Диссертация (1149516), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда]︀˜ ˜+1 −˜ ) [︀(˜+˜−(˜+(˜− ) − ( ) .+1 ) = (+1 ) + eТак как˜˜˜+˜−˜−(˜+ ) − ( ) = ( ) + − = ( ),˜ 0 (˜+1 −˜ ) ,(˜−+1 ) = e˜ ˜+1 −˜ )(˜ 0 (˜+1 −˜ ) .то отсюда получаем: (˜−(˜−+1 ) = e ) + e2. Пусть ˜−1 + < ˜ < ˜ + < ˜+1 (см. рис. 3.3). Тогда из (3.20) получимРисунок 3.3: Случай 2. () =⎧⎪˜ e (−˜ ) 1 , ˜ < < ˜ + ,⎨⎪⎩0,˜ + < < ˜+1 .⎧⎪˜ e0 (−˜ ) ,⎨˜ < < ˜ + ,⎪⎩0,˜ + < < ˜+1 .Поэтому в (3.22) можно выбрать() =˜ ˜+1 −˜ )˜ ˜+1 −˜ − ) 0 (˜ (Рассуждая как в случае 1, получаем (˜−(˜−e .+1 ) = e ) + e3.
Пусть ˜ < ˜−1 + < ˜+1 < ˜ + (см. рис. 3.4). Тогда⎧⎪˜ e (−˜ ) 1 + ˜ −1 e (−˜−1 ) 1 , ˜ < < ˜−1 + ,⎨ () =⎪⎩˜ e (−˜ ) 1 ,˜−1 + < < ˜+1 ,и в (3.22) можно выбрать⎧⎪˜ e0 (−˜ ) + ˜ −1 e0 (−˜−1 ) ,⎨() =⎪⎩˜ e0 (−˜ ) ,50˜ < < ˜−1 + ,˜−1 + < < ˜+1 .Рисунок 3.4: Случай 3.Отсюда находим˜ ˜+1 −˜ )(˜ 0 (˜+1 −˜ ) −(˜−(˜−+1 ) = e ) + e(︁)︁˜ ˜+1 −˜ )˜ ˜ −˜−1 − ) 0 (0 (˜ −˜−1 )(˜− −1 ee−ee.4. Пусть ˜ < ˜−1 + < ˜ + < ˜+1 (см. рис. 3.5).
ТогдаРисунок 3.5: Случай 4.⎧⎪⎪˜ e (−˜ ) 1 + ˜ −1 e (−˜−1 ) 1 , ˜ < < ˜−1 + ,⎪⎪⎪⎨˜ e (−˜ ) 1 , () = ˜−1 + < < ˜ + ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩0,˜ + < < ˜+1 .и в (3.22) можно выбрать⎧⎪⎪˜ e0 (−˜ ) + ˜ −1 e0 (−˜−1 ) ,⎪⎪⎪⎨˜ e0 (−˜ ) ,() = ⎪⎪⎪⎪⎪⎩0,˜ < < ˜−1 + ,˜−1 + < < ˜ + ,˜ + < < ˜+1 .Следовательно, в случае 4 имеем˜ ˜+1 −˜ − ) 0 ˜ ˜+1 −˜ )(˜ ((˜−e −(˜−+1 ) = e ) + e(︁)︁˜ ˜+1 −˜ )˜ ˜ ˜˜ ˜˜ −1 e(−e0 ( −−1 ) − e( −−1 − ) e0 .Лемма доказана.Продолжим доказательство теоремы.
Для > 1 на интервале ˆ < < ˆ+1 функция ()претерпевает скачки (+ ) − (− ) = в точках = , + 1 6 6 . Предположениеinf Φ() > гарантирует, что ˆ + < +2 , в то время как точка +1 может находиться как винтервале (ˆ , ˆ + ), так и в интервале (ˆ + , ˆ+1 ), поэтому нужно учитывать оба эти случая.51ˆ−ˆ−Рассмотрим сначала случай > 2, т.
