Автореферат (1149641), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому в уравнении (1.7) вектор R, который в неголономной механикеобозначает вектор реакции связи, в нашей задаче при использовании аппарата неголономной механики соответствует управлению u. Применительно к рассматриваемойзадаче управляемого движения этот вектор можно представить в видеR = u(t) b ,b=3∑bσ eσ .σ=1Обобщенный принцип Гаусса утверждает, что()2d6 W d6 Y(8)δM− 6= 0.dt6dt(3.7)Согласно принципу (3.7) линейная связь восьмого порядка (3.6) является идеальной (можно говорить, что в этом случае и отыскиваемое управление можно назватьидеальным), если ее "реакция" ℜ ≡ R(8) оказывается минимальной, то есть еслиминимальной оказывается величина)2(()2d6 W d6 Y.(3.8)− 6R(8) = Mdt6dtИз всех возможных линейных неголономных связей (восьмогопорядка выделим)2такое подмножество, для элементов которого величина R(8) равна своей нижней10границе, равной нулю.
Всем этим элементам, как это следует из выражения (3.8),соответствует единственное уравнениеd6 u= 0,dt6откуда u(t) =6∑Ck tk−1 .(3.9)k=1В отличие от управления, полученного с помощью применения принципа максимумаПонтрягина, управление, отыскиваемое в виде полинома (3.9), не будет иметь осцилляций, соответствующих собственным частотам системы. Найденная функция будетдостаточно гладкой, в чем состоит ее безусловное преимущество.Рис.
4. Кратковременное движение механической системы, T = T2 , T2 = 0.5 T1Рис. 5. Длительное движение механической системы, T = 16 T2 , T2 = 0.5 T1Для иллюстрации изложенного приведем расчеты для случая s = 2 и при a = 1.Решение зависит от двух безразмерных параметров T /T2 и T2 T1 , где T1 и T2 — безраз11мерные периоды колебаний, соответствующие первой и второй ненулевым собственным частотам. Так как ω1 = 1, то T1 = 2π, в свою очередь T2 = 2π/ω2 . Рассматривались два случая движения (кратковременное и длительное):T = T2 ,T = 16 T2 ,при этом T2 = 0.5 T1 .Результаты расчетов, полученные с с помощью принципа максимума Понтрягина,представлены рисунках 4 и 5 пунктирными линиями, а с помощью обобщенного принципа Гаусса — сплошными кривыми.
Из сравнения этих случаев движения видно, чтопри кратковременном движении (см. рис. 4) решения, полученные по обоим методам,практически совпадают, а при длитедбном времени движения (см. рис. 5) они заметно различаются. Это различие можно объяснить тем, что управление, полученноес помощью использования принципа максимума Понтрягина, содержит гармоникис собственными частотами системы, что вводит систему в резонанс. В то же времяуправление, созданное с применением обобщенного принципа Гаусса, задается полиномом, что обеспечивает сравнительно плавное движение системы.Интересно обратить внимание еще на одно обстоятельство — применение принципа максимума Понтрягина всегда создает скачки управляющей силы в начале ив конце движения.
Если же используется обобщенный принцип Гаусса, то при длительном времени движения подобные скачки исчезают. Поэтому возникает вопрос,нельзя ли удалить скачки управления и при кратковременном движении системы.Рис. 6. Кратковременное движение без скачков управляющей силы, T = T2 , T2 = 0.5 T1С этой целью в излагаемой теории формулируется и решается расширенная (обобщенная) краевая задача, в которой дополнительно требуется обращение в нуль обобщенных ускорений в начале и в конце движения системы. В нашем случае легкопоказать, что для этого достаточно потребовать дополнительно к граничным условиям (3.2) и выполнения условийẍ0 (0) = 0 ,ẍ0 (T ) = 0 .12Полученный расчет представлен на рис.
6, этот рисунок полезно сравнить с рис. 4.Важно отметить, что решить сформулированную расширенную (обобщенную)краевую с помощью применения принципа максимума Понтрягина невозможно, таккак полученное с его помощью управление будет содержать количество неизвестных произвольных постоянных, недостаточное для удовлетворения всех поставленных граничных условий. В отличие от этого применить к сформулированной расширенной краевой задаче обобщенный принцип Гаусса можно, увеличив его порядок надве единицы.Глава IV посвящена дальнейшему развитию рассматриваемого нового методатеории управления. Оказалось, что формулировка и решение расширенной краевойзадачи не всегда оказывается полезной.
