Диссертация (1149369), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Íà ïîëÿõ êëàññà MT,0ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåνCT =1 T ∗ 2T 2T T(S ) J R S .2(3.4.2)Äîêàçàòåëüñòâî âïîëíå àíàëîãè÷íî, ïðåäñòàâëåííîìó â [15]. Êàê âèäíî èç (3.4.2),CTäëÿ íàõîæäåíèÿÎïåðàòîðCT ïîäïðîñòðàíñòâå{fjξ }: Lin {fjξ } = FνT,ξ17;ÂûáåðåìFνT,ξ ⊂ FνT(C T fiξ , fjξ )FνT = δij .ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà âîëíïðîñòðàíñòâåR2Tëèøü íàS T MT,0ν .ïîçâîëÿåò íàõîäèòü èçîáðàæåíèÿ âîëí, èñïîëüçóÿ òàê íàçûâàåìûåâîëíîâûå áàçèñû.íèéäîñòàòî÷íî ðàñïîëàãàòü çíà÷åíèÿìè{W T fjξ }âûáåðåì ïîëíóþ ñèñòåìó óïðàâëå-Ïî ñâîéñòâó (3.3.8) è â ñèëó (3.4.1),îáðàçóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ïîä-Gξ.f ∈ MTν ;P⊥ξ W T f = W T f −hf (·, T ) = W T fäëÿ âîëíû∑èìååì ïðåäñòàâëåíèå(3.4.1)(W T f, W T fjξ )G T W T fjξ = W T f −j∑(C T f, fjξ )FνT W T fjξ .(3.4.3)jÄàëåå, âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâåFνTâûáåðåìL2 -îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {gk }. Èìå-åì ðàâåíñòâà(OT P⊥ξ W T f, gk )FνT = (P⊥ξ W T f, W T gk )G T =∑(3.4.3)= (W T f, W T gk )G T −(C T f, fjξ )FνT (W T fjξ , W T gk )G T =(3.4.1)= (C T f, gk )FνT −∑j(C T f, fjξ )FνT (C T fjξ , gk )FνT ;jîíè ïðèâîäÿò ê ñîîòíîøåíèþOT P⊥ξ W T f ==∑{k∑(OT P⊥ξ W T f, gk )FνT gk =}k(C T f, gk )FνT −∑(C T f, fjξ )FνT (C T fjξ , gk )FνTgk .(3.4.4)j àìïëèòóäíîé ôîðìóëå (3.3.36) ïîëîæèìy = h = WT f:(OT P⊥ξ h)(T − ξ − 0) = (OT P⊥ξ W T f )(T − ξ − 0) = (κ0 I T W T f )(ξ) = κ0 h̃f (ξ, T ) .17 Lin ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà70Âû÷èñëÿÿ ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâàκ0−1 (OT P⊥ξ W T f )(T − ξ − 0) = h̃f (ξ, T )(3.4.5)ïî ïðåäñòàâëåíèþ (3.4.4), âîññòàíàâëèâàåì èçîáðàæåíèå âîëíû3.5hf .Âîññòàíîâëåíèå ñêîðîñòåéÏóñòü ìû ðàñïîëàãàåì ñëåäóþùèìè äàííûìè î ñèñòåìå òèïà Ëàìå (2.2.1)(2.2.3): å¼îïåðàòîð ðåàêöèè∂cα ∂ν ΓΩTpR2TT > 0çàäàí ïðè ôèêñèðîâàííîì(α = p, s).

Îáðàòíàÿ çàäà÷àè èçâåñòíû ôóíêöèèñîñòîèò â âîññòàíîâëåíèè ñêîðîñòåécsâΩTsècα |Γ ,cpâïî ýòèì äàííûì. Ïðèâåä¼ì îñíîâíîé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 3.5.1. Ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì T < T reg äàííûå îáðàòíîé çàäà÷è îïðå-äåëÿþò ñêîðîñòè cα |ΩTα (α = p, s) åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Äîêàçàòåëüñòâî.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îáîáùèì ïðåäûäóùèå ðàññìîòðåíèÿâ âèäå ñõåìû ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è.1. Ïî çàäàííîìó îïåðàòîðó ðåàêöèèαpTR2T(ñì. (3.2.24)) è äàëåå îïåðàòîð ðåàêöèèíàéä¼ì îïåðàòîð ðåàêöèèR2Tñèñòåìû2T −1 ν[Rp ] fttR2T f = 0äëÿ ëþáîãî óïðàâëåíèÿ2.

