Автореферат (1149641), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для построения теории движения неголономных систем в рассмотрение вводятся векторы, которые в касательном пространстве формируют "Kпространство" размерности k с базисомε l+κ ≡ ∇ ′′ f2κ =∂f2κ σe ,∂ q̈ σκ = 1, k ,σ = 1, s .(1.9)Обобщенный оператор ∇ ′′ был предложен Н.Н. По́ляховым. Если ввести векторы ε λ ,λ = 1, l, удовлетворяющие условиямε λ · ε l+κ = 0 ,λ = 1, l ,κ = 1, k ,то касательное пространство разобьется на прямую сумму подпространств K и Lс базисами {εεl+κ , .
. . , ε s } и {εε1 , . . . , ε l }. Любой вектор, например вектор ускорения5Рис. 1. Траектория движения спутника с постоянным ускорением(первая теория)системы, может быть представлен в виде двух ортогональных составляющих, принадлежащих этим подпространствам:W = WK + WL ,WL ⊥WK .При идеальных связях RL = 0 и их реакция представляется следующим образом:R = RK = Λκ ε l+κ ,κ = 1, k ,(1.10)поэтому второй закон Ньютона при несвободном движении принимает видM W = Y + Λκ ε l+κ .(1.11)Из закона (1.11) получены основные виды уравнений несвободного движения и былаустановлена их связь с дифференциальными вариационными принципами механики.В главе II излагаются две теории движения неголономных систем с линейными связями высокого порядка, созданных С.А. Зегждой, Ш.Х. Солтахановым иМ.П.
Юшковым. В первой из них множители Лагранжа рассматриваются как неизвестные функции времени, строится совместная система дифференциальных уравнений относительно них и обобщенных координат. Применение теории иллюстрируетсяподробным решением задачи о движении спутника Земли при закреплении величины его ускорения. Согласно проведенным расчетам (см. рис.
1) спутник начинаетдвигаться между двумя концентрическими окружностями, попеременно их касаясь.Вторая теория базируется на применении обобщенного принципа Геусса, предложенного Н.Н. По́ляховым, С.А. Зегждой и М.П. Юшковым еще в 1983 г. В этом случае (см. рис. 2) спутник (превращающийся в космический аппарат), сделав несколькооборотов вокруг Земли, асимптотически стремится двигаться по прямой с постоянным ускорением. Если в более общем случае рассматривается наложение на движениемеханической системы линейных неголономных связей третьего порядка...
σ...q + al+κκ = 1, k ,(2.1)f3κ (t, q, q̇, q̈, q ) ≡ al+κ30 (t, q, q̇, q̈) = 0 ,3σ (t, q, q̇, q̈)то можно утверждать, что в случае задания связей (2.1) минимизируется величина Ṙ/M = ṘK /M , а тем самым выполняется аналогично классическому принципуГаусса утверждениеδ ′′′ Z(1) = 0 ,(2.2)6Рис. 2. Траектория движения спутника с постоянным ускорением(вторая теория)где введено обозначение (для обобщенного принуждения по Гауссу)()2MẎZ(1) =Ẇ −.2M(2.3)Запись (2.2) можно рассматривать как обобщенный прнцип Гаусса, справедливыйпри наложении связей (2.1). Значок ”(1)” в формулах (2.2) и (2.3) указывает на порядок обобщенного принципа по отношению к классическому принципу Гаусса, атри штриха в записи (2.2) подчеркивают, что вариируются лишь третьи производные от обобщенных координат. Приведенный обобщенный принцип Гаусса первогопорядка (2.2) в случае задания линейных неголномных связей порядка (n + 2) легкообобщается на обобщенный принцип Гаусса n-го порядкаδ (n+2) Z(n) = 0 ,где введено обозначениеZ(n)M=2( (n) (n) )2YW−.M(2.4)(2.5)В формулах (2.4), (2.5) индекс (n) означает порядок производной по времени от вектора, а индекс (n + 2) указывает на то, что частный дифференциал вычисляется при(n+1)фиксированных t, q σ , q̇ σ , ...
