Диссертация (1149648)
Текст из файла
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÔîìèíûõ Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷Ïðèìåíåíèå òåîðèè òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèéê çàäà÷àì óïðàâëåíèÿÑïåöèàëüíîñòü 01.01.09 ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è ìàòåìàòè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà¿Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:êàíäèäàò ôèç.ìàò. íàóê, äîöåíòÊàðåëèí Â. Â.ÑàíêòÏåòåðáóðã 2017ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå41 Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ112 Ïîëèíîìû îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ162.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.2Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.3Ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.4Ñëó÷àé îãðàíè÷åíèÿ íà ïðàâîì êîíöå . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.5Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëà ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.6Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.7Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .293 Ïðîãðàììíîå óïðàâëåíèå333.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.2Ñâåäåíèå ê âàðèàöèîííîé çàäà÷å. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343.3Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .343.4Ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383.5Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393.6×èñëåííûå ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.414 Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå464.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464.2Ñâåäåíèå ê âàðèàöèîííîé çàäà÷å. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474.3Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .484.4Ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534.5Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584.6×èñëåííûå ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6625 Äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ745.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .745.2Ýêâèâàëåíòíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .755.3Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëîâ ϕ è I . . . . . . . . . . . . . . . .765.4Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .785.5×èñëåííûå ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .796 Çàäà÷à Êîøè836.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .836.2Ñâåäåíèå ê âàðèàöèîííîé çàäà÷å. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .846.3Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .846.4Ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .856.5Ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .866.6×èñëåííûå ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .876.7Ñëó÷àé íåðàçðåø¼ííîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ . . . . . . . . . . . . . . .88Çàêëþ÷åíèå90Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé92Ëèòåðàòóðà943ÂâåäåíèåÄèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, îñíîâû êîòîðîãî áûëè çàëîæåíû â òðóäàõ Íüþòîíà[115] è Ëåéáíèöà [106], áåçóñëîâíî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîùíåéøèé àïïàðàò, áåç êîòîðîãîñëîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå óñïåøíîå ðàçâèòèå ìíîãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè.Îäíàêî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îêàçàëîñü, ÷òî ìíîãèå çàäà÷è, âîçíèêàþùèå â ïðèëîæåíèÿõ è â ñàìîé ìàòåìàòèêå, òðåáóþò èññëåäîâàíèÿ íåäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è ñîçäàíèÿïîëíîöåííîãî èíñòðóìåíòà ðàáîòû ñ íèìè.
Òàêàÿ ïîòðåáíîñòü ïðèâåëà ê ïîÿâëåíèþ ñðàâíèòåëüíî íîâûõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè: íåãëàäêîãî àíàëèçà è íåäèôôåðåíöèðóåìîé îïòèìèçàöèè. Áîëüøîé âêëàä â èõ ðàçâèòèå âíåñëè òàêèå ó÷¼íûå, êàê Â. Ô. Äåìüÿíîâ [20, 24, 83, 84],À. Ì. Ðóáèíîâ [28, 29, 86], Ë. Í. Ïîëÿêîâà [27, 55, 56, 87, 119, 120], Â. Í. Ìàëîç¼ìîâ [26],Á. Í. Ïøåíè÷íûé [57, 58, 59], Ñ. Ñ. Êóòàòåëàäçå [47, 48], À.
Ä. Èîôôå [98, 35], Í. Ç. Øîð[75, 76], Äæ. Äàíñêèí [16], Ô. Êëàðê [40, 82], Ð. Ðîêàôåëëàð [60, 99], Æ.-Ï. Îáåí [51].Ñòðåìèòåëüíîå ðàçâèòèå ýòèõ íàóê è óñïåøíîå ðåøåíèå ìíîãèõ âàæíûõ òåîðåòè÷åñêèõè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ïîäòâåðäèëè ýôôåêòèâíîñòü ýòèõ ðàçäåëîâ è îêîí÷àòåëüíî ðàçâåÿëèíåêîòîðûå ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî íåãëàäêèå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ïàòîëîãèåé èëè ýêçîòèêîé.Íàïðîòèâ, äàííûå ðàçäåëû ïðî÷íî âîøëè â ñîâðåìåííóþ ñòðóêòóðó ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñàìîñòîÿòåëüíûå, ìîùíûå è ïîñòîÿííî ðàçâèâàþùèåñÿ äèñöèïëèíû,êîòîðûå, ê ñëîâó ñêàçàòü, îêàçûâàþòñÿ äàæå áîëåå øèðîêèìè, ÷åì êëàññè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, ïîñêîëüêó îáîáùàþò åãî ïîíÿòèÿ è ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü ìíîãèå åãîðåçóëüòàòû êàê ñëåäñòâèÿ ñâîåé, áîëåå îáùåé, òåîðèè.Êîíå÷íî, ìíîãèå íåãëàäêèå çàäà÷è ìîæíî ÷èñòî òåõíè÷åñêè èëè èñõîäÿ èç êàêèõ-òîîáùèõ ñîîáðàæåíèé, ñäåëàòü ãëàäêèìè è òîãäà óæå ïðèìåíÿòü ê íèì âåñü áîãàòûé àðñåíàëìåòîäîâ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ïðîöåññ òàêîãî ñâåäåíèÿ ïîëó÷èë íàçâàíèå ¾ñãëàæèâàíèå¿.