ïîR2Tñèñòåìû(3.3.1)(3.3.3):f ∈ M2Tν ;îïðåäåëèì ñâÿçûâàþùèé îïåðàòîð3. ïî âûáðàííûìαTpRp2TCTa ∈ N ∩ C ∞ (Γ, R3 ), ξ ∈ (0, T )ñèñòåìûαTp(ëåììà 3.4.1);íàéä¼ì0κ0 h̃θT −ξ a (τ, T ) = (OT P⊥τ W T [θT0 −ξ a])(T − τ − 0)ñîãëàñíî (3.4.5);4. ïî (3.3.20) èìååì0κ20 = |a|−1 |κ0 h̃θT −ξ a (ξ − 0, T )|;òåì ñàìûì ôóíêöèÿκ0 = κ0 (γ)îïðåäåëåíà;5.

ïî (3.3.21) íàéä¼ìH(ξ), 0 < ξ < T ;H(ξ)κ0 a;ìåíÿÿaèξ,âîññòàíîâèì ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ716. ñîãëàñíî (3.2.50), îïåðàòîðûðèêè íà âûêðîéêåïîäîáëàñòèΩTp ⊂ ΩΘT ,H(ξ)R2TmΓ18áûñòðîé ìåò-cp (x)â(òåîðåìa 3.1.1).csâ ðåãóëÿðíîé çîíåΩTsïî îïåðàòîðó ðå-ìàêñâåëëîâñêîé ïîäñèñòåìû (2.2.22)(2.2.24), êîòîðûé íà êàñàòåëüíûõ êóïðàâëåíèÿõ êëàññà[31]{hαβ (γ, ξ)}ïî êîòîðîìó îäíîçíà÷íî íàõîäèòñÿ áûñòðàÿ ñêîðîñòüÂîññòàíîâëåíèå ìåäëåííîé ñêîðîñòèàêöèèîïðåäåëÿþò òåíçîðM2Tîïðåäåë¼í ðàâåíñòâîì( f )2TR2Tψ |ΣT ,m f := Rïðîâåäåíî â.

Îòìåòèì, ÷òî îñíîâíûì ïðîñòðàíñòâîì â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ïîäïðîñòðàíñòâîµ−1 -ñîëåíîèäàëüíûõ19âåêòîðíûõ ïîëåé.Òåîðåìà äîêàçàíà.Êîììåíòàðèè1. Âîòëè÷èå îò ðàáîòû [16], ïðèâåä¼ííîå ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è íå èñïîëüçó-åò ñïåöèàëüíîå ðàçäåëåíèå óïðàâëåíèé íà äâà êëàññà óïðàâëåíèé, èíèöèèðóþùèõòîëüêîp-âîëíû èëè òîëüêî s-âîëíû ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó, äàííàÿ ñõåìà ìîæåò îêà-çàòüñÿ ïîëåçíîé ïðè ðåøåíèè îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ïîëíîé ñèñòåìû Ëàìå, ãäå òàêîåðàçäåëåíèå óïðàâëåíèé çàâåäîìî íåâîçìîæíî.2. Îòìåòèìòàêæå åäèíîîáðàçíûé ïîäõîä ê âîññòàíîâëåíèþ ñêîðîñòåé êàê áûñò-ðûõ, òàê è ìåäëåííûõ âîëí: àìïëèòóäíàÿ ôîðìóëà (3.3.36), ïîëó÷åííàÿ ëó÷åâûì ìåòîäîì, ïîçâîëÿåò íàõîäèòü èçîáðàæåíèÿ âîëí; èç èçîáðàæåíèé èçâëåêàåòñÿ ìåòðè÷åñêèé òåíçîðhñîîòâåòñòâóþùåé ìåòðèêè â ïîëóãåîäåçè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (òåîðåìà3.2.2); ïî íåìó âîññòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñêîðîñòü â ðåãóëÿðíîé çîíå (òåîðåìà 3.1.1).18 äëÿ19 ò.å.ïðîèçâîëüíûõ âðåì¼í T âîññòàíîâëåíèå ñêîðîñòè â ñèñòåìå Ìàêñâåëëà ñäåëàíî â ðàáîòå [40]òàêèõ ïîëåé u, äëÿ êîòîðûõ div (µ−1 u) = 0 â ΩT72Ãëàâà 4Ëîêàëèçàöèÿ âîëí â øàïî÷êàõ èâîññòàíîâëåíèå áûñòðîé ñêîðîñòè ýòîé ãëàâå ïðåäëîæåíà ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ áûñòðîé ñêîðîñòè â ñèñòåìå òèïà Ëàìå (ïî îïåðàòîðó ðåàêöèè), èñïîëüçóþùàÿ òåîðåìó 2.3.1 îðàçäåëåíèè øàïî÷åê1 .