Дело в том, что, как показывают расчеты, результаты движения механической системы под действием управления, полученного врезультате решения обобщенной краевой задачи, существенно зависят от безразмерного параметра K = T /T1 . В работе Зегжда С.А., Гаврилов Д.Н. Гашение колебаний упругого тела при его перемещении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012.Вып. 3 было показано, что существует счетное множество таких значений (особыхточек решений) параметра K, при приближении к которым в системе развиваютсяинтенсивные колебания.Рис. 7. Сравнение решений по Гауссу, соответствующих расширенной иобычной краевым задачам, при T = 4 T2 , T2 = 0.25 T1В качестве примера рассмотрим гашение колебаний тележки с двумя маятникамипри следующих значениях безразмерных параметров:l21= ,l14m14= ,M + m1 + m25m21=,M + m1 + m210Ω2= 2.242 .Ω1(4.1)Движение тележки, измеренное в долях S, полученное с помощью обобщенного принципа Гаусса в случае решения обыкновенной краевой задачи, представлено на рис.
7плавной сплошной жирной линией. В то же время в результате решения задачи притех же параметрах (4.1) в случае постановки расширенной краевой задачи получаемдвижение тележки, представленное на рис. 7 пунктирной линией. Видим, в этом случае развиваются интенсивные колебания тележки. Это объясняется тем, что принятым значениям параметров (1.1) соответствует значение K = 1.5, близкое к величинепервой особой точки, равной K = 1.522.Для нахождения решения без особых точек в диссертации предлагается следующий метод. Назовем сформулированную ранее расширенную краевую задачу расши13ренной краевой задачей первого порядка и получаемое в результате решение обозначим через u1 (τ ). Наряду с этой задачей поставим еще более сложную расширеннуюкраевую задачу второго порядка, в которой дополнительно потребуем, чтобы у тележки в начале и в конце пути производная и от ускорения по времени равнялосьнулю.
Решение этой задачи обозначим через u2 (τ ). Это новое решение также будет иметь особые значения параметра K, но они будут отличны от особых значенийпредыдущего решения. Тогда при любых значениях параметра µ функцияu(τ ) = u1 (τ ) + µ(u2 (τ ) − u1 (τ ))(4.2)будет решением рассматриваемой задачи. Избежать вычисления особых значенийрешений u1 и u2 и построить аналитическое решение, непрепрерывно зависящее отпараметра K, позволяет определение параметра µ из условия минимальности интеграла от квадрата функции u(τ ) за время перемещения T .
Это решение соответствуетследующему значению параметра µ∫ T∫ T∫ TJ1 − J22µ=, J1 =u1 (τ ) dτ , J2 =u1 (τ )u2 (τ ) dτ , J3 =u22 (τ ) dτ .J1 + J3 − 2J2000Как развитие предложенного метода можно было бы строить и решение u3 (τ ) расширенной краевой задачи третьего порядка, в которой добавляются требования обращения в нули четвертых производных от координаты тележки в начале и в концепути и находить µ аналогично предыдущему приему.Рис.
8. Колебания второго маятникаПомимо этого, в диссертации предлагается новый, более простой подход к решению задачи, который позволяет избежать определения собственных частот и собственных форм колебаний данной механической системы. В нем ищется как функциявремени не сила F , которая приложена к тележке, а ускорение тележки ẍ, при котором она за заданное время Te переместится на заданное расстояние S при отсутствиискоростей и ускорений у тележки и у маятников в начале и в конце пути. Тогда вбезразмерных координатах система уравнений запишется в виде√ū = ẍ/g , τ̄ = g/l1 t , α = l2 /l1 .x̄′′0 = ū , x̄′′1 + x̄1 = ū , x̄′′2 + x̄2 /α = ū ,Зная движение тележки и маятников, легко определим и искомую размерную горизонтальную управляющую силу FN по формуле:FN = M gū − m1 gx̄′′1 − m1 gx̄′′2 .14Рис.
9. Управляющая сила для движения тележки с двойным маятникомРасчеты проводились с использованием формулы (4.2) при следующих значенияхпараметров:1l2= ,l141m2= ,m181m= ,m12K = 1.54 ,S=l1.5На рис. 8 показаны колебания второго маятника в градусах, пунктирная линия соответствует старому подходу, а сплошная — новому.Предложенный метод используется и при гашении колебаний тележки с двойным маятником. На рис. 9 приведена зависимость силы F , выраженной в долях M g,от безразмерного времени τ . Исходные параметры механической системы таковы:m1 = m2 = m, l1 = l2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
