Диссертация (1149369), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ðàçäåë 3.2.1).òàê èPξîïðåäåëÿþòñÿ ïîâåäåíèåì ñêîðîñòèc,îäíàêî èõ ñîâ-ïàäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåìû.3.3.3Ðàçðûâû â ïðÿìîé çàäà÷åÇäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ èçâåñòíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì: ðàçðûâíûå óïðàâëåíèÿ ïîðîæäàþò ðàçðûâíûå âîëíû. Ôîðìóëû, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ðàçðûâîâîâ, èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå â ÂÑ-ìåòîäå.61T : 0 < T < T regÔèêñèðóåì(θ0(t)ξ : 0 < ξ < T ; äëÿ êàæäîãî k ∈ {0, 1, 2, . . .}0 , t < 0 ;kθ (t) := tk , t > 0k!èïîëîæèì ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà); îáîçíà÷èìθsk (t) := θk (t − s),Âûáåðåì ãëàäêîå íîðìàëüíîå ïîëås, t ∈ R .a ∈ N ∩C ∞ (Γ, R3 ) è ðàññìîòðèì ñèñòåìó (3.3.1)(3.3.3):ñ óïðàâëåíèåìhtt − Lh = 0âQT ,(3.3.10)h|t=0 = ht |t=0 = 0âΩ,(3.3.11)hν = θT0 −ξ aíàΣT ,f (γ, t) = θT0 −ξ a(γ).
Îíî èìååò ðàçðûâ ïðè t = T − ξ(3.3.12)è ïðèíàäëåæèòFνT,ξ ,ò.å. ÿâëÿåòñÿ çàïàçäûâàþùèì. Ñëåäñòâèåì êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíÿâëÿåòñÿ0supp hθT −ξ ⊂ {(x, t) ∈ QT | t > τ (x) + (T − ξ)};ïðè÷¼ì õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷èâàþùàÿ íîñèòåëüχT,ξ := {(x, t) ∈ QT | t = τ (x) + (T − ξ)} ,áóäåò ïîâåðõíîñòüþ ðàçðûâà ðåøåíèÿ:hθT −ξ a (x, τ (x) + T − ξ + 0) = A(x)[a(γ(x))]∨ ,0ãäåA :=(c0 J0)1/2cJ àìïëèòóäíûé ìíîæèòåëü,ãî ïåðåíîñà (â áûñòðîé ìåòðèêå) âåêòîðàa[a(γ(x))]∨èç òî÷êè(3.3.13) ðåçóëüòàò ïàðàëëåëüíî-γ(x) ∈ Γâ òî÷êóx ∈ ΩTâäîëüãåîäåçè÷åñêîé lγ(x) (ñì.
[37]).Îïèñàíèå ðàçðûâîâ è âûâîä ôîðìóë òèïà (3.3.13) ñóùåñòâåííî óïðîùàþòñÿ ïðèïåðåõîäå ê èçîáðàæåíèÿì [31].  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì (3.2.36), èçîáðàæåíèåâîëíûh̃ = I T hðàññìàòðèâàåòñÿ êàêN-çíà÷íàÿôóíêöèÿ îòτ ∈ [0, T ],çàâèñÿùàÿ îò62âðåìåíè êàê îò ïàðàìåòðà; ïî ïðåäñòàâëåíèþN-çíà÷íûìèôóíêöèÿìè âðåìåíèt ∈ [0, T ].FνT = L2 ((0, T ); N) óïðàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿÏðèìåíèì îïåðàòîðITâ çàäà÷å (3.3.10)(3.3.12)è, ó÷èòûâàÿ (3.2.38) è ïðåäñòàâëåíèå (3.2.49), ïîëó÷èì ñèñòåìóh̃tt − h̃τ τ − H(τ )h̃ = 0(τ, t) ∈ (0, T ) × (0, T ) ,(3.3.14)h̃|t=0 = h̃t |t=0 = 0τ ∈ (0, T ) ,(3.3.15)h̃ν |τ =0 = θT0 −ξ κ0 a .(3.3.16)Äåéñòâóåì ïî ñõåìå ëó÷åâîãî ìåòîäà [37, 38]: èùåì ðåøåíèå â âèäå "àíçàö + íåâÿçêà"h̃(τ, t) =n∑Ak (τ )θTk −ξ (t − τ ) + rn+1 (τ, t) .(3.3.17)k=0Ïîäñòàâëÿÿ (3.3.17) â (3.3.14), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿì ïåðåíîñà äëÿïëèòóä"[]1 ∂2∂Ak+ H(τ ) Ak−1 −= 0,22 ∂τ∂τA−1 := 0 ;"àì-k ∈ {0, 1, 2, . . .} ;ðåøàÿ èõ îäíî çà äðóãèì è, ó÷èòûâàÿ, ÷òîAk (0) = 0, k ∈ {1, 2, .
