Диссертация (1149648), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Êîíå÷íî, ïåðå÷èñëåííûìè ìåòîäàìè íåèñ÷åðïûâàåòñÿ íåîáîçðèìîå êîëè÷åñòâî ñõåì è ïîäõîäîâ, íàêîïèâøèõñÿ ñ ìîìåíòà âîçíèêíîâåíèÿ òåîðèè óïðàâëåíèÿ. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàþò ìíîãî÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ, ëþáîé6èç ïåðå÷èñëåííûõ ïîäõîäîâ ñëîæíî íàçâàòü óíèâåðñàëüíûì, îõâàòûâàþùèì çíà÷èòåëüíóþ÷àñòü ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ çàäà÷. Ïîäòâåðæäåíèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìíîãèå ìåòîäû èíäèâèäóàëüíû, ðàññ÷èòàíû íà î÷åíü óçêèé êëàññ çàäà÷, ó ìíîãèõ íå äîêàçàíà èëè äàæåíå èññëåäîâàëàñü ñõîäèìîñòü [49], ÷òî íå ìåøàåò ñ÷èòàòü èõ ýôôåêòèâíûìè è ïðèçíàííûìèìåòîäàìè ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ ëèíåéíûõ çàäà÷óäàëîñü îñóùåñòâèòü çíà÷èòåëüíîå ïðîäâèæåíèå êàê â òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè (òàê, íàïðèìåð,Í.
Í. Êðàñîâñêèì ðàçðàáîòàíà ïîëíàÿ òåîðèÿ ëèíåéíûõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, îñíîâàííàÿ íà ïðîáëåìå ìîìåíòîâ [41], Â. È. Çóáîâûì íà ðåçóëüòàòàõ ëèíåéíîé àëãåáðû [34]),òàê è â ðåøåíèè âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîáëåì (íàïðèìåð, ñõåìà À. À. Àáðàìîâà [49] ïîçâîëÿåòîáåñïå÷èòü óñòîé÷èâîñòü ñ÷¼òà). Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îòíîñèòñÿ ê âàðèàöèîííîéçàäà÷å â äîñòàòî÷íî îáùåé ïîñòàíîâêå. Ïîýòîìó íåóäèâèòåëüíî, ÷òî ìíîãèå ðåçóëüòàòû âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèíà [54].Çäåñü æå ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ìíîãèå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû òåîðèè äèíàìè÷åñêîãîïðîãðàììèðîâàíèÿ Ð.
Áåëëìàíà òàêæå âûòåêàþò èç ïðèíöèïà ìàêñèìóìà [54].Îäíîé èç àêòóàëüíûõ çàäà÷, èññëåäóåìûõ â äàííîé äèññåðòàöèè, ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèåìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â ôîðìå Ëàãðàíæà ñ èíòåãðàëüíûì îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèå. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîé íà÷àëüíîé òî÷êå ê äàííîé çàäà÷åìîæåò áûòü ñâåäåíà è áîëåå îáùàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â ôîðìå Áîëüöà [49].Ðàçëè÷íûå çàäà÷è ñ èíòåãðàëüíûì îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèå ðàññìàòðèâàëèñü Â. Ô. Äåìüÿíîâûì è À. Ì. Ðóáèíîâûì â ðàáîòå [30] è À.
Ñ. Àíòèïèíûì è Å. Â. Õîðîøèëîâîé âñòàòüÿõ [1, 2, 3]. Èçíà÷àëüíûé îïòèìèçàöèîííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü ïðåäëîæåííûéâ äèññåðòàöèè ìåòîä â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè óíèâåðñàëüíûì. Îáùàÿ ñõåìà ýòîãî ìåòîäà ìîæåò áûòü îïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðè ïîìîùè àïïàðàòà òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèéèñõîäíàÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé â âèäå íåëèíåéíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãîïîëîæåíèÿ îáúåêòà è ïðè èíòåãðàëüíîì îãðàíè÷åíèè íà óïðàâëåíèå ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà.
