Диссертация (1149400), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Видно, чтоначальные участки зависимости квадрата смещения фотонов от времени не пря­молинейные. Это означает, что данном участке еще не сформировался диффу­зионный режим. Обратим внимание, что форма кривых на рисунках 2.2 и 2.3 несовпадает.

Причина состоит в том, что переход от шкалы времен к кратностямрассеяния достаточно сложен. Это связано с тем, что время пробега фотоновмежду последовательными рассеяниями зависит от направления распростра­нения. Для необыкновенного луча это обусловлено зависимостью показателя420.250.2036Тла2x ,см20.2Тл0.159Тл0.100.050.000.00.20.4t,10−100.60.81.0с0.252y,см20.20б0.1536Тл0.109Тл0.2Тл0.050.000.00.20.40.6−10 сt, 100.81.0Рис.

2.2. Зависимость квадрата смещения фотонов от времени вдоль, (а), и поперек, (б),направления директора для трех значений внешнего магнитного поля.430.20а36Тл2x (t),см2)0.150.1018Тл0.059Тл0.2Тл0.0002468101214n(t)0.20б36Тл0.102y(t), см20.150.0518Тл9Тл0.2Тл0.0002468101214n(t)Рис. 2.3. Зависимость квадрата смещения фотонов от числа рассеяний для четырех значенийвнешнего магнитного поля: (а) и (б) – проекции вдоль и поперек директора. Графики былиполучены следующим образом.

Число рассеяний, , и квадраты координат фотонов, 2 и 2 , были вычислены для каждой траектории в каждый момент времени. Эти значения былиусреднены по траекториям и ⟨⟩(), ⟨2 ⟩(), ⟨ 2 ⟩() были получены для каждого значения .44преломления и коэффициента экстинкции от угла между волновым вектороми директором, а для обыкновенного луча угловой зависимостью коэффициентаэкстинкции.Видно, что число кратностей рассеяния, необходимых для перехода к диф­фузионному режиму, убывает с ростом напряженности магнитного поля. Этотрезультат представляется естественным, поскольку с ростом магнитного поляиндикатриса однократного рассеяния приближается к круговой, и хаотизациянаправлений распространения фотонов наступает за меньшее число кратностейрассеяния.Была исследована скорость выхода на диффузионный режим в зависимо­сти от направления вылета фотона из источника.

Было обнаружено, что времявыхода на диффузионный режим заметно меньше, если фотон вылетает в обла­сти малых углов по отношению к вектору директора. Для иллюстрации этого⟨︀ ⟩︀эффекта на Рис. 2.4 приведены зависимости 2 () для четырех направленийвылета фотонов.Коэффициенты диффузии были найдены из массива данных, соответству­ющих диффузионному режиму, методом максимального правдоподобия. В ка­честве статистической модели использовалась функция Грина (2.10) уравнениядиффузии.

Коэффициенты находились из соотношений⟩︀1 ∑︁ 1 ∑︁ 21 ∑︁ 1 ⟨︀ 2⊥ = ⊥ ( ) , ⊥ ( ) =4 =1 4 =1 (2.13)⟩︀1 ∑︁ 1 ∑︁ 21 ∑︁ 1 ⟨︀ 2‖ = ‖ ( ) = ‖ ( ) ,2 =1 2 =1 (2.14)=1=1где - число запускаемых фотонов, - число шагов по времени, индекс нумерует запускаемые фотоны, а индекс - шаги по времени. В наших расче­тах моменты времени задавались, начиная с = 0 , с постоянным шагом.Здесь время = 0 относится к области диффузионного режима. Вообще го­воря, можно выбирать достаточно произвольный набор значений , поскольку450.1212x ,см20.1020.0840.0630.040.020.000.00.10.2t,10−100.30.40.5сРис. 2.4. Зависимость квадрата смещения фотона ⟨2 ⟩, от угла между направлением пада­ющего луча и директором: (1) – = /12, (2) – = /4, (3) – = /3, (4) – = /2.46по известной траектории не составляет труда определить положение фотона вкаждый момент времени.Выражения (2.13), (2.14) фактически соответствуют определению угла на­клона прямых, аппроксимирующих методом наименьших квадратов заведомо⟨ ⟩⟨︀ 2 ⟩︀линейные части зависимостей ‖2 () и ⊥().

