Диссертация (1149369), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Óòî÷íåíèé òðåáóåò ëèøü îïðåäåëåíèå çîíû ðåãóëÿðíîñòèΩTreg.362.Èçó÷åíèå äîñòèæèìûõ ìíîæåñòâ ïðîâîäèòñÿ â ðàìêàõ ìåòîäà ãðàíè÷íîãî óïðàâ-ëåíèÿ è èìååò êîíå÷íîé öåëüþ ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è â ïîñòàíîâêå, îïèñàííîéâ ðàçäåëå 2.2.3. Óñòàíîâëåííûé òåîðåìîé 2.3.1 ýôôåêò ðàçäåëåíèÿ øàïî÷åê äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: ïîäõîä [24], èñïîëüçóþùèé òàê íàçûâàåìûåâèðòóàëüíûå èñòî÷íèêè, ïåðåíîñèòñÿ íà ñèñòåìó òèïà Ëàìå è ïîçâîëÿåò âîññòàíîâèòüñêîðîñòücpâ ðåãóëÿðíîé çîíå. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå ïðèâîäèòñÿ â ãëàâå 4.37Ãëàâà 3Îáðàòíàÿ çàäà÷à1 ýòîé ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì îáúåêòû (ñêîðîñòü, ýéêîíàë, ãåîäåçè÷åñêèå, íîðìàëè,ðàñõîäèìîñòè, âîëíîâûå ôðîíòû), îòíîñÿùèåñÿ òîëüêî ê áûñòðîé ìåòðèêåds2p =|dx|2c2p(3.0.1)è, óïðîùàÿ îáîçíà÷åíèÿ, îïóñêàåì íèæíèé èíäåêñ "p" ó âñåõ âåëè÷èí.
Òàêèì îáðàçîì,áûñòðàÿ ñêîðîñòü áóäåò îáîçíà÷àòüñÿc := cp ,τ (x, y) := τp (x, y), ýéêîíàë τ (x) := τp (x, Γ),x, yÎòìåòèì, ÷òî â äèíàìèêå ýéêîíàëîò ãðàíèöûΓτ (x)ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè îáëàñòèýêâèäèñòàíòû ãðàíèöûâ òî÷êåxΓr := Γrpè ò.ä.åñòü âðåìÿ ïðîáåãà áûñòðûõ âîëíê ýòîé òî÷êå, à åãî ïîâåðõíîñòè óðîâíÿΓτñîîòâåòñòâóþò âîëíîâûìôðîíòàì.3.1Îòîáðàæåíèå3.1.1ΠTÏîëóãåîäåçè÷åñêèå êîîðäèíàòûÔèêñèðóåìT : 0 < T < T reg .Êàæäîé òî÷êåxðåãóëÿðíîé çîíûåò åäèíñòâåííàÿ áëèæàéøàÿ ê íåé òî÷êà ãðàíèöû(γ(x), τ (x)) =: i(x)çîéΓ,íàçûâàþòîòâå÷à-γ(x): τ (x, γ(x)) = τ (x).ïîëóãåîäåçè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè(ï.ã.ê.) òî÷êèÏàðóxñ áà-à ìíîæåñòâîΘT := i(ΩT )1âΩT := ΩTpíåé èçëàãàþòñÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ðàáîòå [17](3.1.1)38âûêðîéêîéïîäîáëàñòèÑîãëàøåíèå 3.1.1.ΩT .(îá îáîçíà÷åíèÿõ)1.