е. > + 2. Очевидно ˆ(ˆ−+1 ) = (+1 ) − (+1 ).˜ − −1 , ˆ+1 − ) = 0, т. к. − −1 > inf Φ() > . Тогда из теоремы 2 [30] иЗаметим, что (леммы 3.2 следует˜ ^^(+1 − )(+1 − )˜ ˆˆˆ(ˆ−(−(−+1 ) = e ) + (+1 − ) − e ) − (+1 − ).(3.24)Найдем (− ).∙ Применяя лемму 3.2 на интервале ˆ < < +1 , получаем˜ +1 −^ )(ˆ ˜˜ ˆˆˆ(−(ˆ− ) − (+1 − ) + ( − , +1 − ).+1 ) = Заметим, что если < ˆ−1 , то предыдущая формула верна, т.
к. ˆ − > ˆ −ˆ−1 > inf Φ() > ,˜ ˆ − , +1 − ˆ ) = 0.а значит (∙ Из леммы 3.2 на интервале +1 < < +2 следует˜ +2 −+1 )(ˆ ˜˜ˆ(−(−+2 ) = +1 ) + +1 (+2 − +1 ) − (+1 − , +2 − +1 ).Подставляя полученное ранее значение (−+1 ) и учитывая, что˜˜ +2 −^ − ) 0 ˜ +1 − ˆ ) + (˜ +1 − ˆ , +2 − +1 ) = e(e ,e(+2 −+1 ) (получаем:˜˜^(+2 − ) ˆ−˜ ˆ − , +1 − ˆ ) +(−( ) + e(+2 −+1 ) (+2 ) = e˜^ˆ e(+2 − − ) 0 .˜ +2 − +1 ) − + +1 (∙ Если > 3, то лемма 3.2 на интервале +2 < < +3 дает˜ +3 −+2 )(˜˜(−(−+3 ) = +2 ) + +2 (+3 − +2 ) + +1 (+2 − +1 , +3 − +2 ).˜ +2 − +1 , +3 − +2 ) = 0. Следовательно,Так как +2 − +1 > inf Φ() > , то ((−+3 )= ˜ +3 −+2 )((−+2 ), получаем:˜^−(+2 )˜ +3 − +2 ). Подставляя полученное ранее значение+ +2 (˜(+3 − ) ˆ−˜ ˆ − , +1 − ˆ ) +(−( ) + e(+3 −+1 ) (+3 ) = ˜˜ +3 −^ − ) 0 ˆ e(˜ +2 − +1 ) + +2 (˜ +3 − +2 ) − + +1 e(+3 −+2 ) (e .∙ Продолжая цепочку аналогичных рассуждений, получим˜ −^ )˜ −+1 ) ˜(((−(ˆ−(ˆ − , +1 − ˆ ) −) = e ) + e˜ −^ − ) 0 ˆ e(−e +52−1∑︁=+1˜˜ +1 − ).
e( −+1 ) (˜ +1 − − ) 0 ˜ +1 − ) = (Заметим, что ( , так как +1 − > . Таким образом,˜ −^ )˜ −+1 ) ˜(((−(ˆ−(ˆ − , +1 − ˆ ) −) = e ) + e˜^ˆ e( − − ) e0 + , , (3.25)−где , =Так−1∑︀˜ ( − − ) 0 .=+1как (ˆ−)ˆ= (^ − ) (− ) + ( − ), то^( − )ˆˆ−(−ˆ(ˆ−ˆ(ˆ−(ˆ−) = ). ) = ( ) − ) + ( − ) − (3.26)В итоге, подставляя (3.26) в (3.25), а (3.25) в (3.24), получаем˜ ^+1 −^ )˜ ^+1 −^ ) (^ − )(^+1 − )((ˆ(ˆ−(−(−ˆ( ˆ−+1 ) = )−) −)+˜ ^˜ ^^˜ ˆ − , +1 − ˆ ) +− e(+1 − ) (ˆ − ) − e(+1 −+1 ) (˜ ^+1 −^ − ) 0 ˆ e(˜ ˆ+1 − ).+e − , + (ˆ+1 − ) − (˜˜ ˆ − , +1 − ˆ ) = (˜ ˆ − , +1 − ˆ ) иЗаметим, что e(^+1 −+1 ) (−1∑︀˜ ˆ+1 − ), т. к.
