Диссертация (1149642), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Это дифференциальное уравнение опять можно рассматривать как неголономную связь порядка 2s + 4,наложенную на движение механической системы. Другими словами: если рассматриваемаямеханическая система движется под действием управления, найденного с помощью принципа максимума Понтрягина, то в процессе этого движения непрерывно выполняется неголономная связь порядка 2s + 4. Поэтому наличие связи высокого порядка, вытекающей изминимизации функционала (1.5) с помощью применения принципа максимума Понтрягина, позволяет задачу определения управляющей силы, обеспечивающей гашение колебаний,рассматривать как некоторую задачу неголономной механики со связями высокого порядка.Итак, решение краевой задачи (1.3), (1.4) при минимизации функционала (1.5) с помощьюпринципа максимума Понтрягина оказалось эквивалентным решению задачи о движении механической системы при наложении неголономной связи порядка 2s+4. Поэтому представляется целесообразным попытаться решать эту же механическую задачу, опираясь на теориюдвижения неголономных систем со связями высокого порядка, развитую в монографии [28]и кратко изложенную в главе II диссертации.
Согласно этой теории при наличии связи порядка 2s + 4 можно составить уравнение порядка 2s + 2 относительно реакции этой связи.Таким образом, если рассматривать связь порядка 2s + 4 как некоторую программу движения, которую должна выполнять механическая система, то реакция этой связи оказываетсяуправляющей силой, обеспечивающей выполнение заданной программы. Следовательно, вобщем случае дифференциальное уравнение (5.2) порядка 2s + 2 относительно управления72можно трактовать как дифференциальное уравнение относительно реакции связи. Но еслимы продолжаем пользоваться теорией движения неголономных систем со связями высокого порядка, то естественно вместо минимизации функционала (1.5) с помощью принципамаксимума Понтрягина воспользоваться вариационным принципом, свойственным этой теории.
Таковым принципом является обобщенный принцип Гаусса [56], изложенный в главе II.Применению этого принципа к решению поставленной нами задачи при s = 2 посвященследующий параграф.§ 6. Решение задачи с использованиемобобщенного принципа ГауссаНахождение управления с помощью использования обобщенного принципаГаусса. Система уравнений (1.3), как отмечается в работе [25], описывает управляемое движение той механической системы, которая имеет нулевую собственную частоту и s различных ненулевых собственных частот. Необходимо только, чтобы управляющей силой возбуждались все собственные формы колебаний.
Это, конечно, достаточно широкий класс механических систем, в который как классический пример входит и тележка с маятниками. Система(1.3) записана в безразмерной форме, и потому имеет простой вид. Благодаря этой простотевыше на основе несложных выкладок было показано, что минимальность функционала (1.5)в соответствии с принципом максимума Понтрягина достигается при отыскании искомогоуправления в виде (5.1). Обобщенный принцип Гаусса, как и принцип максимума Понтрягина, никак, конечно, не связан с тем, в размерной или в безразмерной форме записаныуравнения движения и какие координаты используются — главные или обычные.
Учитываяэто, для простоты изложения обобщенный принцип Гаусса сформулируем применительно ксистеме уравнений (1.3), полагая, что в ней берутся обычные производные по времени t.Рассуждения будем проводить применительно к гашению колебаний тележки с двумя маятниками, на движение которой наложена связь восьмого порядка (5.5).Как мы видели в главе I диссертации, при использовании понятия касательного пространства к многообразию всех положений механической системы, которые она может иметь в данный момент времени, уравнения Лагранжа второго рода можно представить в виде одноговекторного уравненияMW = Y + R ,(6.1)где в случае тележки с двумя маятникамиMW =3∑aστ q̈ τ eσ ,Y=−σ,τ =13∑cστ q τ eσ ,σ,τ =1q 1 = φ1 ,q 2 = φ2 ,R=3∑Rσ eσ ,σ=1q3 = x ,а eσ , σ = 1, 3, являются векторами взаимного базиса, введенными в касательном пространстве.