. .},N-çíà÷íûõA0 (0) = κ0 a(ñì. (3.3.16));íàõîäèì1A0 (τ ) = κ0 a; A1 (τ ) =2∫τ[H(s)κ0 a] ds; . . .0Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåìh̃0θT−ξ an = 1:1(τ, t) = θT0 −ξ (τ − t)κ0 a + θT1 −ξ (τ − t)2∫τ[H(s)κ0 a] ds + r2 (τ, t) ,(3.3.18)0c îöåíêîé íåâÿçêè|r2 (τ, t)| 6 CθT2 −ξ (t − τ ),(τ, t) ∈ [0, T ] × [0, T ](3.3.19)(îíà îáîñíîâûâàåòñÿ êàê è â ñëó÷àå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ [38, 39]). Èç (3.3.18) ñëåäóþòôîðìóëûãåîìåòðè÷åñêîé ñåéñìèêè0h̃θT −ξ a (ξ − 0, T ) = κ0 a ;0θTad h̃ −ξ (τ, T ) − κ0 a = H(ξ)κ0 a ;2dξξ−ττ =ξ−0(3.3.20)(3.3.21)63ôîðìóëà (3.3.20) ïî ñóòè ÿâëÿåòñÿ ôîðìîé çàïèñè ðàâåíñòâà (3.3.13).Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå èçîáðàæåíèÿ, ðåøåíèåùóþ ïî âûêðîéêåΘTâîëíó; ê ìîìåíòó0h̃θT −ξ at (t > T − ξ )ìîæíî òðàêòîâàòü êàê áåãó-îíà çàìåòàåò ÷àñòü âûêðîéêè0supp h̃θT −ξ a (·, t) ⊂ Γ × [0, t − (T − ξ)] ;ôîðìóëà(3.3.18)îïèñûâàåòôîðìóâîëíûâîêðåñòíîñòèå¼ïåðåäíåãîôðîíòàΓ × {τ = t − (T − ξ)}.3.3.4Äâîéñòâåííàÿ ñèñòåìàÑèñòåìàíàçûâàåòñÿwtt − Lw = 0âQT ,(3.3.22)w|t=T = 0, wt |t=T = yâΩ,(3.3.23)wν = 0íàäâîéñòâåííîéΣT ,ê ñèñòåìå (3.3.1)(3.3.3); å¼ ðåøåíèå(3.3.24)w = wy (x, t)îáëàäàåòñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1.
ïóñòüy ∈ G T ∩ C0∞ (ΩT ; R3 );ñêîå ðåøåíèå2. ïðèy ∈ GTâ ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷å-wy ∈ C ∞ (QT ; R3 );îïðåäåëåíî ðåøåíèåwy ∈ C([0, T ]; G T ),ïðè÷åì îòîáðàæåíèåy → wyíåïðåðûâíî â ñîîòâåòñòâóþùèõ íîðìàõ;3. ãèïåðáîëè÷íîñòü óðàâíåíèÿ (3.3.22) íà ïîòåíöèàëüíûõ ïîëÿõ ïðèâîäèò ê èçâåñòíîìó ñâîéñòâó êîíå÷íîñòè îáëàñòè âëèÿíèÿ: ðåøåíèåQT τ (x) < t} îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè y|ΩTwyíà ìíîæåñòâå(íå çàâèñèò îò ïîâåäåíèÿ{(x, t) ∈y â Ω\ΩT ).Ëåììà 3.3.1.
