Диссертация (1149369), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò îïèñûâàåò ïîâåäåíèå øàïî÷åê ïðè ε → 0(ñì. [22], Lemmà 1).77Ïðåäëîæåíèå 4.0.1. Ïðè âðåìåíàõ ξ < T reg ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîlim ωαξ,ε [σε (γ)] = xα (γ, ξ) ,ε→∞Îíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðèε→0øàïî÷êàωαξ,ε [σε (γ)]α = p, s .ñòÿãèâàåòñÿ ê òî÷êåïîëîæåííîé íà êîíöå ñîîòâåòñòâóþùåãî ëó÷à, èñõîäÿùåãî èç òî÷êèãðàíèöå(4.0.18)γxα (γ, ξ),ðàñ-ïî íîðìàëè êΓ.Îáîçíà÷èì àíàëîã ââåä¼ííîãî â ðàçäåëå 4.0.17 äîñòèæèìîãî ìíîæåñòâà (ïîäïðîñòðàíñòâà) ñèñòåìûαTξwpξ,ε [σε (γ)] := (U ⊖ Uξ−ε) ∩ U[ΞT,ξp [σε (γ)]] ,ñîñòîÿùåãî èç âîëí, èíèöèèðîâàííûõ çàïàçäûâàþùèìè óïðàâëåíèÿìè (âðåìÿ çàäåðæêèT −ξ ).
Êàê ñëåäñòâèå ñòàöèîíàðíîñòè ñèñòåìû òèïà Ëàìå, ïîëó÷àåì àíàëîã òåîðåìû2.3.1 î ðàçäåëåíèè øàïî÷åêwpξ,ε [σε (γ)] = G[ωpξ, ε [σ]] ⊕ J [ωsξ, ε [σ]] ,ãäåG[ωpξ, ε [σ]], J[ωsξ, ε [σ]] ïîäïðîñòðàíñòâà ïîòåíöèàëüíûõ è ñîëåíîèäàëüíûõ ïîëåé,ëîêàëèçîâàííûõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ øàïî÷êàõ.Äàëåå, îïðåäåëèì äîñòèæèìîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ìîäåëèξ,εξ|w|p [σε (γ)] := (|U| ⊖ |U|Ñëåäñòâèåì óíèòàðíîñòè îïåðàòîðàåòñÿ ðàâåíñòâîVTξ−ε|αT |) ∩ |U|[ΞT,ξp [σε (γ)]] .è ñîîòíîøåíèé (4.0.11), (4.0.12), (4.0.13) ÿâëÿ-( )∗ξ,ε|w|p [σε (γ)] = V T wpξ,ε [σε (γ)] .Èç ýòîãî ðàâåíñòâà, óíèòàðíîñòèVTè (4.0.16) ñëåäóåò)( )∗ ( ξ,εξ,εtt|w|p [σε (γ)] ∩ |U| [γ ′ ] = V Twp [σε (γ)] ∩ U [γ ′ ] 3 . ðåçóëüòàòå ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ïðåäëîæåíèþ.Ïðåäëîæåíèå 4.0.2.ξ,εtt|w|p [σε (γ)] ∩ |U| [γ ′ ] ̸= {0} ⇐⇒ wpξ,ε [σε (γ)] ∩ U [γ ′ ] ̸= {0} .3 äîñòèæèìîå(4.0.19)ìíîæåñòâî U t [γ ′ ] îïðåäåëåíî ôîðìóëîé (4.0.14)784.0.5Âðåìÿ ïðîáåãà áûñòðûõ âîëí îò òî÷êè ãðàíèöû äî òî÷êèîáëàñòèÔèêñèðóåì ïîëîæèòåëüíîåxα (γ, ξ) (α = p, s) òî÷êà îáëàñòèëó÷à, âûõîäÿùåãî èç4îêðåñòíîñòüòî÷êèâðåìÿ ïðîáåãàT < T reg ;γ′γïóñòüΩ,γ, γ ′ äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ãðàíèöûΓ,ðàñïîëîæåííàÿ íà êîíöå ñîîòâåòñòâóþùåãîïî íîðìàëè ê ãðàíèöå (06 ξ 6 T ); Ωtα [γ ′ ]â ñîîòâåòñòâóþùåé ìåòðèêå.