Выше отмечалось, что управление u, удовлетворяющее уравнению (5.5), можно рас73сматривать как реакцию линейной неголономной связи восьмого порядка. Поэтому в векторном уравнении (6.1) вектор, соответствующий наличию управления u, обозначен буквойR, которая используется обычно в неголономной механике для обозначения вектора реакции связи. Применительно к нашей задаче управляемого движения его можно представитьв видеR = u(t) b ,b=3∑bσ eσ .σ=1Обобщенный принцип Гаусса утверждает, что()2d6 W d6 Y(8)δM− 6= 0.dt6dt(6.2)Здесь символ δ (8) означает, что варьируются лишь восьмые производные от обобщенных координат.
Согласно принципу (6.2) линейная связь восьмого порядка (5.5) является идеальной(можно говорить, что в этом случае и отыскиваемое управление можно назвать идеальным),если ее "реакция" ℜ ≡ R(8) оказывается минимальной, то есть если минимальной оказывается величина((ℜ) ≡ R(8)2)2()2d6 W d6 Y= M− 6.dt6dt(6.3)Из всех возможных линейных неголономных связей восьмого порядка выделим такое()2подмножество, для элементов которого величина R(8) равна своей нижней границе, равнойнулю. Всем этим элементам, как это следует из выражения (6.3), соответствует единственноеуравнениеd6 u= 0,dt6общее решение которого имеет видu(t) =6∑Ck tk−1 .(6.4)k=1В отличие от управления, задаваемого формулой (4.21), управление, отыскиваемое в виде полинома (6.4), не будет иметь осцилляций, соответствующих собственным частотам системы.Найденная функция будет достаточно гладкой, в чем состоит ее безусловное преимущество.Анализ численных расчетов.
Проведем серию из четырех расчетов, соответствующихчетырем временам движения (4.22) рассматриваемой механической системы. Значения произвольных постоянных в управлении (6.4) при каждом конкретном значении безразмерноговремени движения T находится совершенно аналогично тому, как это делалось при определении произволных постоянных для решения (4.21), полученного ранее при использованиипринципа максимума Понтрягина. В результате для найденного с помощью обобщенного74Рис.
III.6.1. Кратковременное движение механической системы, T = T2 , T2 = 0.5 T1Рис. III.6.2. Движение механической системы при T = 4 T2 , T2 = 0.5 T1принципа Гаусса управления (6.4) получим значения:T = T2 :C2 = −693.61 ,C1 = 78.876 ,C4 = −1248.86 ,C5 = 445.03 ,C3 = 1492.85 ,C6 = −56.663 ;T = 4 T2 :C1 = 0.00139 ,C2 = 0.01582 ,C4 = −0.00212 ,C3 = 0.00346 ,C5 = 0.000231 ,C6 = 0 ;T = 8 T2 :C1 = 0.00002 ,C2 = 0.00254 ,C4 = −0.00005 ,C3 = 0.00004 ,C5 = 0 ,T = 16 T2 :C1 = 0 ,C2 = 0.00034 ,C3 = 0 ,75C4 = 0 ,C5 = 0 ,C6 = 0 .C6 = 0 ;Рис. III.6.3. Движение механической системы при T = 8 T2 , T2 = 0.5 T1Рис. III.6.4.
Длительное движение механической системы, T = 16 T2 , T2 = 0.5 T1На рисунках III.6.1 – III.6.4 графически представлены результаты четырех расчетов, полученных при использовании двух различных принципов. Как и в § 4, принималось, чтоT2 = 0.5 T1 и учитывалось, что ω1 = 1. Решения, полученные с помощью принципа максимума Понтрягина, изображены на рисунках пунктирными кривыми, а решениям, полученнымс привлечением обобщенного принципа Гаусса, соответствуют сплошные линии.Из сравнения этих случаев движения видно, что при кратковременном движении (привремени перемещения тележки, близком к периоду второй формы колебаний, см.