×åðåç x(γ, τ ) îáîçíà÷àåì òî÷êó ðåãóëÿðíîé çîíû, èìåþùóþ ïîëóãåîäåçè÷åñêèåêîîðäèíàòû γ, τ ;2. åñëè φ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ èëè ïîëå íà ΩT , òî òåì æå ñèìâîëîì φ îáàçíà÷àåì ôóíêöèþ (ïîëå) φ ◦ i−1 , îïðåäåëåííóþ íà ΘT (òàê ÷òî φ(γ, τ ) := φ(x(γ, τ )));åñëè ψ çàäàíà íà ΘT , òî òåì æå ñèìâîëîì ψ îáîçíà÷àåì ôóíêöèþ (ïîëå) ψ ◦ iíà ΩT (òàê ÷òî ψ(x) := ψ(γ(x), τ (x)));3. çàïèñü φ(x) = ψ(γ, τ ) îçíà÷àåò âûïîëíåíèå äâóõ ðàâåíñòâ:φ(x(γ, τ )) = ψ(γ, τ ) íà ΘT è φ(x) = ψ(γ(x), τ (x)) â ΩT .Âîçüì¼ìòî÷êèγ(x).x ∈ ΩTè âûáåðåì ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû2Ôóíêöèèγ̃ 1 , γ̃ 1γ̃ α (·) := γ̃ α (γ(·)), α = 1, 2; τ = τ (·)äåçè÷åñêèìõ êîîðäèíàò íà ñîäåðæàùåìxâ îêðåñòíîñòèσ ⊂ Γîáðàçóþò ñèñòåìó ïîëóãåî-ìíîæåñòâå (òðóáêå)BσT := {x′ ∈ ΩT | γ(x′ ) ∈ σ,0 6 τ (x′ ) < T }.(3.1.2) ñèñòåìå ïîëóãåîäåçè÷åñêèõ êîîðäèíàò åâêëèäîâû ýëåìåíòû äëèíû è îáúåìà èìåþò èçâåñòíûé âèä3|dx|2 = gαβ dγ α dγ β + c2 dτ 2 ; dx = cJdγ 1 dγ 2 dτ = c dΓτ dτ = cãäå1J(γ, τ ) := (det {gαβ }) 2 , J0 (γ, τ ) := J(γ, 0), dΓτíîñòè íàΓτèΓ.èJdΓdτ ,J0(3.1.3)dΓ åâêëèäîâû ýëåìåíòû ïîâåðõ-Ýëåìåíò äëèíû áûñòðîé ìåòðèêè â ï.ã.ê.
èìååò âèäds2 = hαβ dγ α dγ β + dτ 2 ;(3.1.4)ñðàâíèâàÿ (3.1.3) ñ (3.1.4) è ó÷èòûâàÿ (3.0.1), ïîëó÷àåìhαβ =2 èçâåñòíûå3 çäåñü1gαβ .c2ñâåäåíèÿ èç ãåîìåòðèè â ðàçäåëàõ 3.1.1 è 3.1.3 çàèìñòâîâàíû èç [31]è äàëåå ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì α, β = 1, 2(3.1.5)393.1.2Âîññòàíîâëåíèå ñêîðîñòè ïî òåíçîðóhÇäåñü ïîäãîòàâëèâàåòñÿ îäèí èç øàãîâ ñõåìû ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è. ÏóñòüT reg .  ýòîì ñëó÷àå, âûêðîéêà (3.1.1) ïîäîáëàñòè ΩTi : ΩT → ΘTi−1åñòüΘT = Γ × [0, T ]. Îòîáðàæåíèåèíäóöèðóåò íà âûêðîéêå äâå ìåòðèêè (äâà òåíçîðà)(ΘT , g)åñòü èçîìåòðèÿc áûñòðîé ìåòðèêîé4íàΩTgèc åâêëèäîâîé ìåòðèêîé è èçîìåòðèÿ. Ïî (3.0.1) ìåòðèêèÏðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòåí òåíçîðghèT <hòàêèå, ÷òî(ΘT , h)êîíôîðìíî-ýêâèâàëåíòíû:íàΩTh = c−2 g .h íà ΘT .
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå,äîêàçàííîå â [31]. Ââèäó åãî âàæíîñòè, ïðèâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî.Òåîðåìà 3.1.1. Òåíçîð h = h(γ, τ ) íà âûêðîéêå ΘT = Γ × [0, T ) è çíà÷åíèÿ c è∂c∂νíàà åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿþò ñêîðîñòü c(x) â ΩT .Äîêàçàòåëüñòâî.(ΘT , g)è(ΘT , h)c2Khèñêàëÿðíûå êðèâèçíû ìíîãîîîáðàçèéñîîòâåòñòâåííî; â ñèëó åâêëèäîâîñòè ïåðâîãî,ïðåäñòàâëåíèè ìåòðèêèìíîæèòåëüKgÎáîçíà÷èì ÷åðåçhc−2 gâ ôîðìååñòü ÷àñòíûé ñëó÷àéòàêîé, ÷òîáû êîíôîðìíàÿ äåôîðìàöèÿc2 h = gKg = 0 .Âîïðîñ îçàäà÷è ßìàáå:íàéòèîáëàäàëà ïðåäïèñàííîéïîñòîÿííîé (â äàííîì ñëó÷àå íóëåâîé) ñêàëÿðíîé êðèâèçíîé. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷èñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ)(√1c = 0∆ h − Kh8(∆h ëàïëàñèàí âh-ìåòðèêå).Òàê êàê ôóíêöèèíàΘT√cè(3.1.6)√∂ c∂τ=1 √1 ∂cèçâåñòíû íà2 c ∂νòî, êàê äàííûå Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (3.1.6), îíè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòÏî ñêîðîñòèÒåíçîðgc = c(γ, τ )íà âûêðîéêåΘTîïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâèåäåêàðòîâû êîîðäèíàòû âΩT ;íàõîäèòñÿ åâêëèäîâà ìåòðèêà:4 ìûi−1â ñèëó èõ ãàðìîíè÷íîñòè, èìååìg -ìåòðèêå).Ïîñêîëüêóóðàâíåíèå (3.1.7) îïðåäåëÿåò ôóíêöèèÑîîòâåòñòâèåg = c 2 h.i−1 : ΘT → ΩT .