Âûáåðåì (ìàëîå) ìåòðè÷åñêàÿε > 0. Îáîçíà÷èìp- èëè s- âîëí îò òî÷êè γ ′ äî ñîîòâåòñòâóþùåé øàïî÷êè ωαξ,ε [σε (γ)] ÷åðåçτα (γ ′ , ωαξ,ε [σε (γ)]).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî{}tτα (γ ′ , ωαξ,ε [σε (γ)]) = inf t > 0 ωαξ,ε [σε (γ)] ∩ Ωα [γ ′ ] ̸= {∅} .Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ñóùåñòâóåò òàêîåêε,÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè ãðàíèöûγ ′ ∈ σδ (γ) \ σε (γ)δ > ε,äîñòàòî÷íî áëèçêîåâûïîëíåíîτp (γ ′ , ωpξ,ε [σε (γ)]) < τs (γ ′ , ωsξ,ε [σε (γ)]) .Äåéñòâèòåëüíî, ïîëüçóÿñü îáùèìè ñâîéñòâàìèp- è s- ðàññòîÿíèé è òåì, ÷òî cp > cs ,ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òîτs (γ ′ , ωsξ,ε [σε (γ)]) = τp (γ ′ , ωpξ,ε [σε (γ)]) + β(γ, ξ, ε, δ) ,ãäåβ(γ, ξ, ε, δ)β(γ, ξ, ε, δ) = o(δ − ε)íåêîòîðàÿïðèïîëîæèòåëüíàÿôóíêöèÿ,äîïóñêàþùóþîöåíêó:δ → ε.ÏóñòüUst [γ ′ ] := XΩTs [γ ′ ] U t [γ ′ ] 5 .Òîãäà, ïðè òåõ æå ïðåäïîëîæåíèÿõ, óêàçàííîå óòâåðæäåíèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó:ñ ðîñòîìt äîñòèæèìîå ìíîæåñòâî U t [γ ′ ] áóäåò èìåòü íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ øàïî÷êîéωpξ,ε [σε (γ)] ðàíüøå,÷åì ìíîæåñòâîUst [γ ′ ] ñ øàïî÷êîéÎáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â äèíàìèêå ôðîíòp-ωsξ,ε [σε (γ)].âîëíû çàöåïèò ìåäëåííóþ øàïî÷êóωsξ,ε [σε (γ)], ðàçóìååòñÿ, ðàíüøå, ÷åì îí çàöåïèò áûñòðóþ øàïî÷êó ωpξ,ε [σε (γ)], íî íàáëþäàòåëü, ïîñòðîèâøèé ìîäåëü4 ìåòðè÷åñêèå5 ïðîåêòîð|αT | ïî îïåðàòîðó ðåàêöèè R2T , ýòîãî "íå óâèäèò".
Ýòî îêðåñòíîñòè îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (1.1.2)XΩTs îïðåäåë¼í ôîðìóëîé (2.1.10)79ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî âîëíîâîå ïîëå ìåæäó áûñòðûì è ìåäëåííûì ôðîíòîì âîëíû, ÿâëÿåòñÿ, êàê ïîêàçàíî â ãëàâå 2, ïîòåíöèàëüíûì, à îíî îðòîãîíàëüíî ñîëåíîèäàëüíîìó(ïî òåîðåìå 2.3.1 î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê) ïîëþ, ëîêàëèçîâàííîìó â ìåäëåííîé øàïî÷êåωsξ,ε [σε (γ)].Óêàçàííîå îáñòîÿòåëüñòâî è ÿâëÿåòñÿ òåì ïðåïÿòñòâèåì ê âîññòàíîâëåíèþìåäëåííîé ñêîðîñòècs ,ïðåîäîëåòü êîòîðîå äî ñèõ ïîð íå óäàëîñü.Âñïîìíèì òåïåðü, ÷òî, ñîãëàñíî (4.0.18), ïðèê ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êåxα (γ, ξ) (α = p, s).