ˆ − > при всех = + 1, . . . , − 1. (, ==+1Таким образом,(︁)︁˜ ^+1 −^ )−(^+1 − )−((^ − )−ˆˆ(ˆ−)=e()−ee()−ˆ()−+1)︁(︁˜ ^^˜ ˆ − , ˆ+1 − ˆ ) +− e(+1 − ) (ˆ − ) + (ˆ (˜ ˆ+1 − ˆ ) −+∑︁=+1˜ ˆ+1 − ) + (ˆ+1 − ), (3.27) (откуда следует утверждение (3.15) в случае > 2.Убедимся, что при = 0 и = 1 формула (3.27) также будет верна.Пусть = 1. Тогда˜ ^^(+1 − )(+1 − )ˆ−ˆˆ−(−(−ˆ(ˆ−+1 ) = (+1 ) − (+1 ) = e ) + (+1 − ) − e)−ˆ (˜ ˆ+1 − ) + ˜ − ˆ , ˆ+1 − ).− (Найдeм (− ):˜^^˜^( − ) ( − )( − )(−e(−(ˆ − ) −) = ) + e˜^ˆ ˜˜ ˆˆˆ− ( − ) ˆ(ˆ− ) − ( − ) + ( − , − ).53Таким образом,(︁)︁˜ ^+1 −^ )−−(^+1 − )−((^ − )−ˆˆˆ(+1 ) = e( ) − e( ) − ˆ( ) −(︁)︁˜ ^^ˆ (˜ ˆ − , ˆ+1 − ˆ ) + ˜ ˆ+1 − ˆ ) +− (+1 − ) (ˆ − ) + (˜ ˆ+1 − ),+ (ˆ+1 − ) − (что совпадает с (3.27) при = + 1.Пусть = 0, т.
е. = . Тогда(︁)︁˜ ^+1 −^ )−−(^+1 − )((^ − )−ˆˆ(ˆ−)=e()−e()−ˆ()+ (ˆ+1 − ) −+1(︁)︁˜ ^^ˆ (˜ ˆ − , ˆ+1 − ˆ ) + ˜ ˆ+1 − ˆ ),− (+1 − ) (ˆ − ) + (что совпадает с (3.27) при = .Теорема 3.6. Точечное отображение (, ) непрерывно.Доказательство. Так как( −−1 )( −−1 )( −−1 − ) 0 (−(−(−e ,) = e−1 ) + −1 ( − −1 ) = e−1 ) + −1 eнесложно получить, что[︁˜˜ − , Φ()) +, (, ) − −1, (, ) = −eΦ() ( − ) − (]︁˜ + Φ() − ) , (3.28)+([︁]︁˜ + Φ() − ) , (, ) − ,−1 (, ) = ( + Φ() − ) − ((3.29)для > 1, > 1.˜˜ ) непрерывны для всех > 0, функция (, ) можетТак как функции (), (),(,иметь разрывы только на поверхностях (, ), где либо = , либо +Φ() = для некоторых, .˜˜˜Тем не менее, из (3.28), (3.29) и равенств (0) = , (0,Φ()) = e(Φ()− ) e0 −˜˜˜eΦ() , (Φ())= e(Φ()− ) e0 , (0) − (0)= 0 следует, что, − −1, |= = 0,, − ,−1 |+Φ()= = 0,поэтому функция непрерывна.Теорема 3.7.
Если производные скалярных функций (·), Φ(·) непрерывны, то частные производные функции (, ) также непрерывны.54Доказательство. Для доказательства теоремы приведем две леммы.Лемма 3.3. Функции˜1 (1 ) =˜ 1 , 2 ))˜ 1 ))(e2 (1 ) + (((1 ) − (и 2 (1 , 2 ) =11непрерывны для всех 1 > 0.Доказательство леммы 3.3. Очевидно, 1 (1 ) и 2 (1 , 2 ) непрерывны для всех 1 > 0, за исключением, возможно, множества 1 = .(a) Покажем, что функция 1 (1 ) непрерывна в точке 1 = .Введем следующие функции:1 () = 0 e0 − 0 e0 ,˜) 0 ˜ (−2 () = e(− ) e0 − ee .Тогда1 (1 ) = 1 (1 ), если 0 6 1 < ,1 (1 ) = 2 (1 ), если < 1 .˜ 0 = 0 e0 + 1 − 0 e0 − 1 = 1 ( ), следовательно, 1 (1 )Однако, 2 ( ) = e0 − eнепрерывна для всех 1 > 0.(b) Докажем теперь, что функция 2 (1 , 2 ) непрерывна на прямой 1 = .Введем следующие функции:˜) 0 ˜ (−e− 0 e0 ),1 () = 0 e0 + (e2 () = e(− ) e0 ,откуда имеем˜2 (1 , 2 ) = e2 1 (1 ), если 0 6 1 < ,˜2 (1 , 2 ) = e2 2 (1 ), если < 1 .Так как˜ 0 − 0 e0 = 0 e0 + 0 e0 + 1 − 0 e0 =1 ( ) = 0 e0 + e= (0 + 1 e−0 )e0 = e0 = 2 ( ),функция 2 (1 , 2 ) непрерывна для всех 1 > 0.55Лемма 3.4.