Êàê èñõåìà èç ïðåäûäóùåé ãëàâû, îíà íå èñïîëüçóåò ðàçäåëåíèÿ óïðàâëåíèé íà äâà êëàññà(ñì. Ââåäåíèå) íî, â îòëè÷èå îò íå¼, ÿâëÿåòñÿ áîëåå íàãëÿäíîé è, âîçìîæíî, ëó÷øåïîäõîäèò äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè (â òîé ÷àñòè, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ òåíçîðhíà âûêðîéêå). Çàìåòèì, ÷òî ïîêà òàêèì ñïîñîáîì âîññòàíàâëèâàåòñÿ òîëüêî áûñòðàÿñêîðîñòücpâ ðåãóëÿðíîé çîíåΩTp ;âîïðîñ î íàõîæäåíèè ýòèì ñïîñîáîìcsîñòà¼òñÿîòêðûòûì.4.0.1Îïåðàòîð óïðàâëåíèÿ ñèñòåìûÑ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé òèïà ËàìåWT,αTαT(2.2.1)(2.2.3) ñâÿçàíðåàëèçóþùèé ñîîòâåòñòâèå "âõîä ñîñòîÿíèå"W T : F T → HT , Dom W T = MTW Tf = uf (· , T ) .Îí íåïðåðûâåí, à ïðè âðåìåíàõT < T∗[17] è [21](4.0.1)èíúåêòèâåí [15]Ker W T = {0} .1 ñì.îïåðàòîð óïðàâëåíèÿ(4.0.2)73Íàïîìíèì, ÷òî â ðàçäåëå 2.3.1 áûëè ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ äîñòèæèìûõ ìíîæåñòâ ñèñòåìû òèïà Ëàìå{}U T := U[ΣT ] = uf ( · , T ) f ∈ MT [ΣT ] ;ñðàâíèâàÿ ýòî îïðåäåëåíèå ñ (4.0.1), âèäèì, ÷òî4.0.2Ñâÿçûâàþùèé îïåðàòîð ñèñòåìûÎïåðàòîðñâÿçûâàþùèì îïåðàòîðîìíàçûâàåòñÿFTαTC T : F T → F T , Dom C T = MTC T :=íûé âU T = Ran W T = W T F T .(WT)∗ñèñòåìûWT .αT .(4.0.3)Ýòî íåïðåðûâíûé íåîòðèöàòåëü-îïåðàòîð, òàêîé, ÷òî(Òàêèì îáðàçîì,C T f, gCT)FT()()= W T f, W T g HT = uf (· , T ), ug (· , T ) HT .(4.0.4)ñâÿçûâàåò ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âíåøíåãî è âíóòðåííåãî ïðî-ñòðàíñòâ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.

Ïîñêîëüêó ÿäðàWTèCTñîâïàäàþò, â ñèëó (4.0.2),èìååìKer C T = {0}, T < T ∗ ,(4.0.5)ò.å. ïðè âðåìåíàõ, ìåíüøèõ âðåìåíè çàïîëíåíèÿ îáëàñòèΩâîëíàìè, èäóùèìè îòãðàíèöû, ñâÿçûâàþùèé îïåðàòîð èíúåêòèâåí.Êëþ÷åâàÿ ðîëü ñâÿçûâàþùåãî îïåðàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî îí ÿâíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îïåðàòîð ðåàêöèè. Ââåä¼ì îïåðàòîð íå÷¼òíîãî ïðîäîëæåíèÿ(S T f )(·, t) :=è îïåðàòîð èíòåãðèðîâàíèÿf (·, t) ,S T : F T → F 2T ,06t<T;−f (·, 2T − t) , T 6 t 6 2T ;J 2T : F 2T → F 2T∫t2T(J f )(·, t) :=f (·, s) ds ,0 6 t 6 2T.0Oáîçíà÷èìMè ðàâåíñòâîT,0:= {f ∈ M S T f ∈ M2T } ;Tîòìåòèì âêëþ÷åíèå(( T )∗ )Sf (·, t) = f (·, t) − f (·, 2T − t) ,S T MT,0 ⊂ Dom R2T0 6 t 6 2T .74Ëåììà 4.0.1.