ε → 0 øàïî÷êà ωαξ,ε [σε (γ)] ñòÿãèâàåòñÿÏîëüçóÿñü ýòèì ñâîéñòâîì è íåïðåðûâ-íîñòüþ ðàññòîÿíèÿ, ïðåäñòàâèì âðåìÿ ïðîáåãà áûñòðûõ âîëí îò òî÷êèxp (γ, ξ)γ′äî òî÷êèâ âèäå}{ ξ,εt ′τp (γ , xp (γ, ξ)) = lim inf t > 0 ωp [σε (γ)] ∩ Ωp [γ ] ̸= {∅} .′ε→0Äàëåå, ïîñêîëüêótsupp U t [γ ′ ] = Ωp [γ ′ ],òîttωpξ,ε [σε (γ)] ∩ Ωp [γ ′ ] ̸= {∅} ⇐⇒ wpξ,ε [σε (γ)] ∩ U [γ ′ ] ̸= {0} .Ñðàâíèâàÿ ýòîò ðåçóëüòàò ñ ïðåäëîæåíèåì 4.0.2, ïðèäõîäèì ê ïðåäñòàâëåíèþ, êîòîðîåèñïîëüçóåòñÿ íèæå ïðè ðåøåíèè îáðàòíîé çàäà÷è.Ëåììà 4.0.2.{}ξ,εt ′τp (γ , x(γ, ξ)) = lim inf t > 0 |w|p [σε (γ)] ∩ |U| [γ ] ̸= {0} .′ε→0(4.0.20)Îòìåòèì, ÷òî, â ñèëó (4.0.15), (4.0.19), åãî ïðàâàÿ ÷àñòü îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëåìîïåðàòîðà óïðàâëåíèÿ, à çíà÷èò, îïåðàòîðîì ðåàêöèè4.0.6|W |TR2T .Âîññòàíîâëåíèå áûñòðîé ñêîðîñòèÏðîöåäóðà âîññòàíîâëåíèÿ áûñòðîé ñêîðîñòè â ðåãóëÿðíîé çîíå îïèðàåòñÿ íà òåîðåìó2.3.1 î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê è ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ øàãîâ.1.
Ïî îïåðàòîðó ðåàêöèèR2Tìîäåëè ïî èçâåñòíîìó îïåðàòîðóìíîæåñòâwpξ,ε [σε (γ)]2. Âàðüèðóÿ{0},t îò ξèU t [γ ′ ],äîïîñòðîèì|W |Tìîäåëü |α|Tíàéä¼ìò.å. ìíîæåñòâàñèñòåìû òèïà Ëàìå.  ýòîéèçîìåòðè÷åñêèå êîïèè|w|ξ,εp [σε (γ)]èäîñòèæèìûx|U|t [γ ′ ].ξ,εt0 è êîíòðîëèðóÿ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà |w|p [σε (γ)]∩ |U| [γ ′ ] =íàéä¼ì òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü òåõt,ïðè êîòîðûõ îíî íàðóøàåòñÿ.  äèíàìèêå,80â ñèòóàöèè èñõîäíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, îíà ðàâíà âðåìåíè, ïðè êîòîðîì ôðîíòâîëíû, ïîðîæä¼ííîé óïðàâëåíèÿìè, äåéñòâóþùèìè èç òî÷êèáûñòðîé øàïî÷êèε→0áûñòðîé ìåòðèêå îò òî÷êè ãðàíèöûγ)äî òî÷êè îáëàñòèγ,è ïîëüçóÿñü ëåììîé 4.0.2, íàéä¼ì ðàññòîÿíèå âγ′(èç äîñòàòî÷íî ìàëîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòèxp (γ, ξ).4.
Âûáèðàÿ òðè ðàçëè÷íûõ òî÷êèêèâïåðâûå êàñàåòñÿωpξ,ε [σε (γ)].3. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðèòî÷êèγ′,γ ′ 1 ,γ ′ 2 ,γ ′ 3íàéä¼ì òðè âåëè÷èíû (ôóíêöèè îòγèèç ìàëîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷-ξ ):τp (γ ′ 1 , γ, ξ) , τp (γ ′ 2 , γ, ξ) , τp (γ ′ 3 , γ, ξ) ,êîòîðûå ïîçâîëÿþò âîññòàíîâèòü òåíçîðòî÷êè(γ, ξ) ∈ ΘT (T < T reg ) (ñì.5.