Åñëè f è y òàêîâû, ÷òî ðåøåíèÿ hf è w y ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè â QT ,òî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå äâîéñòâåííîñòè(hf (· , T ), y)G = (f, [κ div wy ] ν)FνT .(3.3.25)64Äîêàçàòåëüñòâî.Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â òîæäåñòâå, èìååì:∫ []0=hftt (x, t) − ∇(κ div hf ) · wy dx dt =QT∫ [] t=T ∫Tfyyyff=h (x, t) · w (x, t) − h (x, t) · wt (x, t) + h (x, t) · wtt (x, t) dt dx− tt=00Ω∫T∫0Γ−[](κ div hf )(wy · ν) − (hf · ν)(κ div wy ) (γ, t) dΓ dt −∫T ∫−0∫T∫[(|{z}h ·ν)κ div w ](γ, t) dΓ dt −0Ω∫f=[ f]h · ∇(κ div wy ) (x, t) dx dt =Γhf (x, T ) · wty (x, T ) dx .| {z }yfΩy(x)Òàêèì îáðàçîì,∫∫h (x, T ) · y(x) dx =(f · [κ div wy ] ν)(γ, t) dΓ dt .fΩΣTËåììà äîêàçàíà.ÎòîáðàæåíèåîòîáðàæåíèÿO : y → [κ div wy ] ν|ΣTf → hf ,îïðåäåëåíî íà ãëàäêèõy ∈ GT ;ñâîéñòâî (2) ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.3.22)(3.3.24) è ñîîòíîøåíèå(3.3.25) ïîçâîëÿþò ðàñøèðèòü åãî äî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ èç÷èìçàìûêàåìîñòüGTâFνT .
Îáîçíà-OT := O|G T ; ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò âûâîäèòñÿ èç òîãî æå ñîîòíîøåíèÿ äâîéñòâåí-íîñòè.Ïðåäëîæåíèå 3.3.2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî()∗OT = W T .ÎïåðàòîðOTíàçûâàåòñÿîïåðàòîðîì íàáëþäåíèÿ.653.3.5Îïåðàòîð ðåàêöèèRTñèñòåìûÑîîòâåòñòâèå "âõîä âûõîä" â ñèñòåìåðåàêöèè RT : FνT → FνT , Dom RT = MTναTpαTp(3.3.1)(3.3.3) ðåàëèçóåòñÿîïåðàòîðîì14fκ div h.RT f := 0Ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð ðåàêöèèαTRTñèñòåìûαTp(3.3.26)îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîìRTñèñòåìûè óñòàíîâèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ñâÿçü.Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå óïðàâëåíèåóðàâíåíèÿ (3.3.1); îáîçíà÷àÿf ∈ MTνφ = κ divhfè ïðèìåíèìκ divê îáåèì ÷àñòÿìè ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíîå (3.3.2) è êðàåâîå(3.3.3) óñëîâèÿ, ïðèõîäèì ê ñêàëÿðíîé çàäà÷åÅñëèφ = φ(x, t)ñâÿçü ìåæäóT −1Dom[Rp ]∂φè∂νφtt = κ ∆φâQT ,φ|t=0 = φt |t=0 = 0âΩ,∂φ= fttν∂νíà ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñ ïðîèçâîëüíûìφ íà ΣT∂φíà∂νΣT15óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðàêëàññàMTp ,òî[RpT ]−1 : FpT → FpT ,= MTp[RpT ]−1ïðè÷¼ì, â ñèëó (3.2.24),ñòåìûΣT .[RpT ]−1∂φ:= φ∂νíàîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ðåàêöèèαT .
Òàêèì îáðàçîì, [RpT ]−1 fttν = φ = κ divhf÷òî äëÿ ëþáîãîf ∈ MTνΣT ;(RT f)νRTñè-íàΣT ; ó÷èòûâàÿ, (3.3.26), íàõîäèì,= [RpT ]−1 fttν .(3.3.27)Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìó (3.3.1)(3.3.3) ñ óäâîåííûì ôèíàëüíûì ìîìåíòîì âðåìåíè2T ;ïóñòüR2Tåñòü ñîîòâåòñòâóþùèé åé îïåðàòîð ðåàêöèè. Ââèäó êîíå÷íîñòèñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, îí çàâèñèò îòçíà÷åíèÿìè ôóíêöèèÍèæå îïåðàòîðó14 òàêîåκR2TâΩTκ = c2 ëîêàëüíî: R2Tè íå çàâèñèò îò å¼ ïîâåäåíèÿ âîïðåäåëÿåòñÿΩ\ΩT .ïðåäñòîèò èãðàòü ðîëü äàííûõ îáðàòíîé çàäà÷è.îïðåäåëåíèå ìîòèâèðóåòñÿ àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ (2.2.7) îïåðàòîðà RT ñèñòåìû αT15 åãî òàêæå íàçûâàþò îïåðàòîðîì ðåàêöèè ñêàëÿðíîé ñèñòåìû ñ óïðàâëåíèåì Íåéìàíà663.3.6Ðàçðûâû â äâîéñòâåííîé ñèñòåìåÂîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå ãëàäêîå ïîëåy ∈ G T ∩C ∞ (ΩT ; R3 ), âûáåðåì ξ : 0 < ξ < T < T regè ðàññìîòðèì ñèñòåìó âèäà (3.3.22)(3.3.24)(ïðîåêòîðP⊥ξwtt − Lw = 0âQT ,w|t=T = 0, wt |t=T = P⊥ξ yâΩ,wν = 0íàΣT .îïðåäåëåí ôîðìóëîé (3.3.7)).