Íà ïîëÿõ êëàññà MT,0 ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåCT =1 T ∗ 2T 2T T(S ) J R S .2(4.0.6)Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåííîìó â [15]. Èç (4.0.6) âèäíî, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ4.0.3CTäîñòàòî÷íî ðàñïîëàãàòü çíà÷åíèÿìèÌîäåëü ñèñòåìûe T : UeT → U TUëèøü íàS T MT,0 .αTfT : F T → UeT è óíèW{}fT , Ue T ñèñòåìû αT ,ìîäåëü αeT := UeT , WÁóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâîòàðíûé îïåðàòîðR2TñîñòàâëÿþòUeT ,îïåðàòîðåñëèeT WfT .WT = UÎïåðàòîðFTfTWíàçîâåì(4.0.7)ìîäåëüíûì îïåðàòîðîì óïðàâëåíèÿ.

Âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâåðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ïîäïðîñòðàíñòâF T,ξ := {f ∈ F T f (·, t) = 0, 0 6 t < T − ξ} ,îáðàçîâàííûõ06ξ6T,(4.0.8)çàïàçäûâàþùèìè óïðàâëåíèÿìè (F T,0 = {0}, F T,T = F T ) .Èì îòâå÷àåòñåìåéñòâî ìíîæåñòâU ξ := W T F T,ξ = {uf (·, ξ) f ∈ F T } ,îáðàçîâàííûõ ñîñòîÿíèÿìè ñèñòåìûðàâåíñòâî â îïðåäåëåíèèUξαT ,06ξ6T,äîñòèæèìûìè ê ìîìåíòóñëåäóåò èç ñòàöèîíàðíîñòè ñèñòåìût = ξ.αT .ÏîñëåäíååÑòàöèîíàðíîñòüïðèâîäèò òàêæå ê òîìó, ÷òî âûïîëíåíî ñâîéñòâî óïðàâëÿåìîñòè (2.1.11) (ñ çàìåíîéíàTξ ).Ìíîæåñòâàf T F T,ξ ⊂ UeT ,Ueξ := W06ξ6T,èãðàþò â ìîäåëè ðîëü äîñòèæèìûõ ìíîæåñòâ.Îïåðàòîð óïðàâëåíèÿW T , êàê è âñÿêèé çàìêíóòûé îïåðàòîð, äîïóñêàåò ïîëÿðíîåðàçëîæåíèå (ñì., íàïðèìåð, [41])W T = V T |W T | ,(4.0.9)75â êîòîðîì(W)T ∗|W T | : F T → F Tåñòü íåîòðèöàòåëüíûé êâàäðàòíûé êîðåíü èç îïåðàòîðàWT|W T | :=àVT èçîìåòðèÿRan |W T |íà[( T )∗ T ] 21,WWRan W T .Èç îïðåäåëåíèÿ ñâÿçûâàþùåãî îïåðàòîðà (4.0.3) ñëåäóåò, ÷òî( )1|W T | := C T 2 ,ìîäóëü |W T |à çíà÷èò, â ñèëó ëåììû 4.0.1,R2T .( T ) 12îïåðàòîðîâ Cîïåðàòîðà óïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îïå-ðàòîðîì ðåàêöèèßäðàèCTñîâïàäàþò, ïîýòîìó, â ñèëó (4.0.5), ïðèT < T∗( )1Ker C T 2 = {0} ;èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî( )11Ran |W T | = Ran (C T ) 2 = F T ⊖ Ker C T 2 = F T .Îòñþäà âèäíî, ÷òî èçîìåòðèþíà ïîäïðîñòðàíñòâîTVTU = Ran W T ;ìîæíî ðàñøèðèòü äî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà èççà ðàñøèðåíèåì ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèåÈç ðàññìîòðåíèé çàêëþ÷àåì, ÷òî íàáîðñèñòåìûαT .(4.0.10){F T , |W T |, V T}=: |αT |FTV T.ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþÄîñòèæèìûå ìíîæåñòâà â ýòîé ìîäåëè ñóòü( )1|U|ξ := |W T |F T,ξ = C T 2 F T,ξ ,06ξ6T,ò.å.