Ïî òåíçîðó{hαβ }îïðåäåëèì ñêîðîñòüÇàìå÷àíèå.{hαβ (γ, ξ)}áûñòðîé ìåòðèêè â îêðåñòíîñòè[25]).íàéä¼ì ñâÿçü ïîëóãåîäåçè÷åñêèõ è äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ècp (x)â ðåãóëÿðíîé çîíåΩTp ⊂ Ω(òåîðåìà 3.1.1).Êàê âèäíî, òåîðåìà 3.1.1 î âîññòàíîâëåíèè ïî òåíçîðóhñêîðîñòècpâðåãóëÿðíîé çîíå èñïîëüçóåòñÿ íà çàâåðøàþùåì ýòàïå êàê â ýòîé ñõåìå, òàê è â ñõåìåèç ãëàâû 3 (ñì.
ðàçäåë 3.5).Çàêëþ÷åíèå ðàáîòå ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû:1.  äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå òèïà Ëàìå ïðîâåäåí àíàëèç ñòðóêòóðû äîñòèæèìûõìíîæåñòâ è óñòàíîâëåíî, ÷òî â ìàëûõ îáëàñòÿõ ñïåöèàëüíîãî âèäà (øàïî÷êàõ)íà êîíöàõ áûñòðûõ èëèp-ëó÷åé ëîêàëèçóþòñÿ òîëüêî ïîòåíöèàëüíûå ïîëÿ, à íàêîíöàõ ìåäëåííûõ èëès-ëó÷åé òîëüêî ñîëåíîäèäàëüíûå ïîëÿ (òåîðåìà 2.3.1î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê).2.
Íà îñíîâå ÂÑ-ìåòîäà ðàçðàáîòàíà ñõåìà îïòèìàëüíîãî ïî âðåìåíè íàõîæäåíèÿñêîðîñòåé áûñòðûõ è ìåäëåííûõ âîëí â ñèñòåìå òèïà Ëàìå ïî äèíàìè÷åñêèìãðàíè÷íûì äàííûì (îïåðàòîðó ðåàêöèè).  îòëè÷èå îò ðàáîòû [16], ðåøåíèå íå81èñïîëüçóåò ñïåöèàëüíîãî ðàçäåëåíèÿ óïðàâëåíèé íà äâà êëàññà óïðàâëåíèé,èíèöèèðóþùèõ òîëüêîp-âîëíûèëè òîëüêîs-âîëíûñîîòâåòñòâåííî. Íîâàÿ ñõå-ìà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé ïðè ðåøåíèè îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ïîëíîé ñèñòåìûËàìå, ãäå òàêîå ðàçäåëåíèå çàâåäîìî íåâîçìîæíî. ż ïðåèìóùåñòâîì ÿâëÿåòñÿåäèíîîáðàçíûé ïîäõîä ê âîññòàíîâëåíèþ ñêîðîñòåé êàê áûñòðûõ, òàê è ìåäëåííûõ âîëí: àìïëèòóäíàÿ ôîðìóëà, îñíîâàííàÿ íà ñîîòíîøåíèÿõ ãåîìåòðè÷åñêîéñåéñìèêè, ïîçâîëÿåò íàõîäèòü èçîáðàæåíèÿ âîëí; èç èçîáðàæåíèé èçâëåêàåòñÿìåòðè÷åñêèé òåíçîð ñîîòâåòñòâóþùåé ìåòðèêè â ïîëóãåîäåçè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ; ïî íåìó âîññòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñêîðîñòü â ðåãóëÿðíîé çîíå.3. Ïðåäëîæåí íîâûé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ áûñòðîé ñêîðîñòè â ñèñòåìå òèïà Ëàìå ïîäèíàìè÷åñêèì ãðàíè÷íûì äàííûì, èñïîëüçóþùèé ëîêàëèçàöèþ âîëí íà êîíöàõp-ès-ëó÷åéè òåîðåìó 2.3.1 î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê.