рис. III.6.1)решения, полученные по обоим методам, практически совпадают, а при увеличении временидвижения они начинают различаться все более. Особенно большое различие наблюдаетсяпри длительном движении (например, при T = 16 T2 , см. рис. III.6.4). Это различие можнообъяснить тем, что управление, полученное с помощью использования принципа максимумаПонтрягина, как отмечалось в § 4, содержит гармоники с собственными частотами систе76мы, что вводит систему в резонанс. В то же время управление, созданное с применениемобобщенного принципа Гаусса, задается полиномом, что обеспечивает сравнительно плавноедвижение системы.Интересно обратить внимание еще на одно обстоятельство — применение принципа максимума Понтрягина, как отмечалось выше неоднократно, всегда создает скачки управляющейсилы в начале и в конце движения. Если же используется обобщенный принцип Гаусса, топри длительном времени движения подобные скачки исчезают.
Поэтому возникает вопрос,нельзя ли удалить скачки управления и при кратковременном движении системы. Этомувопросу посвящен следующий параграф.§ 7. Расширенная (обобщенная) краевая задачаВ данном параграфе нашей целью является устранение скачков управляющей силы вначале и в конце движения, полученных при использовании обобщенного принципа Гауссав случае исследования кратковременного движения механической системы (см.
рис. III.6.1).Для этого дополнительно к краевым условиям (1.2) достаточно потребовать выполнения иусловийẍ(Te) = 0 .ẍ(0) = 0 ,(7.1)Из уравнений (1.1) и граничных условий (1.2) следует, что при выполнении (7.1) в начале ив конце пути ускорения у всех точек системы будут равны нулю. В главных координатах кграничным условиям (1.4) добавятся краевые условияẍ0 (0) = 0 ,ẍ0 (T ) = 0 .(7.2)Таким образом, теперь уравнения (4.19) должны решаться при выполнении граничныхусловий (4.20) и (7.2). Добавление граничных условий (7.2) отличает сформулированную вэтом праграфе задачу от первоначально поставленной классической краевой задачи (4.19),(4.20), поэтому задачу (4.19), (4.20), (7.2) будем называть расширенной (обобщенной) краевойзадачей.Для решения такой задачи воспользуемся обобщенным принципом Гаусса, порядок которого увеличим на две единицы по отношению к принципу, использованному в предыдущемпараграфе.
Тогда будет отыскиваться минимум выражения()2()2d8 W d8 Y2,(ℜ) ≡ R(10) = M− 8dt8dt(7.3)а, в свою очередь, минимум выражения (7.3), равный нулю, достигается при выполнениидифференциального уравненияd8 u= 0.dt8Общее решение этого уравнения имеет видu(t) =8∑k=177Ck tk−1 .(7.4)Рис. III.7.1. Кратковременное движение без скачков управляющей силы, T = T2 , T2 = 0.5 T1Значения произвольных постоянных Ck , k = 1, 8, получим из удовлетворения граничныхусловий при τ = T и при выполнении ẍ0 (0) = 0. При этом легко заметить, что C1 = 0,так как в силу первого уравнения в (4.19) и дополнительного граничного условия ẍ0 (0) = 0получаем, что u(t) = 0. Поэтому вместо (7.4) имеемu(t) =8∑Ck tk−1 ,k=2и для нахождения имеющихся здесь неизвестных коэффициентов достаточно выполнитьлишь граничные условия при τ = T .После взятия интегралов и решения линейной алгебраической неоднородной системыуравнений седьмого порядка, получим следующие численные значения:T = T2 :C1 = 0 ,C2 = 669.77 ,C5 = −8337.44 ,C3 = −4266.12 ,C6 = 3958.27 ,C4 = 8837.38 ,C7 = −922.054 ,(7.5)C8 = 83.8568 .Вычисляя частное решение системы дифференциальных уравнений (4.19), соответствующеенулевым начальным условиям, в виде интегралов Дюамеля при значениях (7.5), получимграфики, представленные на рис.
III.7.1. Как видно из графика безразмерного управления,действительно удалось устранить скачки управляющей силы в начале и в конце движениясистемы.Интересно еще сравнить между собой результаты, полученные с помощью примененияобобщенного принципа Гаусса для расширенной краевой задачи и для исходно поставленнойв § 1 классической краевой задачи. Результаты таких расчетов для различных соотношений параметров представлены на рисунках III.7.2, III.7.3, III.7.4, III.7.5, III.7.6 сплошными78Рис. III.7.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
