Диссертация (1149373), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пунктирной линией нанесено решение первого уравнения в системе (1.5), которое описывает теоретическую зависимость двух исследуемыхпараметров и должно идти вдоль линии минимальных значений χ2 для σlos,min .На нижнем рисунке представлены соответствующие значения χ2 для большойоси, полученные для пар параметров из серой области. Заметим, что пунктирнаялиния не целиком лежит внутри минимальной зоны. Такое поведение нормальнои легко прослеживается по карте σlos,maj (средняя карта), где при β = 0.5 границы серой области одновременно пересекаются с одной изолинией, а пунктирнаялиния ее уже пересекла и теперь соответствует меньшему χ2 .На построенных картах видно, что оба профиля дисперсий скоростей звездпо отдельности не восстанавливаются, так как присутствует вырождение параметров — минимальное значение χ2 лежит в широкой области параметров σR,0и β, связанных соотношениемσR,0 (sin2 i + β2 cos2 i) = const.Иными словами, для любого значения β можно подобрать подходящее σR,0 так,что ошибка восстановления соответствующего профиля будет меняться достаточно слабо.
Для NGC 1068, как и во всех остальных случаях, вырождение вдольмалой оси более строгое, то есть при подборе подходящих параметров величинаχ2 будет одной и той же для любого β. Такое поведение напрямую следует изпервого уравнения в (1.5), откуда связь между параметрами может быть явно записана в аналитическом виде.
Однако, несмотря на вырождение, из последнегорисунка видно, что для всех кривых на нем есть глобальный минимум. Это означает, что существуют значения параметров β и σR,0 , минимизирующих ошибкидля обеих проекций данных. Получившийся минимум значений для β довольно широк, но лежит в пределах доверительного интервала значений из работы[9].
Значение параметра дисперсии скоростей в радиальном направлении σR,0также соответствует полученному ранее, если его вычислить для соответствующего расстояния.1 Такаяширина области выбрана произвольно. Необходимо отметить, что рассматриваемые картынесут иллюстративный характер, по ним легко проследить, как именно приближается каждая из осей.Корректно положение минимума стоит рассматривать на карте совместного χ2 для обеих осей, как изображено на Рис. 1.10 для галактики NGC 338. Тем не менее несложно заметить, что минимум совместногоχ2 будет достигаться ровно в том же районе, где будет минимум для параметров из серой области нанижнем рисунке из трех.30Этот результат был проверен на устойчивость с помощью метода МонтеКарло для 10000 реализаций.
В каждой реализации для каждой наблюдательнойточки случайным образом выбиралось новое положение в соответствии с нормальным законом распределения с центром в изначальном значении и дисперсией равной половине ошибки. Для нового набора точек строились аппроксимациии получались новые значения профилей F (R) и f (R). Затем перебором находилось оптимальное значение параметров β и σR,0 , при которых совместный χ2 дляпрофилей σlos,min и σlos,maj оказывался минимальным. На таких картах, как рассмотренная выше для NGC 1068, такое значение соответствовало бы положениюглобального минимума.
Полученное этим методом облако параметров достаточно компактно и при ошибке в одно стандартное отклонение соответствуетзначениям β = 0.62 ± 0.07, σR,0 = 134 ± 9 км/с. Отметим, что второй параметрне следует напрямую сравнивать с полученным в работе [9], так как за σR,0 обозначена радиальная дисперсия на расстоянии 38.5′′ , а не в нуле. Для сравнениярезультатов моделей между собой необходимо скорректировать дисперсию зарасстояние. В работе [9] экспоненциальный масштаб для профилей дисперсийскоростей σR и σz (т. н. кинематический экспоненциальный масштаб) для этойгалактики получился равным 72′′ . Таким образом, σR,0 необходимо скорректировать на множитель exp(−38.5/72.0), что дает итоговое значение σR,0 в 125 км/c,которое близко к полученному мной.Таким образом, несмотря на вырождение каждого профиля по отдельности, из-за разной скорости вырождения для NGC 1068 существует областьглобального минимума, т.е.
область оптимальных значений параметров. Значения в этой области совпадают с полученными ранее в работе [9] и провереныметодом Монте-Карло. Показано, что для этого проверочного случая предложенный непараметрический метод работает.Для галактик в использованной выборке был проведен такой же анализ с построением карт и их последующей проверкой методом Монте-Карло.Полученные результаты оказались очень схожими между собой и демонстрировали отсутствие глобального минимума, за одним исключением.
На Рис. 1.3–1.6представлены карты для этих галактик, построенные тем же способом, что наРис. 1.2. Исключением является галактика NGC 1167, которая имеет наименьший угол наклона среди галактик в выборке. Для нее минимум был получен призначениях величины σz /σR около 0.3, т.е. близко к краю области возможных31Рисунок 1.2 –– Карты χ2 для NGC 1068. На верхнем и среднем рисунке изображены картыдля σlos,min и σlos,maj соответственно.
На обеих картах непрерывными линиями отмечены уровниодинакового χ2 , штриховой линией обозначена зависимость σR,0 от β (см. текст). Сераязакрашенная область соответствует значениям параметров σR,0 и β, для которых величина χ2минимальна для дисперсии скоростей звезд на луче зрения вдоль малой оси. На нижнемрисунке показаны значения χ2 , полученные на карте σlos,maj в указанной серой области и вдольлинии зависимости σR,0 от β.32значений.