, q σ . Минимизируемый в данном случае по величине век(n)(n)(n)тор ℜ ≡ R = M W − Y можно назвать условно "реакцией" линейных неголономныхсвязей порядка (n + 2).Особенно удачным оказывается применение обобщенного принципа Гаусса длясоздания нового метода для решения одной из важнейших задач теории управления. Изложению этого метода и некоторому его развитию посвящены следующиедве главы диссертации.В главе III приводится законченное изложение нового метода, предложенногоС.А.
Зегждой, Ш.Х. Солтахановым и М.П. Юшковым, для нахождения управляющейсилы, переводящей механическую систему за заданный промежуток времени из одного фазового состояния в другое. Такая задача является одной из важнейших задач7теории управления. Изложение метода будем пояснять решением модельного примера о нахождении управляющей силы F , перемещающей горизонтально движущуюсявдоль оси x тележку массы m за заданное время Te на расстояние S (см. рис.
3). Натележке укреплены оси s математических маятников с массами mσ и длинами lσ ,σ = 1, s (на рис. 3 для определенности изображена тележка с двумя маятниками).Требуется переместить данную систему из первоначального состояния покоя в новоеположение покоя (при такой постановке задачи обычно говорят, что решается задачао гашении колебаний).Рис. 3. Тележка с маятникамиДля удобства исследований систему дифференциальных уравнений движения запишем в главных координатах. Рассматриваемая механическая система имеет нулевую частоту и s ненулевых собственных частот Ωσ , σ = 1, s.
Используя собственныеформы колебаний, соответствующие этим частотам, введем главные безразмерныекоординаты xσ , σ = 1, s, задавая их как линейные комбинации углов φσ , σ = 1, s.Переходя к безразмерному времени τ = Ω1 t и вводя (s + 1)-ю безразмерную главную координату x0 , пропорциональную перемещению центра масс рассматриваемоймеханической системы, в результате получимx′′0 = u ,x′′σ + ωσ2 xσ = u ,σ = 1, s .(3.1)Здесь u — управление, пропорциональное силе F , штрихи соответствуют производным по безразмерному времени τ , ωσ = Ωσ /Ω1 , σ = 1, s. Полученную систему дифференциальных уравнений (3.1) будем решать при следующих граничных условиях:x0 (0) = x′0 (0) = 0 , xσ (0) = x′σ (0) = 0 , T = Ω1 Te ,Sx0 (T ) = a ≡ , x′0 (T ) = 0 , xσ (T ) = x′σ (T ) = 0 , σ = 1, s .l1(3.2)Система (3.1) имеет (s+1) дифференциальных уравнений, из нее требуется найтинеизвестные функции x0 , xσ , σ = 1, s.
Но в этой же системе неопределенной являетсяи функция u(t). Поэтому для решения поставленной задачи (3.1)–(3.2) необходимодобавить еще одно условие. В монографии Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., СоколовБ.Н. Управление колебаниями. М.: Наука. 1980 г. при решении подобных задач выборуправления подчиняется условию минимальности функционала∫Tu2 dτ .J=08(3.3)Прменяя для решения задачи оптимального управления (3.1)–(3.3) метод, опирающийся на использование принципа максимума Понтрягина, найдем безразмерноеуправление в видеu(τ ) = C1 + C2 τ +s∑(C2σ+1 cos ωσ τ + C2σ+2 sin ωσ τ ) .(3.4)σ=1Формула (3.4) позволяет посмотреть на полученное с помощью принципа максимума Понтрягина решение с совершенно новой и интересной точки зрения, благодарякоторой удастся соединить две абсолютно различные области механики — теориюуправления и неголономную механику.С этой целью обратим, прежде всего, внимание на то, что полученное управление(3.4) можно рассматривать как решение дифференциального уравнения( 2)( 2)( 2)dd2dd222+ ω1+ ω2 .