Äàëåå ôîðìóëèðóþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà äàííîãî ôóíêöèîíàëà. Çäåñü ñòîèò óïîìÿíóòü, ÷òî èçâåñòíûé èíòåãðàëüíûéïðèíöèï ìàêñèìóìà ïîëó÷àåòñÿ èç ýòîãî óñëîâèÿ êàê ñëåäñòâèå, ÷òî åù¼ ðàç ñâèäåòåëüñòâóåòâ ïîëüçó äîñòàòî÷íîé îáùíîñòè ïðèìåíÿåìîãî ïîäõîäà. Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, åñëè èñõîäíàÿ ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ëèíåéíà îòíîñèòåëüíî ôàçîâûõêîîðäèíàò è óïðàâëåíèé, à ìèíèìèçèðóåìûé ôóíêöèîíàë ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, òî ðàññìàòðèâàåìûé ôóíêöèîíàë îêàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, à òîãäà íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ åãî ìèíèìóìàÿâëÿþòñÿ è äîñòàòî÷íûìè.
Êàê óæå ãîâîðèëîñü, òî÷íàÿ øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ ñóùåñòâåííî7íåãëàäêàÿ, ïîýòîìó äëÿ ïîèñêà ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ýòîãî ôóíêöèîíàëà èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû íåäèôôåðåíöèðóåìîé îïòèìèçàöèè, â ÷àñòíîñòè, ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà èìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. äàííîé ðàáîòå îòäåëüíî èññëåäóåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ïðîãðàììíîãî óïðàâëåíèÿ,öåëüþ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïåðåâîä îáúåêòà èç çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ â çàäàííîåêîíå÷íîå ñîñòîÿíèå çà ôèêñèðîâàííîå âðåìÿ.
 ñèëó áîëåå ïðîñòîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ïîñðàâíåíèþ ñ çàäà÷åé Ëàãðàíæà óäà¼òñÿ óïðîñòèòü è ïðèìåíÿåìûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è. äèññåðòàöèè òàêæå áûëè ðàññìîòðåíû ïîëèíîìû ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîé ñòåïåíè îò ðàçëè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ, ñôîðìóëèðîâàíû ìåòîäû èõ ìèíèìèçàöèè äëÿ çàäà÷èêàê ñî ñâîáîäíûì, òàê è çàêðåïë¼ííûì ïðàâûì êîíöîì, ïîêàçàíû íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿäàííûõ êîíñòðóêöèé. Çàäà÷à Êîøè êàê âàðèàöèîííàÿ ðàññìîòðåíà ñ ïîìîùüþ îïèñàííîãîïîäõîäà îòäåëüíî â ñèëó å¼ âàæíîñòè. Íàêîíåö, ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà òî÷íûõ øòðàôíûõôóíêöèé è îïîðíûõ ôóíêöèé ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âûâåäåí èçâåñòíûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé.
Íà íåêîòîðûõ ïðèìåðàõïðîäåìîíñòðèðîâàí èíîé ïîäõîä ê çàäà÷àì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, êîãäà îñóùåñòâëÿåòñÿïåðåõîä ê äèôôåðåíöèàëüíîìó âêëþ÷åíèþ, ó êîòîðîãî äàëåå íà îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìàèùåòñÿ îïòèìàëüíîå ðåøåíèå.Òàêèì îáðàçîì, íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèå ìåòîäîâ íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè â âàðèàöèîííûõ çàäà÷àõ, ðàçâèâàåìûõ â íàó÷íîé øêîëå Â. Ô. Äåìüÿíîâà. Áîëååêîíêðåòíî, èäåÿ ïðèìåíåíèÿ òî÷íûõ øòðàôîâ â îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè [85] ðàçâèâàåòñÿ èèñïîëüçóåòñÿ â äàííîé äèññåðòàöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è èññëåäîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé.Öåëüþ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà åäèíîãî îïòèìèçàöèîííîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íà îñíîâå òåîðèè òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé è ìåòîäîâ íåãëàäêîãî àíàëèçà, ïîñòðîåíèå ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ äàííûõ çàäà÷, èçó÷åíèå çàäà÷èíàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ ñ ïðèìåíåíèåì òî÷íûõøòðàôîâ.Òåîðåòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ðàáîòû ñîñòîèò â òîì, ÷òî â íåé ðàçâèâàåòñÿ îáùèé ïîäõîä ïðèìåíåíèÿ àïïàðàòà òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé è ìåòîäîâ íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè êçàäà÷àì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, à òàêæå çàäà÷àì, ñîäåðæàùèì äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñõîäíàÿ çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à âôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ïðè ýòîì êðàåâûå óñëîâèÿ è äèôôåðåíöèàëüíûå ñâÿçè âûñòóïàþò â ðîëè îãðàíè÷åíèé.  äèññåðòàöèè ïîêàçàíî, êàê ñ ïîìîùüþ äàííîãî àïïàðàòàìîæíî ïîëó÷èòü íåêîòîðûå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, òàêèå êàê ëèíåàðèçîâàííûé èí8òåãðàëüíûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà äëÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ, ïðèíöèï ìàêñèìóìàäëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé, àâòîðîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ Áëàãîäàòñêèõ, à òàêæå íîâûå êîíñòðóêòèâíûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ äàííûõ çàäà÷.
Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçîâàíèåãëàäêîé øòðàôíîé ôóíêöèè íå ïîçâîëèëî áû ïîëó÷èòü äàííûå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîñêîëüêó çàäà÷à áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè ýòîé øòðàôíîé ôóíêöèè íå áûëà áû ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé çàäà÷å íè ïðè êàêîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè øòðàôíîãî ïàðàìåòðà. Ýòèôàêòîðû îïðàâäûâàþò èñïîëüçîâàííûé â äèññåðòàöèè íåãëàäêèé ïîäõîä.Ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ðàáîòû îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî â íåé ðàçðàáîòàí îáùèéîïòèìèçàöèîííûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
Êðîìå òîãî, â äèññåðòàöèè ñòðîÿòñÿ ïðÿìûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äàííûõ çàäà÷, ïîëó÷åíû íåêîòîðûå êîíñòðóêòèâíûåóñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷å ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè âêëþ÷åíèÿìè. Òàêæå â äèññåðòàöèèðåàëèçàöèÿ ïîñòðîåííûõ ìåòîäîâ äåìîíñòðèðóåòñÿ íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ, ìíîãèå èç êîòîðûõ âîçíèêàþò â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ. Ê ïðàêòè÷åñêèì ïðåèìóùåñòâàì ïðåäëîæåííîãî âäèññåðòàöèè ìåòîäà ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ñòîèò òàêæå îòíåñòè îòñóòñòâèå íåîáõîäèìîñòè ïîèñêà ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, à òàêæå îáåñïå÷åíèå òî÷íîãî ñîáëþäåíèÿ îãðàíè÷åíèé (â äàííîì ñëó÷àå êðàåâûõ óñëîâèé), êîòîðîå ïðèíöèïèàëüíî âàæíî â ïðèêëàäíûõçàäà÷àõ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.
Âñå îñíîâíûå íàó÷íûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.Ðàáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ [31, 38, 85].Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ. äèññåðòàöèè ïðèìåíÿþòñÿ ñîâðåìåííûå ìåòîäû òåîðèèýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷, âûïóêëîãî àíàëèçà è íåäèôôåðåíöèðóåìîé îïòèìèçàöèè. Áîëåå êîíêðåòíî, äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííûõ â äèññåðòàöèè çàäà÷ ïðèìåíÿþòñÿ àïïàðàò òî÷íûõøòðàôíûõ ôóíêöèé è àïïàðàò îïîðíûõ ôóíêöèé. Ìåòîäû ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà îòíîñÿòñÿ ê ïðÿìûì ìåòîäàì âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ìèíèìèçàöèè íåãëàäêèõ ôóíêöèîíàëîâ.Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè è âûíîñèìûå íà çàùèòó: ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîëèíîìà îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ; ïîñòðîåí ïðÿìîé ìåòîä ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìà îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ, îïèðàþùèéñÿ íà ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà; íà îñíîâå òåîðèè òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå (à â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè ñèñòåìû è âûïóêëîñòè ìèíèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà è äîñòàòî÷íûå) óñëîâèÿìèíèìóìà â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ;9 ïîñòðîåí ïðÿìîé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, îïèðàþùèéñÿ íàìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà; ñ ïîìîùüþ òåîðèé òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé è îïîðíûõ ôóíêöèé ïîëó÷åí ïðèíöèïìàêñèìóìà äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé; ïîñòðîåí ïðÿìîé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, îïèðàþùèéñÿ íà ìåòîä íàèñêîðåéøåãîñïóñêà è ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé;Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.Ðåçóëüòàòû, èçëîæåííûå â äèññåðòàöèè, äîêëàäûâàëèñü è îá-ñóæäàëèñü íà XV Âñåðîññèéñêîé êîíôåðåíöèè ¾Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå è ïðèëîæåíèÿ¿ (ã.