Äåéñòâèå ïðîåêòîðà ïðèâîäèò ê ïîÿâ-ëåíèþ ðàçðûâà äàííûõ Êîøè íà ýêâèäèñòàíòåþò ðàçðûâíóþ âîëíówξP⊥y.Γξ ;ðàçðûâíûå äàííûå èíèöèèðó-Ðàçðûâ âîëíû ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ (â îáðàòíîì âðåìåíè)âäîëü ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ëó÷åé, ñîñòàâëÿþùèõ õàðàêòåðèñòèêót=T −ξâçàèìîäåéñòâóåò ñ ãðàíèöåé.  ðåçóëüòàòå íàáëþäàåìûé íà[κ div wîêàçûâàåòñÿ ðàçðûâíûì ïðèÍàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîðξP⊥yt = T − ξ;]ν ΣTΓ= OT P⊥ξ y16íèæå äàíî îïèñàíèå ýòîãî ðàçðûâàOT : G T → FνT((OT P⊥ξ y)(t), a)NOT P⊥ξ yêàêN-çíà÷íóþîïðåäåëåíî äëÿa∈Nè ïðèñëåä.îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì(W T f, y)G T = (f, OT y)FνT .Ìû ðàññìàòðèâàåìX T,ξ ,ôóíêöèþ âðåìåíè(3.3.28)t ∈ [0, T ];è ñóììèðóåìî ñ êâàäðàòîì ïîïðîèçâåäåíèåt.Ïðåäëîæåíèå 3.3.3.
Èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèåsupp OT P⊥ξ y ⊂ [0, T − ξ] .Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ çàïàçäûâàþùèõ óïðàâëåíèéf ∈ FνT,ξ(f, OT P⊥ξ y)FνT = (W T f, P⊥ξ y)G T = 0(ïîñêîëüêóW T FνT,ξ ⊂ G ξ ),16 ðàññìîòðåíèÿà ýòî ðàâíîñèëüíî (3.3.29).â ýòîì ïóíêòå àíàëîãè÷íû [31](3.3.29)67Ëåììà 3.3.2.
Ïóñòü y ∈ G T ∩ C ∞ (ΩT ; R3 ) è a ∈ðàâåíñòâî1limδ→+0 δT −ξ∫((OT P⊥ξ y)(t), a)NT −ξ−δN∩C∞(Γ, R3 ); òîãäà èìååò ìåñòîdt = (κ0 ỹ(ξ), a)N ,(3.3.30)ãäå 0 < ξ < T , ỹ = I T y åñòü èçîáðàæåíèå ïîëÿ y .Äîêàçàòåëüñòâî.Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå (ìàëîå)θT0 −ξ−δ a ∈ FνT : supp θT0 −ξ−δ a ⊂ [T − ξ − δ, T ].(OTðàññìîòðèì óïðàâëåíèå ñèëó ðàñïîëîæåíèÿ íîñèòåëåé (3.3.29),T −ξ∫(P⊥ξ y, θT0 −ξ−δ a)FνTδ > 0;=(OTP⊥ξ y)(t), a)T −ξ−δÏóñòüX⊥ξ := I − X⊥ξ ïðîåêòîð â(3.2.37), âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå(3.3.9)(P ξ = Qξ ),FνT ,Ndt .äåéñòâóþùèé êàê ñðåçêà íàI T Qξ = X ξ I T ;(3.3.31)[T − ξ, T ] ;îòñþäà, ïîëüçóÿñü óïðàâëÿåìîñòüþâûâîäèì:I T P⊥ξ = X⊥ξ I T .Äëÿ èçîáðàæåíèÿïî0h̃θT −ξ−δ a ,(3.3.32)ïîñêîëüêó âåðíî (3.3.18) è (3.3.19), ïîëó÷àåì0h̃θT −ξ−δ a (τ, T ) = θ0 (ξ + δ − τ )κ0 a + r1 (τ, T )(3.3.33)|r1 (τ, T )| 6 Cθ1 (ξ + δ − τ ) .(3.3.34)ñ îöåíêîéÄàëåå, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà(OT P⊥ξ y, θT0 −ξ−δ a)FνT(3.3.28)=(P⊥ξ y, W T [θT0 −ξ−δ a])G T == (I T P⊥ξ y, I T W T [θT0 −ξ−δ a])FνT(3.3.33)=(3.3.32)∫ξ+δ(κ0 a + r1 (τ, T ), ỹ(τ ))N=(3.3.34)=0(X⊥ξ ỹ, h̃θT −ξ−δ a (·, T ))FνT =δ(κ0 ỹ(ξ), a)N + o(δ)(3.3.35)ξ(ìû âîñïîëüçîâàëèñü óíèòàðíîñòüþ îïåðàòîðàI T ).