Для контроля коэффициентыдиффузии определялись также при помощи 4 и 6 моментов⟨ ⟩‖4 = 12‖2 2⟨ ⟩‖6 = 120‖3 3 .(2.15)(2.16)Кроме изложенного в диссертации исследования, моделирование диффу­зии света в НЖК методами Монте-Карло проводилось также в работах [1, 5, 43].Метод, предложенный в работе [1], отличается от традиционного подхо­да, основанного на диаграммной технике решения уравнения Бете–Солпитера.Для описания переноса интенсивности также используется понятие фотонов.Однако фотоны, фактически, отождествляются с волновыми пакетами, т.е.

рас­пространяются не вдоль волнового вектора k, а вдоль вектора Пойнтинга. Приэтом фотоны движутся с групповой скоростью , а средняя длина пробегафотонов равняется не длине экстинкции () , а обратному полному сечению рас­−1сеяния (), отличающемуся от () на множитель cos () . По видимому, такойподход является эквивалентным изложенному в разделе 1.5 способу описанияпереноса интенсивности излучения, но в отличие от традиционного подхода, неможет быть обобщен для моделирования когерентных эффектов.

Моделирова­ние в работе [1] носит вспомогательный характер. Видимо поэтому авторы неописывают подробно процедуру моделирования однократного рассеяния. Кромесамого понятия фотонов отличным от изложенного в разделе 1.5 является спо­соб разыгрывания пробега фотона до рассеяния. Фотоны перемещаются вдольвектора Пойнтинга шагами на расстояние = , где дискретный малый ин­тервал времени является параметром моделирования. При этом на каждомшаге разыгрывается событие, в результате которого фотон или рассеивается и47меняет направление и, возможно, поляризацию, или продолжает прямолиней­ное движение вперед.

Такой подход годится для описания диффузии, но, в силусвоей дискретности, хуже описывает выход на диффузионный режим. В работемоделировалось распространение 2000 фотонов, одна половина из которых име­ла при попадании в среду ()-поляризацию, а вторая — (). Были рассчитаныкоэффициенты анизотропной диффузии для НЖК 5CB для условий, исполь­зовавшихся в эксперименте, описанном в этой же работе. Авторы ссылаютсяна известные данные [68] о параметрах НЖК 5CB, но не приводят конкретныезначения величин, использовавшихся в моделировании.В работе [5] описан способ моделирования, в целом аналогичный изложен­ному в диссертации.

При моделировании использовалось двухконстантное при­ближение 11 = 22 . Также считалось, что индикатриса однократного рассея­ния не зависит от азимутального угла . Такие приближения позволили вместосложного выражения (1.9) использовать упрощенную фазовую функцию, длякоторой направление волнового вектора после рассеяния k() можно разыгры­вать при помощи метода обратных функций. Предположение о независимостирассеяния от угла позволяет качественно описать рассеяние () → (), проис­ходящее в основном вперед, но является плохо контролируемым.

Использован­ные при расчетах параметры примерно соответствуют НЖК MBBA. К сожале­нию, авторы не привели полный набор использовавшихся параметров, что непозволяет провести сравнение с их результатами.В работе [43] фактически был смоделирован эксперимент [1]. Отношениекоэффициентов анизотропной диффузии рассчитывалось по профилю интен­сивности света, прошедшего через слой с НЖК. Использовалась схожая с изло­женной в разделе 1.5 схема моделирования распространения фотонов.

Модели­рование проводилось в одноконстантном приближении 11 = 22 = 33 . Каки в работе [5], такое упрощение позволило разыгрывать k() методом обратныхфункций.482.3. Особенности диффузии света в НЖКВ настоящей работе при моделировании не использовались упрощающиепредположения о свойствах НЖК. Это позволило провести прямое сравнениеполученных результатов с имеющимися экспериментальными и аналитически­ми данными.

