòâà X è íîðìû â í¼ì, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì.11Ôóíêöèÿ ρ(·, ·) : X × X → [0, +∞) íàçûâàåòñÿìåòðèêîé (â X ), åñëè äëÿ ëþáûõ ýëå-ìåíòîâ x, y, z ∈ X îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ,2. ρ(x, y) = ρ(y, x),3. ρ(x, z) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y).Ïàðà (X, ρ(·, ·)), ñîñòîÿùàÿ èç ïðîñòðàíñòâà X è ìåòðèêè â í¼ì, íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.Ëþáîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì, ñ ìåòðèêîé îïðåäåëÿåìîéïî ôîðìóëå ρ(x, y) = kx − yk.Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ (·, ·) : X × X → R,óäîâëåòâîðÿþùàÿ äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y, z ∈ X è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà λ ∈ R ñëåäóþùèìóñëîâèÿì:1.
(x, y) = (y, x),2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z),3. (λx, y) = λ(x, y),4. (x, x) > 0, (x, x) = 0 ⇔ x = 0.Ôóíêöèÿ f : X → R (åñëè ïðîñòðàíñòâî X íîðìèðîâàíî) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé âòî÷êå x ∈ X , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî y ∈ X ,ky − xk < δ , áóäåò |f (y) − f (x)| < ε.Ïóñòü (X, ρ(·, ·)) ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ôóíêöèÿ f : X → R íàçûâàåòñÿøèöåâîé íà ìíîæåñòâå Sëèï-⊂ X , åñëè ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà L < ∞ òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõýëåìåíòîâ x, y ∈ S|f (x) − f (y)| 6 Lρ(x, y).×èñëî L íàçûâàåòñÿêîíñòàíòîé Ëèïøèöà ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå S .Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõôóíêöèîíàëîâ íà X íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì,ñîïðÿæ¼ííûì ê X è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç X ∗.Ïðîñòðàíñòâî X ∗ òàêæå ìîæíî ñäåëàòü íîðìèðîâàííûì, îïðåäåëèâ â í¼ì íîðìó ïî ôîðìóëåkf k = sup |f (x)|,x∈B(0,1)ãäå B(x, r) = {y ∈ X | kx − yk 6 r}.12f ∈ X ∗,Ïóñòü X , Y íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà.
Ïóñòü S ⊂ X íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèå F , ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé òî÷êå x ∈ S íåêîòîðîå, ïîäìíîæåñòâîïðîñòðàíñòâà Y íàçûâàåòñÿìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì è îáîçíà÷àåòñÿ F : S ⇒ Y .Ïóñòü A, B ⊂ X íåïóñòûå çàìêíóòûå îãðàíè÷åíûå ïîäìíîæåñòâà. Âåëè÷èíàρH (A, B) = max sup inf ρ(x, y), sup inf ρ(x, y)x∈A y∈Bíàçûâàåòñÿy∈B x∈Aðàññòîÿíèåì Õàóñäîðôà ìåæäó ìíîæåñòâàìè A è B . Ðàññòîÿíèå Õàóñäîðôà ÿâ-ëÿåòñÿ ìåòðèêîé íà ìíîæåñòâå âñåõ íåïóñòûõ çàìêíóòûõ îãðàíè÷åííûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà X .Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : S ⇒ Y ñ îãðàíè÷åííûìè çíà÷åíèÿìè (ò.
å. äëÿ ëþáîãîx ∈ S ìíîæåñòâî F (x) îãðàíè÷åíî) íàçûâàåòñÿíåïðåðûâíûì ïî Õàóñäîðôó â òî÷êå x ∈ S ,åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî y ∈ S , ky − xk < δ , áóäåòρH (F (y), F (x)) < ε.Ïóñòü X ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, A ⊂ X íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî Aíàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì, åñëè èç âñÿêîé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk } ⊂ A ìîæíîâûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ â X ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó.Íàïîìíèì, ÷òî ïîäìíîæåñòâî A ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿâûïóêëûì, åñëè äëÿ ëþ-áûõ x, y ∈ A è α ∈ [0, 1] áóäåò αx + (1 − α)y ∈ A.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà A ⊂ X íàèìåíüøåå (ïî âêëþ÷åíèþ) âûïóêëîå ìíîæå-âûïóêëîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ co A.Ôóíêöèÿ f : X → R ∪ {+∞} ∪ {−∞} íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ Xñòâî, ñîäåðæàùåå A, íàçûâàåòñÿè α ∈ [0, 1] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîf (αx1 + (1 − α)x2 ) 6 αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ).Âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ f : X → R ∪ {+∞} íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé, åñëè îíà íå ðàâíàòîæäåñòâåííî +∞.Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë p ∈ X ∗ íàçûâàåòñÿñóáãðàäèåíòîìñîáñòâåííîé âûïóêëîéôóíêöèè f : X → R ∪ {+∞} â òî÷êå x ∈ dom f , åñëè äëÿ ëþáîãî y ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f (y) − f (x) > p(y) − p(x).Ñóáäèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè fâ òî÷êå x íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî (îáîçíà÷àåìîå ∂f (x)), ñîñòîÿùåå èç âñåõ ñóáãðàäèåíòîâ ôóíêöèè f â òî÷êå x, ò.å.∂f (x) = {p ∈ X ∗ | f (y) − f (x) > p(y) − p(x) ∀y ∈ X}.Îòîáðàæåíèå x → ∂f (x) íàçûâàåòñÿ ñóáäèôôåðåíöèàëüíûì.13Ïóñòü Ω ∈ X íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X .