Для любых > 1, > 1 функции, (, ),, (, )непрерывны при (, ) ∈ , .Доказательство леммы 3.4. Легко видеть, что функция , (, ) может быть представлена как, (, ) = (, ) + (, ) + (, ),где[︀]︀˜˜ (, ) = eΦ() −e(− ) (− ) − ( − ) − ( − , Φ())++∑︁=1 (, ) = e(+Φ()− ) (−)−∑︁=1˜ + Φ() − ), (˜ + Φ() − ) + ( + Φ() − ), (˜˜(, ) = eΦ() + ()(Φ()).Поэтому достаточно показать, что частные производные функций (, ), (, ), ()˜˜непрерывна.непрерывны. Так как (Φ())= e(Φ()− ) e0 , то легко видеть, что функцияПрямыми вычислениями получаем, что1)[︀ (− ) −]︀ (, )˜˜ Φ()= Φ′ ()e−e( ) − ( − ) −∑︁˜′ − ) 0 ˜˜˜ (+Φ()−− Φ ()( − , Φ()) + Φ′ ()e .=1Поскольку функции ( − ) и ( − , Φ()) непрерывны для всех > , функция (, )также является непрерывной для всех > .2) (, )= Φ′ ()e(+Φ()− ) (− ) −−1∑︁˜ − ) 0 ˜ (+Φ()−− Φ′ ()e +=1+ Φ′ ()1 ( + Φ() − ). (, )непрерывна для всех + Φ() > ., (, )Таким образом, получаем, чтонепрерывна для (, ) ∈ , .Из леммы 3.3 следует, что функция56Найдем теперь частные производные по переменной .3) (, )˜= −eΦ() e(− ) (− ) − 2 ( − , Φ()) +∑︁˜ − ) 0 ˜ (+Φ()−+ e ,=1−1∑︁ (, )˜ − ) 0 ˜ (+Φ()−4)= e(+Φ()− ) (− e +)−=1+ 1 ( + Φ() − ).
(, ) (, )непрерывна для всех > , анепрерывна, (, )для всех + Φ() > . Таким образом, функциянепрерывна на множестве (, ) ∈, .откуда из леммы 3.3 следует, чтоПродолжим доказательство теоремы. Из леммы 3.4 следует, что частные производные функции (, ) могут иметь разрывы только на поверхностях (, ), где либо = , либо + Φ() = для некоторых , .На поверхности (, ) : = для некоторого имеем⃒[︁(, (, ) − −1, (, )) ⃒⃒˜˜′˜ Φ()˜ Φ()(e− e0 − ) +− e=Φ()−e⃒=]︁˜)e0 ˜ (Φ()−+e = 0,⃒[︁(, (, ) − −1, (, )) ⃒⃒˜˜Φ()˜ − e0 − 0 ) +0 − eΦ() (e= −e⃒=˜˜ (Φ()− )e+e0 ]︁ = 0,˜˜˜ = e˜ Φ()так как eΦ() и (0 − 0 ) = = 0.На поверхности (, ) : + Φ() = для некоторого верно следующее:⃒(, (, ) − ,−1 (, )) ⃒⃒= Φ′ ()(0 − 0 ) = 0,⃒+Φ()=⃒( (, ) − −1 (, )) ⃒⃒= (0 − 0 ) = 0.⃒+Φ()=Это означает, что частные производные функции (, ) не имеют разрывов на указанныхвыше поверхностях, что завершает доказательство теоремы 3.7.57Как и в предыдущих случаях, введем дополнительные обозначения, относящиеся к отображению (3.14).