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x1 , x2 , x3∆g xk = 0(∆g ëàïëàñèàí âΓ,√ðåøåíèåc.åñòü îòîáðàæåíèåxkíàèΘT(3.1.7)∂xkèçâåñòíû íà∂τxk = xk (γ, τ )íàΘTΓ,òî ýëëèïòè÷åñêîååäèíñòâåííûì îáðàçîì.(γ, τ ) → x(γ, τ ) = {x1 (γ, τ ), x2 (γ, τ ), x3 (γ, τ )}.îáîíà÷àåì ïåðåñàæåííûå òåíçîðû òåìè æå áóêâàìè g è h40Ñêîðîñòü âΩTâîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî ôîðìóëå[c(x) =)23 (∑∂xk (γ, τ )]1/2∂τk=1,x ∈ ΩT(ñì. Ñîãëàøåíèå 3.1.1). Òåîðåìà äîêàçàíà.3.1.3Ïðåäñòàâëåíèå ïîëåé ðåãóëÿðíîé çîíå ýéêîíàë ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì; îí îïðåäåëÿåò ïîëå åâêëèäîâûõ íîðìàëåé ê ïîâåðõíîñòÿìΓτ∇τ (x),|∇τ (x)|ν(x) :=Çàìåòèì, ÷òî çäåñüν|Γx ∈ ΩT , 0 < T < T reg .åñòü âíóòðåííÿ íîðìàëü ê ãðàíèöå.Ëþáîå âåêòîðíîå ïîëåyâΩTìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäåy = yθ + yν ,ãäåyν := (y · ν)ν , yθ := y − yνÏóñòüBσTr = r(x) ïðîäîëüíàÿ è ïîïåðå÷íàÿ êîìïîíåíòûåñòü ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè(ñì.
(3.1.2)), ñîäåðæàùåéx;îáîçíà÷èì (αrα :=âåêòîðûr1 , r2x = x(γ, τ )∂r,∂γ αêàñàòåëüíû, à âåêòîðr0âR3 ; γ 1 , γ 2 , τy. ï.ã.ê. â òðóáêå= 1, 2):r0 :=∂r;∂τíîðìàëåí ê ïîâåðõíîñòèΓτ .Ïîëåyâ òðóáêåìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåy = y α rα + y 0 r0 = yθ + y 0 r0 .Ñîãëàøåíèå 3.1.2. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿìàòðè÷íûì ïðåäñòàâëåíèåì, îòîæ y0.äåñòâëÿÿ y = y r0 + yθ ñî ñòîëáöîìyθ0Ñêàæåì, ÷òî ïîëåvïðîäîëüíîå, åñëèv = v 0 r0(ò.å.vθ = 0).Íàïîìíèì èçâåñòíûåñîîòíîøåíèÿ äëÿ åâêëèäîâà ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðàgαβ = rα · rβ ;g00 = r0 · r0 = c2 .(3.1.8)413.1.4Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñÍèæå áóäåò èñïîëüçîâàí ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ â ìåòðèêå (3.0.1).