Однако это формальный минимум, потому что значение χ2 практически постоянно от самых маленьких значений β (даже если брать β < 0.3) доβ ≈ 0.5, т.е. минимум очень широкий. Моделирование методом Монте-Карло недает какого-то выделенного значения β из диапазона β < 0.5. Таким образом,вопрос о минимуме для галактики NGC 1167 непростой, и она будет отдельнорассмотрена в следующем разделе.Для остальных трех галактик величина χ2 монотонно растет с увеличением β во всем диапазоне возможных значений. Таким образом, как видно изнижних карт на соответствующих рисунках, наименьшая величина χ2 получается в области малых значений β, т.е. на левом краю диапазона варьирования этогопараметра.
По отдельности для каждой оси, также как и в случае NGC 1068, присутствует вырождение. Разница в величинах χ2 между отдельными галактикамиобъясняется неоднородностью параметров выборки галактик, а именно различной величиной характерной ошибки, неодинаковой разнесенностью профилей иразличным количеством наблюдательных точек. Так, например, NGC 3245 имеет очень маленькие относительные ошибки и сильно разнесенные профили, чтоприводит к большим значениям χ2 .Полученные маленькие оптимальные значения β скорее всего не являются истинными и представляют собой особенность ограничения областизадания параметра в численных моделях. Положение оптимальных значений взначительной степени подтверждается методом Монте-Карло, в котором подавляющее большинство решений β также находится на нижней границе значений.Как было указано выше в разделе о методике исследования, значения β меньше0.3 представляются нефизическими, поэтому полученные результаты ставят подсомнение основное предположение о незначительных отклонениях отношенияσz /σR от константы на рассматриваемых расстояниях.
Еще под сомнением может оказаться качество наблюдательных данных. Заметим, однако, что выборкасильно неоднородна по ряду параметров и вряд ли качество данных может бытьпричиной фактически одинакового результата, имеющего статистическое подтверждение. Также, по-видимому, полученные результаты обусловлены малымвкладом вертикальной дисперсии σz в наблюдаемые профили дисперсий скоростей вдоль луча зрения при больших наклонах i, что проявляется в дальнейшейсложности восстановления параметра β. Подробнее эти предположения исследуются в следующих разделах.33Рисунок 1.3 –– Карты χ2 для NGC 338.
Обозначения аналогичны Рис. 1.2.34Рисунок 1.4 –– Карты χ2 для NGC 3245. Обозначения аналогичны Рис. 1.2.35Рисунок 1.5 –– Карты χ2 для NGC 4150. Обозначения аналогичны Рис. 1.2.36Рисунок 1.6 –– Карты χ2 для NGC 1167. Обозначения аналогичны Рис. 1.2.371.6Решения «на краю»: NGC 2775Результаты для трех галактик из выборки оказались непохожими на случайNGC 1068.
Они демонстрируют сильное вырождение, и оптимальные величины β находятся в области минимальных физически значимых значений. Даже вслучае галактики NGC 1167, для которой карты χ2 демонстрируют глобальныйминимум при β ≈ 0.3, требуется более тщательный анализ. Полученные решения на краю нельзя признать подходящими по следующей простой причине.Как можно видеть из карт, значения χ2 для трех галактик NGC 338, NGC 3245и NGC 4150 продолжают убывать за пределами выбранного диапазона β. Если бы не были известны ограничения, накладываемые на величину отношенияσz /σR , то из предложенных моделей получились бы нефизические решения.
Решения, похожие на решения на краю, были получены и в предыдущих работах— как максимальные значения β = 1 ([9], NGC 2775), так и близкие к минимальным β = 0.25 [10]. Для проверки была взята галактика NGC 2775 из тойже работы [9], что и NGC 1068, построена модель и проанализировано положение минимума.Галактика NGC 2775 является галактикой типа Sa или Sab и имеет наклон40◦ . Профили дисперсий скоростей рассматриваются в работе [9] на достаточношироком промежутке — 31′′ − 62′′ . В статье также отмечено, что между разными работами есть различия в оценке вклада балджа и существует вероятность,что диск не является доминирующим в рассматриваемом диапазоне.
Тем не менее, авторы полагают влияние балджа незначительным на расстояниях больше30′′ − 40′′ . Лучшие значения для β были получены в диапазоне 1.02 ± 0.11.Соответствующее значение σR,0 в нуле равняется примерно 200 км/c, что припринятом кинематическом масштабе в 45′′ дает значение радиальной дисперсииоколо 100 км/c на расстоянии 31′′ . Это значение и следует сравнивать с полученным ниже в исследуемой здесь модели.Полученный профиль аппроксимации σlos,min близок к профилю из работы [9].
Это объясняется тем, что, несмотря на выбор сплайнов вместо экспонент, сами наблюдательные точки лежат довольно близко к экспоненциальномупрофилю. Для уверенности была сделана попытка использовать вместо приближения сплайнами экспоненциальные профили, что никак не сказалось наполученных результатах. Профиль кривой вращения также мало меняется на38обсуждаемом промежутке и аппроксимируется схожим образом. Полученныекарты χ2 представлены на Рис.1.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