Определим функцию⎡⎤, (, )⎦,, () = ⎣ + Φ()⎡ ⎤где = ⎣ ⎦ .Положим () = , () для (, ) ∈ , . Тогда ˆ+1 = (ˆ ), где⎤⎡⎡ ⎤ (, )ˆ⎦.ˆ = ⎣ ⎦ , () = ⎣ + Φ()ˆТак как (·) непрерывно дифференцируема, то можно выписать ее матрицу Якоби:⎤⎡′′ (, ) (, )⎦.′ () = ⎣Φ′ ()1Синхронный режим по отношению к () характеризуется векторной последовательностью⎡ ⎤ˆ0 = ⎣ ⎦ .(3.30)Тогда (ˆ0 ) = ,+1 (ˆ0 ) для > 1.Для всех > 0 введем матрицу с блоками(︁)︁˜˜( )11 = Φ′ +1 + e + ′ e− e ,(︁)︁˜˜ e−˜ e ,( )12 = +1 − e + ( )21 = Φ′ ,( )22 = 1.Теорема 3.8.
Для любого > 0 матрица Якоби отображения (·) в точке ˆ0 вычисляется поформуле′ (ˆ0 ) = .(3.31)Доказательство. Из того, что(+1 − − ) 0 (+1 − )(+1 − )e ,(−(−(−+1 ) = e ) + (+1 − ) = e ) + eполучаем, что для = + 1[︁]︁˜,+1 (, ) = eΦ() − eΦ() e(− ) (−)−[︁]︁˜˜ − , Φ()) − e(+Φ()− − ) e0 −− eΦ() ( − ) + ((︁)︁˜− +1 ( + Φ() − +1 ) − ( + Φ() − +1 ) +˜˜+ eΦ() + ()(Φ()).Для завершения доказательства теоремы докажем следующую лемму.58Лемма 3.5. Частные производные функции (, ) в точке ( , ) вычисляются следующимобразом:˜˜˜ − e0 ) ),′ ( , ) = +1 − e ( + e[︁]︁˜˜′ ( , ) = Φ′ ( )+1 + e + ′ ( )e− e0 ) .Доказательство леммы 3.5. Очевидно ( , ) = ,+1 ( , ).
Из теоремы 3.7 следует, чточастные производные функции (, ) непрерывны, поэтому ( , ) = ( , ) =,+1 ( , ),,+1 ( , ).Прямыми вычислениями получаем, что]︀[︀˜,+1 (, ) = eΦ() − eΦ() e(− ) (− )−[︁]︁˜− eΦ() 1 ( − ) − e(+Φ()− − ) e0 − +1 2 ( + Φ() − +1 ),]︀ (− ) −[︀˜˜ Φ(),+1 (, ) = Φ′ () eΦ() − ee( )−[︁]︀˜′˜ Φ()˜ (˜ − , Φ()) −e(+Φ()− − ) e0 −− Φ () e( − ) + ˜˜˜ Φ() + eΦ() +− +1 Φ′ ()2 ( + Φ() − +1 ) + Φ′ ()e˜˜ (Φ()− ) e0 ,+ ′ ()(Φ())+ Φ′ () ()eгде1 () =⎧⎪˜) 0 ˜ (−⎨0 e0 + ee− 0 e0 ,2 () =⎪⎩e(− ) e0 ,⎧⎪⎨0 e0 − 0 e0 ,если 0 6 6 ,если 6 .если 0 6 6 ,⎪˜) 0 ⎩e˜ (−e− e(− ) e0 ,если 6 .Так как + Φ( ) − +1 = 0 и ( − ) = 0, получаем[︀]︀˜,+1 ( , ) = eΦ( ) − eΦ( ) (− )−]︁[︁˜ )− ) 0 ˜ (Φ(− ee− e(Φ( )− ) e0 ,,+1 ( , ) =Φ′ ( )eΦ( ) + Φ′ ( )e(Φ( )− ) e0 +[︀]︀˜+ eΦ( ) + ′ ( )e− e0 .Наконец, из формулы +1 = e(+1 − ) + e(+1 − − ) e0 получаем утверждение леммы 3.5.59Теорема 3.8 напрямую следует из леммы 3.5.3.3.4Устойчивость синхронного режима по отношению к -циклуПусть ((), ) — периодическое решение системы (3.12) с импульсами на периоде (цикл), где — некоторое целое число, > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