Ñðàâíèâàÿ (3.3.31) c (3.3.35), èìå-åì (3.3.30). Ëåììà äîêàçàíà.Ó÷èòûâàÿ âêëþ÷åíèå (3.3.29), ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàêîïèñàíèå ðàçðûâà ôóíêöèè(OT P⊥ξ y)(t)ïðèt = T − ξ.68Ðàâåíñòâî (3.3.30) äîãîâîðèìñÿ çàïèñûâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:(OT P⊥ξ y)(T − ξ − 0) = (κ0 I T y)(ξ) ,0<ξ<T,(3.3.36)â êîòîðîì ïðåäåë áóäåò ïîíèìàòüñÿ â ñìûñëå, îïðåäåëåííîì ëåììîé.  ñîîòâåòñòâèèñ àðãóìåíòàìè äèíàìè÷åñêîãî õàðàêòåðà, èçëîæåííûìè â íà÷àëå ïóíêòà, ðàâåíñòâî(3.3.36) ïðåäñòàâëÿåò èçîáðàæåíèå ïîëÿ â âèäå ìíîæåñòâà ðàçðûâîâ, ïðîøåäøèõ ÷å-ΩT ,ðåç ñðåäó, çàïîëíÿþùóþçûâàåòñÿ3.4è èçìåðåííûõ íà ãðàíèöåàìïëèòóäíîé ôîðìóëîéΓ.Ñîîòíîøåíåèå (3.3.36) íà-[30], [31].Ñâÿçûâàþùèé îïåðàòîðÎïåðàòîðC T : FνT → FνT ,íàçûâàåòñÿ()∗C T := W T W Tñâÿçûâàþùèì îïåðàòîðîì ñèñòåìû (3.3.1)(3.3.3).
Ñìûñë òåðìèíà ñîñòîèòâ òîì, ÷òî äëÿf, g ∈ FνTèç îïðåäåëåíèÿ èìååì(C T f, g)FνT = (W T f, W T g)G T = (hf (·, T ), hg (·, T ))G T ,ò.å.CT(3.4.1)ñâÿçûâàåò ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âíåøíåãî è âíóòðåííåãî ïðîñòðàíñòâ äè-íàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ýòî íåïðåðûâíûé íåîòðèöàòåëüíûé âFνTîïåðàòîð.Âàæíûé ôàêò ñîñòîèò â òîì, ñâÿçûâàþùèé îïåðàòîð ìîæíî âû÷èñëÿòü ïî îïåðàòîðó ðåàêöèè.
Ââåäåì îïåðàòîð íå÷¼òíîãî ïðîäîëæåíèÿ(S T f )(·, t) :=è îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿf (·, t) ,S T : FνT → Fν2T ,06t<T;−f (·, 2T − t) , T 6 t 6 2T ;J 2T : Fν2T → Fν2T∫t(J2Tf )(·, t) :=f (·, s) ds ,0Íàïîìíèì, ÷òîâêëþ÷åíèåMνT = FνT ∩ MT2TS T MT,0ν ⊂ Dom R((STè îáîçíà÷èì0 6 t 6 2T.T TS f ∈ Mν2T }; îòìåòèìMT,0ν := {f ∈ Mνè ðàâåíñòâî)∗ )f (· , t) = f (·, t) − f (· , 2T − t) ,0 6 t 6 2T .69Ëåììà 3.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