Îäíàêî ýòî íå âñåãäà îêàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíî è ïðîñòî ðåàëèçóåìî. Ïðîñòîéïðèìåð ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ f (x, y) = |x| − |y| (ðàññìàòðèâàåìîé â íà÷àëå êîîðäèíàò),ñãëàæèâàíèå êîòîðîé íå ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü òå å¼ ñâîéñòâà, êîòîðûå ñâÿçàíû ñ ïîíÿòèåìãðàäèåíòà, ïðèâåä¼í â [21]. Åù¼ îäíèì ïðèìåðîì íåâîçìîæíîñòè ñãëàæèâàíèÿ ìîæåò ñëó-4æèòü òåîðèÿ òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðåøåíèèçàäà÷ óñëîâíîé îïòèìèçàöèè. Ñàìà æå òî÷íàÿ øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîíåãëàäêîé.Òåîðèÿ òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé ïîëó÷èëà øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïðè ðåøåíèèçàäà÷ óñëîâíîé îïòèìèçàöèè [33, 125]. Îíà ïîçâîëÿåò ñâîäèòü èñõîäíóþ çàäà÷ó ïðè íàëè÷èèîãðàíè÷åíèé ê çàäà÷å áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè.
Êàê ïîêàçàëè ìíîãî÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ [96, 117, 118, 123], òàêîå ñâåäåíèå ÷àñòî äîâîëüíî î÷åâèäíî äàæå äëÿ ñëîæíûõ çàäà÷êàê êîíå÷íîìåðíîé, òàê è áåñêîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè. Äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ ïðè íåêîòîðûõ åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ óäà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííàÿôóíêöèÿ òî÷íàÿ øòðàôíàÿ. È õîòÿ ïî ïîñòðîåíèþ îíà îêàçûâàåòñÿ íåãëàäêîé, äëÿ å¼îïòèìèçàöèè ìîæíî ïðèìåíÿòü óæå ìíîãèå õîðîøî ðàçðàáîòàííûå ìåòîäû íåäèôôåðåíöèðóåìîé îïòèìèçàöèè. Îòìåòèì, ÷òî íàðÿäó ñ ïîëó÷åíèåì äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé òî÷íîñòèøòðàôíîé ôóíêöèè [23, 80, 89, 93] ïðîäîëæàþòñÿ ðàçðàáîòêè ðàçëè÷íûõ êîíñòðóêöèé òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé ñ ïîëåçíûìè ñâîéñòâàìè [97, 116, 124]. Èäåÿ èñïîëüçîâàíèÿ òî÷íûõøòðàôíûõ ôóíêöèé áûëà ïðåäëîæåíà È. È.
Åð¼ìèíûì â [33].Êàê óæå îòìå÷àëîñü, íåãëàäêèé àíàëèç ñ ìîìåíòà åãî çàðîæäåíèÿ çíà÷èòåëüíî ïîïîëíèëñÿ ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè. Ìíîãèå ìåòîäû îïèðàþòñÿ íàíåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ òàêèõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè, êàê ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ è ñóáäèôôåðåíöèàë [24]. Ïîñëåäíåå ïîíÿòèå äàëî íàçâàíèå ìåòîäó ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.
Îáùàÿ ñõåìà ìåòîäà ñîñòîèò â ïîèñêå íàïðàâëåíèÿ ñïóñêà â äàííîé òî÷êåè îñóùåñòâëåíèþ äâèæåíèÿ ñ íåêîòîðûì øàãîì ïî ýòîìó íàïðàâëåíèþ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñõîäèòñÿ ê òî÷êå ýêñòðåìóìà. Êñîæàëåíèþ, ñóáäèôôåðåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàçðûâíûì â ìåòðèêå Õàóñäîðôà[24], ÷òî íå ïîçâîëÿåò â îáùåì ñëó÷àå ãàðàíòèðîâàòü ñõîäèìîñòü ìåòîäà.
Ïîýòîìó íàðÿäó ñäàííûì ìåòîäîì ðàçðàáàòûâàëèñü åãî ìîäèôèêàöèè [23, 64], à òàêæå ìåòîäû, îñíîâàííûåíà äðóãèõ ïîíÿòèÿõ íåãëàäêîãî àíàëèçà.  ÷àñòíîñòè, âåñüìà ýôôåêòèâíûì îêàçàëñÿ ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà, îñíîâàííûé íà ââåä¼ííîì Â. Ô. Äåìüÿíîâûì ïîíÿòèèãèïîäèôôåðåíöèàëà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ñóáäèôôåðåíöèàëà. Ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå, â îòëè÷èå îò ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì â ìåòðèêåÕàóñäîðôà äëÿ î÷åíü øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé [28], ÷òî îáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ìåòîäàâî ìíîãèõ çàäà÷àõ.