Ôóíêöèÿ f : Ω → R íàçûâàåòñÿ ãèïîäèôôåðåíöèðóåìîé íà ìíîæåñòâå Ω, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ Ωñóùåñòâóåò âûïóêëûé êîìïàêò df (x) ⊂ R × X ∗ òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî ïðèðàùåíèÿ ∆x ∈ X (ò. å. co{x + ∆x} ∈ Ω) ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ïðåäñòàâèìî âñëåäóþùåì âèäåf (x + ∆x) = f (x) +max (a + ϕ(∆x)) + o(∆x, x),[a,ϕ]∈df (x)o(α∆x, x)/α → 0 ïðè α → 0.Îòîáðàæåíèå x → df (x) íàçûâàåòñÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëüíûì.Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíî ãèïîäèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x ∈ Ω, åñëè îíàãèïîäèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè è ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå (ïîÕàóñäîðôó) ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå df â ýòîé òî÷êå.Ðàññìîòðèì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó âèäàf → inf ,x∈Ωãäå Ω íåêîòîðîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X , à âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà X .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò.Ïóñòü ìíîæåñòâî Ω çàäàíî â âèäåΩ = {x ∈ X | ϕ(x) = 0},ãäå ϕ : X → [0, +∞) íåêîòîðàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü ϕ(x) = 1, åñëè x ∈/ Ω, ϕ(x) = 0, åñëè x ∈ Ω.Äëÿ ëþáîãî íåîòðèöàòåëüíîãî λ ââåä¼ì ôóíêöèþFλ (x) = f (x) + λϕ(x),êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿíûì ïàðàìåòðîì.øòðàôíîé ôóíêöèåé äëÿ çàäàííûõ f è ϕ, à ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿ øòðàô-Øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿòî÷íîé øòðàôíîé, åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî λ∗> 0òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî λ > λ∗ ìíîæåñòâî òî÷åê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè Fλ ñîâïàäàåòñ ìíîæåñòâîì òî÷åê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà â çàäà÷åf → inf .x∈Ω14 ýòîì ñëó÷àå λ∗ íàçûâàåòñÿêîíñòàíòîé òî÷íîãî øòðàôà.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé f , çàäàííûõ è èçìåðèìûõ íà îòðåçêå [a, b] èòàêèõ, ÷òî èíòåãðàë ËåáåãàZbf 2 (x)dx < +∞a(òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñóììèðóåìûìè ñ êâàäðàòîì ).Ââåä¼ì íîðìóZ||f || =bf 2 (x)dx1/2.aè ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ìåòðèêóZρ(f, g) =b(f (x) − g(x))2 dx1/2.aÏîëó÷åííîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷àåòñÿ L2 [a, b].
Äâå ôóíêöèè f (t) è g(t) íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè íà [a, b], åñëè f (t) = g(t) ïî÷òè âñþäó íà [a, b]. Âñå ýêâèâàëåíòíûåìåæäó ñîáîé ôóíêöèè áóäåì ñ÷èòàòü îäíèì è òåì æå ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà L2 [a, b].Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà F ⊂ Rn îïðåäåëèìñîîòíîøåíèåìc(F, ψ) = sup(f, ψ).f ∈F15îïîðíóþ ôóíêöèþ âåêòîðà ψ ∈ RnÃëàâà 2Ïîëèíîìû îò èíòåãðàëüíûõôóíêöèîíàëîâ ýòîé ãëàâå èçó÷àþòñÿ óñëîâèÿ ìèíèìóìà ¾ïîëèíîìèàëüíîãî¿ ôóíêöèîíàëà. Äëÿ ¾ïîëèíîìèàëüíîãî¿ ôóíêöèîíàëà âûïèñàí ãðàäèåíò Ãàòî, íàéäåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïèñàíèè ìåòîäà íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Äîïîëíèòåëüíî èññëåäóåòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ¾ïîëèíîìèàëüíîãî¿ ôóíêöèîíàëà, êîãäà ïðèñóòñòâóþò îãðàíè÷åíèÿ íà ïðàâîì êîíöå.
Ñ ïîìîùüþ òåîðèè òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé ýòà çàäà÷à ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè. Ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîçâîëÿþò îïèñàòü ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãîñïóñêà äëÿ ðåøàåìîé çàäà÷è. Ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ïðèìåðû ðåàëèçàöèè îïèñàííûõ ìåòîäîâ.
Çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ïðîèçâåäåíèÿ ñòåïåíåé èíòåãðàëîâ íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèåâ àýðîäèíàìèêå. Òàêæå äàíû ïðèìåðû íåêîòîðûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé è çàäà÷è òåîðèè óïðàâëåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ñâåñòè ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìà îò èíòåãðàëüíûõôóíêöèîíàëîâ.2.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì íåëèíåéíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéy(x, ẋ, u, t) = 0(2.1)x(0) = x0 .(2.2)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìÑ÷èòàåì ñèñòåìó ïîëíîñòüþ óïðàâëÿåìîé [34].
Çäåñü T > 0 çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè, y âåùåñòâåííàÿ n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, x n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò,16êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé íà [0, T ], óïðàâëåíèå u ïðèíàäëåæèòíåêîòîðîìó ôèêñèðîâàííîìó ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèéU = {u ∈ Cm [0, T ] | u(t) ∈ V ∀t ∈ [0, T ]},ãäå V ⊂ Rm êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî.
Ïðåäïîëàãàåì y(x, ẋ, u, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïî x, ẋ è u è íåïðåðûâíîé ïî âñåì ÷åòûð¼ì àðãóìåíòàì.Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîäîáðàòü òàêîå óïðàâëåíèå u ∈ U , ïðè êîòîðîì ðåøåíèå çàäà÷è (2.1),(2.2) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:ZT(2.3)y0 (x, ẋ, u, t)dt = L,0ãäå s-ìåðíàÿ âåùåñòâåííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ y0 ìîæåò ñîäåðæàòü â ñåáå èíôîðìàöèþ î ïîëîæåíèè îáúåêòà ñèñòåìû, çíà÷åíèè åãî ñêîðîñòè è îãðàíè÷åíèÿõ íà óïðàâëåíèå, L çàäàííûéâåêòîð èç Rs . Ñ÷èòàåì, ÷òî y0 íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî x, ẋ è u è íåïðåðûâíà ïîâñåì ÷åòûð¼ì àðãóìåíòàì. Ñ ïîìîùüþ (2.3) ìîãóò áûòü çàïèñàíû, íàïðèìåð, èíòåãðàëüíîåîãðàíè÷åíèå íà óïðàâëåíèå âèäàZTu(t), u(t) dt = 10èëè îãðàíè÷åíèå íà êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìûZTx0 +ẋ(t)dt = xT .0Çàäà÷ó (2.1)(2.3) ñâåä¼ì ê ìèíèìèçàöèè ñëåäóþùåãî ôóíêöèîíàëà íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå:ZTP2 =s Xy(x, z, u, t), y(x, z, u, t) dt +i=10ZTy0i (x, z, u, t)dt − Li0ãäåz(t) = ẋ(t), z ∈ Cn [0, T ],Zty(x, z, u, t) = y(x0 +z(τ ), z, u, t),0Zty0 (x, z, u, t) = y0 (x0 +z(τ ), z, u, t),0à y0i i-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîð-ôóíêöèè y0 .172,(2.4)Ôóíêöèîíàë (2.4) ñîäåðæèò ëèíåéíîå ñëàãàåìîå è ñóììó êâàäðàòîâ îò èíòåãðàëüíûõôóíêöèîíàëîâ.
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à (2.1)(2.3) ñâåëàñü ê ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìà âòîðîéñòåïåíè îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìîâ âûñøèõ ñòåïåíåé. ýòîé ãëàâå âûâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (äàëåå áóäåìíàçûâàòü åãî ¾ïîëèíîìèàëüíûì¿)Pk I1 (x), . . . , In (x)(2.5)x(0) = x0 .(2.6)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì âûðàæåíèè (2.5) Pk ïîëèíîì çàäàííîé êîíå÷íîé ñòåïåíè k ∈ N (åãî îáùèé âèä áóäåòâûïèñàí â äàëüíåéøåì), à Ij , j = 1, n, èíòåãðàëüíûé ôóíêöèîíàëZTIj (x) =fj x(t), ẋ(t), t dt,0ðàññìàòðèâàåìûé â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ [15]. Çäåñü T > 0 íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, fj çàäàííàÿ âåùåñòâåííàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî x è ẋ, x n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ êîîðäèíàò, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà ïðîìåæóòêå [0, T ].Ïîëîæèìz ∈ Cn [0, T ].z(t) = ẋ(t),Òîãäà ñ ó÷¼òîì (2.6) èìååìZtx(t) = x0 +z(τ )dτ.0Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêóþ âåêòîð-ôóíêöèþ x∗ ∈ Cn1 [0, T ], óäîâëåòâîðÿþùóþ íà÷àëüíîìóóñëîâèþ (2.6), êîòîðàÿ äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó (2.5).2.2Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìàÑíà÷àëà èçó÷èì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ìèíèìèçèðóåìûé ôóíêöèîíàë èìååò ñëåäóþùèé âèä:P2 (z) =h ZT0Ztf x0 +018 i2z(τ )dτ, z(t), t dt ,(2.7)îáùèé ñëó÷àé áóäåò îïèñàí äàëåå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