. .+ ωs u = 0 .(3.5)dτ 2 dτ 2dτ 2dτ 2Возвращаясь в уравнении (3.5) к размерным переменным и подставляя в полученноеуравнение выражение для F из первого уравнения ЛагранжаM ẍ −s∑mσ lσ φ̈σ = F ,σ=1M =m+s∑mσ ,σ=1получим дифференциальное уравнение порядка (2s + 4) относительно обобщенныхкоординат x, φσ , σ = 1, s. В частном случае наличия лишь двух маятников оно имеетвидa8,xd8 xd8 φ1d 8 φ2d6 xd6 φ1d6 φ2+a+a+a+a+a+8,φ18,φ26,x6,φ16,φ2dt8dt6dt8dt6dt6dt6d4 xd4 φ1d4 φ2+a4,x 4 + a4,φ1+a= 0,4,φ2dtdt4dt4a8,x = M + m1 + m2 , a8,φ1 = −m1 l1 , a8,φ2 = −m2 l2 ,a6,x = (Ω21 + Ω22 )(M + m1 + m2 ) , a6,φ1 = −(Ω21 + Ω22 ) m1 l1 ,a6,φ2 = −(Ω21 + Ω22 ) m2 l2 , a4,x = Ω21 Ω22 (M + m1 + m2 ) ,a4,φ1 = −Ω21 Ω22 m1 l1 , a4,φ2 = −Ω21 Ω22 m2 l2 .(3.6)Таким образом, решению поставленной задачи теории управления с использованием принципа максимума Понтрягина соответствует решение некоторой неголономной задачи при наложении связи порядка (2s + 4).
Поэтому наличие связи высокогопорядка, вытекающей из минимизации функционала (3.3) с помощью примененияпринципа максимума Понтрягина, позволяет задачу определения управляющей силы, обеспечивающей гашение колебаний, рассматривать как некоторую задачу неголономной механики со связями высокого порядка. Но тогда представляется целесообразным попытаться решать эту же механическую задачу, опираясь на теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка, развитую С.А. Зегждой,Ш.Х. Солтахановым, М.П. Юшковым и кратко изложенную в главе II диссертации.Согласно этой теории при наличии связи порядка (2s+4) можно составить уравнение9порядка (2s + 2) относительно реакции этой связи. Таким образом, если рассматривать связь порядка (2s + 4) как некоторую программу движения, которую должнавыполнять механическая система, то реакция этой связи оказывается управляющейсилой, обеспечивающей выполнение заданной программы.
Следовательно, в общемслучае дифференциальное уравнение (3.5) порядка (2s+2) относительно управленияможно трактовать как дифференциальное уравнение относительно реакции связи.Но если мы продолжаем пользоваться теорией движения неголономных систем сосвязями высокого порядка, то естественно вместо минимизации функционала (3.3) спомощью принципа максимума Понтрягина воспользоваться вариационным принципом, свойственным этой теории. Таковым принципом является обобщенный принципГаусса, изложенный в главе II. Дальнейшее изложение будет иллюстрироваться исследованием гашения колебаний тележки, несущей оси двух маятников (s = 2).Как было показано в главе I диссертации, при использовании понятия касательного пространства уравнения Лагранжа второго рода можно представить в виде одноговекторного уравнения (1.7), где в случае тележки с двумя маятниками имеемMW =3∑τσaστ q̈ e ,Y=−σ,τ =13∑τσcστ q e ,σ,τ =11q = φ1 ,2R=3∑Rσ eσ ,σ=1q = φ2 ,3q = x.Выше отмечалось, что управление u, удовлетворяющее уравнению (3.5) при s = 2,можно рассматривать как реакцию линейной неголономной связи восьмого порядка (3.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