Наши расчеты, сделанные для сопоставления с экспериментами,проводились при значениях температуры, длины волны света и напряженностимагнитного поля, использовавшихся в экспериментах. В этих работах измере­ния проводились на жидком кристалле 5CB. В этом жидком кристалле притемпературе = 35.1 происходит фазовый переход изотропная фаза-нема­тик. Вблизи параметры жидкого кристалла очень чувствительны к значе­ниям температуры. В работах [22, 23] измерения проводились при температуре = 27 , напряженности магнитного поля = 0.5 Тл и длине световой волны = 405 нм.

При этой температуре модули Франка имеют значения [22, 23, 69]33 = 6, 1 × 10−7 дин, 11 = 0, 7933 , 22 = 0, 4333 . В работе [1] измеренияпроводились при = 30 , напряженности магнитного поля = 0.2 Тл идлине световой волны = 514.5 нм. При расчетах мы для 33 взяли значение33 = 7.5 × 10−7 дин [70], а соотношение между модулями Франка были взятытакими же, как при = 27 . Результаты сравнения приведены в таблице 2.1.Из таблицы видно, что результаты моделирования, теории и экспериментанеплохо согласуются. Видно, что результаты моделирования и приближенныханалитических расчетов несколько отличаются от экспериментальных данных.Во-первых, это связано с тем, что значения параметров ‖ , ⊥ , , использо­вавшиеся при расчетах, могут отличаться от реальных значений для образца,использовавшегося в эксперименте.

Во-вторых, при измерении коэффициентовдиффузии экспериментаторы вынуждены учитывать конечные размеры образ­ца и влияние многократного отражения света от границ ячейки. Как видно изрезультатов работы [22] (строка 4 в таблице 2.1), разные способы измерения, по­49№ НЖК‖⊥111222.923 2.3815.30.54.72546.4 3002.332.923 2.381 4.187 2.279 5.35CB4—2.923 2.381 5.93PAA3.02.23.352.47MBBA 4.75.411.80.23.23—6, K4.187 2.2792533 , T , мкм ,нм7.56.03.7—4053004.29.51 —7.45 —2.21.5‖⊥‖ /⊥Моделирование1.930.872.28Теория [1, 71]1.430.981.45Моделирование1.700.752.21Теория [71]——1.51Моделирование1.750.782.260.7 ± 0.10.5 ± 0.11.6 ± 0.25Моделирование [1]1.310.91.46Моделирование1.540.682.26Эксперимент [22]0.456±0.019 0.362±0.015 1.26Эксперимент [22]——1.44±0.06Моделирование1.22514.5 303.15 Эксперимент [1]5.220.53.0—Результат5005004003000.522.35Моделирование [43] ——1.3Моделирование0.670.282.43Теория [4]0.5020.2871.75Моделирование1.540.881.77Теория [4]1.1460.8721.31Таблица 2.1.

Сравнение вычисленных и измеренных коэффициентов диффузии. МодулиФранка выражены в 10−7 дин. Коэффициенты диффузии выражены в 109 см2 /с.разному учитывающие граничные эффекты, могут приводить к отличающим­ся значениям для коэффициентов диффузии. Моделирование и аналитическиерасчеты рассматривают диффузию света в бесконечном НЖК.Прямое сравнение результатов нашего моделирования с результатами мо­делирования других авторов мы смогли провести только для работы [43]. Спо­соб моделирования, использовавшийся в [43], не позволяет рассчитать абсолют­ные значения коэффициентов диффузии, но предсказывает близкое к экспе­риментальному отношение ‖ /⊥ = 1.3. В нашем моделировании это отно­шение получилось значительно большим.

Интересно, что такое значение по­лучено при моделировании прохождения света через слой, имеющий толщину ≫ (,) . При моделировании прохождения света через слой с толщиной, рав­ной длине экстинкции, значение выражения, имеющего для диффузионного ре­жима смысл ‖ /⊥ , равнялось 2.85 [43], то есть больше полученного нами.Особенно интересно сравнить результаты моделирования с результатамиприближенных аналитических вычислений.

Характеристики

Список файлов диссертации