îïðåäåëÿþòñÿ äàííûìè îáðàòíîé çàäà÷è (îïåðàòîðîì ðåàêöèèR2T ).Îïðåäåëèìñîîòâåòñòâóþùèå äîñòèæèìûå ïîäïðîñòðàíñòâà â ýòîé ìîäåëè( )∗ ξξ|U| := |W T |F T,ξ = V T U(çàìûêàíèå âUT(U(4.0.11)F T ). Ïîñëåäíååå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç (4.0.10) è óíèòàðíîñòè V T : F T →ε (0 < ε < ξ)( )∗ ξ−εξ−ε|U|= VT U. Àíàëîãè÷íî, äëÿ ïðîèçâîëüíîãîξ−ε:= W T F T,ξ−ε ).Ïóñòüσ⊂Γ ñâÿçíîå ïîäìíîæåñòâî ãðàíèöû; îáîçíà÷èìTT2ΞT,ξp [σ] := Σ ∩ Kp [σ × [T − ξ, T ]] .2 îáëàñòüâëèÿíèÿ KpT [...] îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (1.1.4)(4.0.12)76Îïðåäåëèì äîñòèæèìîå ìíîæåñòâîT TT,ξU[ΞT,ξp [σ]] := W F [Ξp [σ]] ;cîîòâåòñòâóþùåå äîñòèæèìîå ìíîæåñòâî â ìîäåëè|αT |TTT,ξ|U|[ΞT,ξp [σ]] := |W |F [Ξp [σ]]è ïîäïðîñòðàíñòâî(4.0.13)( T )∗|U|[ΞT,ξU[ΞT,ξp [σ]] = Vp [σ]] .Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ãðàíèöûγ ′ ∈ Γ è îïðåäåëèì äîñòèæèìîå ìíîæåñòâîèç âîëí, ïîðîæäåííûõ óïðàâëåíèÿìè, äåéñòâóþùèìè â òî÷êåγ′çà âðåìÿ{}U t [γ ′ ] := uf ( · , T ) f ∈ F T , supp f ⊂ {γ ′ } × [T − t, T ] ;ñîîòâåòñòâóþùåå äîñòèæèìîå ìíîæåñòâî â ìîäåëè(4.0.14)áóäåò|U|t [γ ′ ] := |W T |F T [{γ ′ } × [T − t, T ]](4.0.15)( )∗ tt|U| [γ ′ ] = V T U [γ ′ ] .(4.0.16)è ïîäïðîñòðàíñòâî4.0.4|αT |t (0 6 t 6 T )Ìîäåëüíûå øàïî÷êèÂûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êóγ ∈ Γ,σε (γ) := {γ ′ ∈ Γ | d(γ ′ , γ) < ε} (dïîëîæèòåëüíîåT < T regè (ìàëîå) åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå íàΓ).ε > 0.ÏóñòüÍàïîìíèì, ÷òîøàïî÷êàìè ìû íàçûâàåì ìíîæåñòâà âèäà (1.1.3)ξωαξ,ε [σε (γ)] = (Ωξα \Ωξ−εα ) ∩ Ωα [σε (γ)] ,è îòìåòèì ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè:′ωαξ,ε [σε′ (γ)] ⊂ ωαξ,ε [σε (γ)]ñòâîlim ωαξ,ε [σε (γ)] :=ε→∞Ïóñòü òî÷êà06ξ6T,∩ïðèε′ < ε .(4.0.17)Ââåä¼ì ìíîæå-ω ξ,εα [σε (γ)] .0<ε<ξxα (γ, ξ) êîíåö îòðåçêà äëèíû ξñîîòâåòñòâóþùåãî ëó÷à, èñõîäÿùåãî èçγ ∈ Γ ïî íîðìàëè ê Γ.

Характеристики

Список файлов диссертации