Åêàòåðèíáóðã, 26 ìàðòà, 2015 ã.), XVI Áàéêàëüñêîé ìåæäóíàðîäíîé øêîëåñåìèíàðå ¾Ìåòîäû îïòèìèçàöèè è èõ ïðèëîæåíèÿ¿ (ã. Èðêóòñê, 30 èþíÿ 6 èþëÿ, 2014 ã.), IIIÌåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Óñòîé÷èâîñòü è ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ¿, ïîñâÿù¼ííîé 85-òèëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ Â. È. Çóáîâà (ã. ÑàíêòÏåòåðáóðã, 59 îêòÿáðÿ, 2015 ã.), XLVI ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ ¾Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü¿ (ã. ÑàíêòÏåòåðáóðã, 69 àïðåëÿ, 2015 ã.) è ñåìèíàðå ïî êîíñòðóêòèâíîìó íåãëàäêîìó àíàëèçó è íåäèôôåðåíöèðóåìîé îïòèìèçàöèè (ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêèïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ, ÑÏáÃÓ).Ïî ðåçóëüòàòàì èññëåäîâàíèé îïóáëèêîâàíî 11 ïå÷àòíûõ ðàáîò [66, 67, 68, 69, 70, 71,72, 73, 90, 91, 92], èç êîòîðûõ 5 ðàáîò [66, 67, 68, 69, 70] â èçäàíèÿõ, ðåêîìåíäóåìûõ ÂÀÊ.Ðàáîòû [68, 91] íàïèñàíû â ñîàâòîðñòâå.
 íèõ ñîàâòîðàì ïðèíàäëåæàò ïîñòàíîâêè çàäà÷,àâòîðó äèññåðòàöèè äîêàçàòåëüñòâî ðåçóëüòàòîâ.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, øåñòè ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ, ñïèñêà îáîçíà÷åíèé è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Ëåììû, òåîðåìû, ñëåäñòâèÿ, çàìå÷àíèÿ, ïðèìåðû è òàáëèöû íóìåðóþòñÿ âñîîòâåòñòâèè ñ ãëàâîé, ïàðàãðàôîì, â êîòîðûõ îíè íàõîäÿòñÿ. Ôîðìóëû íóìåðóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ãëàâîé, â êîòîðîé îíè íàõîäÿòñÿ. Îáú¼ì ðàáîòû ñîñòàâëÿåò 103 ñòðàíèöû. Ñïèñîêëèòåðàòóðû âêëþ÷àåò 125 íàèìåíîâàíèé.10Ãëàâà 1Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿÏóñòü X âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.Îòîáðàæåíèå f : X → R íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííûì ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì, åñëè äëÿëþáûõ x, y ∈ X è α, β ∈ R áóäåò f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).Áóäåì îáîçíà÷àòü dom f = {x ∈ X | f (x) 6= −∞, f (x) 6= +∞} ýôôåêòèâíîå ìíîæåñòâî ôóíêöèè f .Íàïîìíèì, ÷òî ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå x ∈ dom f ïî íàïðàâëåíèþ g ∈ Xíàçûâàåòñÿ ïðåäåëf (x + αg) − f (x),α→+0αf 0 (x, g) = limåñëè äàííûé ïðåäåë ñóùåñòâóåò.
Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿäèôôåðåíöèðóåìîé ïî íàïðàâëåíèÿìâ òî÷êå x, åñëè f 0 (x, g) ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî g ∈ X . Âåçäå äàëåå áóäåì ïèñàòü α ↓ 0, âìåñòîα → +0.Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿäèôôåðåíöèðóåìîé ïî Ãàòîâ òî÷êå x, åñëè îíà äèôôåðåí-öèðóåìà ïî íàïðàâëåíèÿì â äàííîé òî÷êå è îòîáðàæåíèå g → f 0 (x, g) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûìíåïðåðûâíûì ôóíêöèîíàëîì, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì Ãàòî ôóíêöèè f â òî÷êå x èîáîçíà÷àåòñÿ ∇f (x).Ôóíêöèîíàë k · k : X → [0, +∞) íàçûâàåòñÿíîðìîé (â X ), åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâx, y ∈ X è λ ∈ R îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