Îòìåòèì, ÷òî ïðåèìóùåñòâî ãèïîäèôôåðåíöèàëà çàêëþ÷àåòñÿ åù¼ èâ íàëè÷èè áîãàòîãî è óäîáíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, ýïñèëîí-ñóáäèôôåðåíöèàëüíîåîòîáðàæåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì ïî Õàóñäîðôó äëÿ øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé5[50], îäíàêî ïðèìåíåíèå ýïñèëîí-ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà çíà÷èòåëüíî çàòðóäíåíî, ïîñêîëüêó èñ÷èñëåíèÿ ýïñèëîí-ñóáäèôôåðåíöèàëîâ ãðîìîçäêî è î÷åíü ñëîæíî äàæå â ñàìûõïðîñòûõ çàäà÷àõ [24].Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà íà÷àë ïðèìåíÿòüñÿ Â.
Ô. Äåìüÿíîâûì è Ã. Ø.Òàìàñÿíîì è ê áåñêîíå÷íîìåðíûì, à èìåííî ê âàðèàöèîííûì çàäà÷àì [31, 61, 63, 88], è ïîêàçàë òàì ñâîþ ýôôåêòèâíîñòü. Îí ïîêàçàë íå òîëüêî ïðàêòè÷åñêóþ ïîëüçó, íî è ñâîþ áîëüøóþòåîðåòè÷åñêóþ ðîëü, ïîñêîëüêó ïîçâîëèë âûðàáîòàòü åäèíîîáðàçíûé, îïòèìèçàöèîííûé ïîäõîä ê øèðîêîìó êëàññó çàäà÷ è ïîëó÷èòü ìíîãèå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ îòíîñÿòñÿ ê êëàññó íàèáîëåå ñëîæíûõâàðèàöèîííûõ çàäà÷. Òåîðèÿ òî÷íûõ øòðàôîâ ïðèìåíÿëàñü ê çàäà÷àì òåîðèè óïðàâëåíèÿÂ. Ô.
Äåìüÿíîâûì è Â. Â. Êàðåëèíûì [85].  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [38] ñ ïîìîùüþ òåîðèè òî÷íûõ øòðàôîâ áûë ïîëó÷åí ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèíà äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãîóïðàâëåíèÿ â äîñòàòî÷íî îáùåé ïîñòàíîâêå.Òåîðèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ âîçíèêëà è ôîðìèðîâàëàñü ïîä ñóùåñòâåííûì âëèÿíèåì èññëåäîâàíèé êîñìè÷åñêèõ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ. Îäíà èç ïåðâûõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ áûëà ïîñòàâëåíà Ä.
Å. Îõîöèìñêèì â ñòàòüå [53]. Ñóùåñòâåííûì òîë÷êîì,èíèöèèðîâàâøèì öåëóþ ñåðèþ êàê òåîðåòè÷åñêèõ, òàê è ïðàêòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, ñòàëèïðèíöèï ìàêñèìóìà, ïîëó÷åííûé Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèíûì, Â. Ã. Áîëòÿíñêèì, Å. Ô. Ìèùåíêî èÐ. Â. Ãàìêðåëèäçå [54] è ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ðàçðàáîòàííûé Ð. Áåëëìàíîì [7, 8]. Ê ðåøåíèþ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå ïîäõîäû.Ñóùåñòâóåò êëàññ ìåòîäîâ, îñíîâàííûõ íà ñâåäåíèè èñõîäíîé çàäà÷è ê êðàåâîé çàäà÷å [36, 49,100, 104, 107, 110, 114, 121], êîòîðîå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ïðèíöèïà ìàêñèìóìà. Åù¼îäíó ãðóïïó ìåòîäîâ, îïèðàþùèõñÿ íà ïðèíöèï ìàêñèìóìà, ñîñòàâëÿþò ðàçëè÷íûå ìåòîäûïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé [5, 6, 19, 22, 30, 44, 45, 46, 49, 103].  îñíîâå äðóãîé îáøèðíîéãðóïïû ìåòîäîâ ëåæàò èòåðàöèîííûå ïðîöåññû â ïðîñòðàíñòâå óïðàâëåíèé, êîòîðûå áàçèðóþòñÿ íà âàðèàöèÿõ ìèíèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà [4, 101, 102, 49, 52, 74, 77, 81, 94, 95, 122].Íàêîíåö, öåëàÿ ñåðèÿ ìåòîäîâ áàçèðóåòñÿ íà ïðèíöèïå äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿè ñîñòîèò â îñíîâíîì â ïåðåáîðå â ïðîñòðàíñòâå ôàçîâûõ êîîðäèíàò è àíàëèçå âàðèàíòîâ.Ìíîãèå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñõåì òàêæå ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþò ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (íàïðèìåð, ãðàäèåíòíûå ìåòîäû, ìåòîä Íüþòîíà, ìåòîäû Ðèòöà è Ãàë¼ðêèíà[9]) è ýôôåêòèâíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ óìåíèåì ýôôåêòèâíî ðåøàòü îïòèìèçàöèîííûå çàäà÷è.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