Ïóñòüêà, ïîêðûâàåìàÿ ñèñòåìîé ï.ã.ê.x ∈ BσT ,γ 1, γ 2, τîðòîãîíàëüíûé ïîâåðõíîñòèè ïóñòüΓτ (x) .v(x) = v 0 (x)r0 (x)v 0 := v 0 (x);Îáîçíà÷èìBσTåñòü òðóá- âåêòîð â òî÷êåâåêòîð[v(x)]∧ := v 0 r0 (γ(x))åñòü ðåçóëüòàò ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà èñõîäíîãî âåêòîðàòî÷êóγ(x) ∈ Γv(x)èç òî÷êèx ∈ Γτ (x)âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé áûñòðîé ìåòðèêè; îí, î÷åâèäíî, îðòîãîíàëåí êâΓ.Áûñòðàÿ è åâêëèäîâà ìåòðèêè êîíôîðìíî-ýêâèâàëåíòíû; ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåâ áûñòðîé ìåòðèêå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. Èç ñêàçàííîãîñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ïðîäîëüíûõ âåêòîðîâ1c2 (x)3.1.5ÏóñòüΘTΓ,u(x) · v(x) =ÎòîáðàæåíèåT < T regè ïóñòü ôóíêöèþ îò1c2 (γ(x))u, vâûïîëíåíî ðàâåíñòâî[u(x)]∧ · [v(x)]∧ .(3.1.9)πv åñòü ïðîäîëüíîå ïîëå â ΩT ; ñîïîñòàâèì åìó ïîëå íà âûêðîéêå(γ, τ ), çíà÷åíèÿ êîòîðîé ñóòü âåêòîðû, îðòîãîíàëüíûå ïîâåðõíîñòèïî ïðàâèëó(πv)(γ, τ ) := [v(x(γ, τ ))]∧ ,Ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îòîáðàæåíèÿ1.
ïóñòüφπñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ:åñòü ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âðàöèþ óìíîæåíèÿ ïîëåé íàφ;(γ, τ ) ∈ ΘT .ΩT ;òåì æå ñàìûì ñèìâîëîì îáîçíà÷èì îïå-ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîπφ = φπ ,(3.1.10)ïîíèìàåìîå ñ ó÷¼òîì ñîãëàøåíèÿ 3.1.1;2. îáîçíà÷èìc0 (γ, τ ) := c(γ, 0);èç (3.1.9) ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèåv→cπv åñòüc0ïîòî÷å÷íàÿ èçîìåòðèÿ â ñìûñëå åâêëèäîâîé íîðìû:() c c0 πv (γ, τ ) = |v(x(γ, τ ))|,(γ, τ ) ∈ ΘT ;(3.1.11)423. ïóñòüDåñòü êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (â áûñòðîé ìåòðèêå); íà ãëàäêèõ ïîëÿõdτâûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåD∂π=π .∂τdτ3.1.6ÏîëåΠTÎïåðàòîð∇τîïðåäåëåíî â|∇τ |ν=(3.1.12)ΩT (T < T reg );îíî îïðåäåëÿåò ðàçëîæåíèåHT := H[ΩT ] = LθT ⊕ LνT ,â êîòîðîìLθT := {w ∈ L2 (ΩT ; R3 ) | w · ν = 0LνT := {v ∈ L2 (ΩT ; R3 ) | v × ν = 0ñóòü ïîäïðîñòðàíñòâàPθT ,×åðåçïîïåðå÷íûõèïðîäîëüíûõ(3.1.13)âΩT }(3.1.14)Íà âûêðîéêåΘT = Γ × [0, T )u ∈ HTïîëåé.(3.1.15)PθT : HT → LθT .ðàññìîòðèì ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ïîëåé, íîð-Γ:FνT := {f ∈ L2 (ΣT ; R3 ) | f × ν0 = 0dΓdτ ),ãäåν0 (γ, τ ) := ν(γ, 0).íàΘT }(3.1.16)Êëàññ ãëàäêèõ ïîëåéMTν := FνT ∩ MT ,ñîñòîÿùèé èç ïîëåé, àííóëèðóþùèõñÿ âáëèçèÍàïîìíèì îáîçíà÷åíèÿ:ôóíêöèþν)êîòîðûé îïðåäåëèì ðàâåíñòâîìîáîçíà÷èì îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð(ñ ìåðîéΩT } ,(ïî îòíîøåíèþ êPθT u := u − (u · ν)ν,ìàëüíûõ êâïëîòåí âFνT .J0 (γ, τ ) := J(γ, 0), c0 (γ, τ ) := c(γ, 0)κ = κ(γ, τ ):cκ :=c0Ââåä¼ì îòîáðàæåíèåt = 0,(3.1.17)√cJ.J0è îïðåäåëèì íàΘT(3.1.18)ΠT : LνT → FνT ,ΠT v := κπv.(3.1.19)43Ëåììà 3.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