Ñõåìà ðåàëèçîâàíà â ðàì-êàõ ÂÑ-ìåòîäà: èñïîëüçóåòñÿ óïðàâëÿåìîñòü ñèñòåìû, íàõîäèòñÿ ñâÿçûâàþùèéîïåðàòîð, ñòðîèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëü. Îíà òàêæå îïòèìàëüíà ïî âðåìåíè è íå èñïîëüçóåò ñïåöèàëüíîãî ðàçäåëåíèÿ óïðàâëåíèé, èíèöèèðóþùèõ òîëüêîáûñòðûå èëè òîëüêî ìåäëåííûå âîëíû. ż ïðåèìóùåñòâîì ÿâëÿåòñÿ íàãëÿäíîñòüè øàíñû íà ÷èñëåííóþ ðåàëèçàöèþ (ïî êðàéåé ìåðå, â ÷àñòè îïðåäåëåíèÿ òåíçîðàháûñòðîé ìåòðèêè íà âûêðîéêå); îäíàêî, ïîêà òàêèì ñïîñîáîì óäà¼òñÿâîññòàíîâèòü â ðåãóëÿðíîé çîíå òîëüêî áûñòðóþ ñêîðîñòü.ÁëàãîäàðíîñòèÀâòîð ïðèçíàòåëåí ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Ìèõàèëó Èãîðåâè÷ó Áåëèøåâóçà âíèìàíèå ê ðàáîòå è ïîñòîÿííóþ ïîääåðæêó. Ïðèíîøó áëàãîäàðíîñòü ÀëåêñàíäðóÑåðãååâè÷ó Áëàãîâåùåíñêîìó, Âëàäèìèðó Ñåì¼íîâè÷ó Ñåì¼íîâó è Ìàêñèìó Íèêîëàåâè÷ó Äåì÷åíêî çà ïîëåçíûå è áåçîòêàçíûå êîíñóëüòàöèè ïî òåìå äèññåðòàöèè.82Ëèòåðàòóðà[1] Ì.
Ì. Ëàâðåíòüåâ, Â. Ã. Âàñèëüåâ, Â. Ã. Ðîìàíîâ. Ìíîãîìåðíûå îáðàòíûå çàäà÷èäëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íîâîñèá.: Íàóêà, 1969.[2] À. Ñ. Àëåêñååâ. Íåêîòîðûå îáðàòíûå çàäà÷è òåîðèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. Èçâ.ÀÍ ÑÑÑÐ: ñåð. Ãåîôèç., 11 (1962), 15141531.[3] À. Ñ. Áëàãîâåùåíñêèé. Îá îáðàòíîé çàäà÷å òåîðèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñåéñìè÷åñêèõâîëí.
Ïðîáëåìû ìàò. ôèçèêè. Ë.: ËÃÓ, 1 (1966), 6881.[4] Â. Ã. Ðîìàíîâ. Íåêîòîðûå îáðàòíûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.Íîâîñèá.: Íàóêà, 1972.[5] Â. Ã. Ðîìàíîâ. Îáðàòíûå çàäà÷è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íîâîñèá.:ÍÃÓ, 1973.[6] Â. Ã. Ðîìàíîâ. Îáðàòíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1984.[7] Â. Ã. ßõíî. Îáðàòíûå çàäà÷è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé óïðóãîñòè. Íîâîñèá.: Íàóêà, 1990.[8] À.
Ñ. Àëåêñååâ (ðåä.) Íåêîððåêòíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è àíàëèçà.Íîâîñèá.: Íàóêà, 1984.[9] C. È. Êàáàíèõèí. Îáðàòíûå è íåêîððåêòíûå çàäà÷è. Íîâîñèá.: Ñèá. íàó÷í. èçä-âî,2009.83[10] Ñ. È. Êàáàíèõèí.Ïðîåêöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ îáðàòíûõ çàäà÷äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Íåêîððåêòíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêèè àíàëèçà. Íîâîñèá.: Íàóêà, 1984, 5559.[11] M. Ikehata, G. Nakamura, M. Yamamoto.isotropic Lame system.Uniqueness in inverse problems for theJ. Math. Sci. Univ. Tokyo,5 (1998), 627692.[12] M. Eller, V.
Isakov, G. Nakamura, D. Tataru. Uniqueness and stability in the CauchyNonlinear PDE and Applications,problem for Maxwell's and elasticity systems.Eds. D.Cioranescu, J-L. Lions, College de France Seminar,Mathematics and its applications,Studies in31, North-Holland, Elsevier Science, 2002.[13] V. Isakov, J.-N. Wang, M. Yamamoto.system with residual stress.14, 329349.An inverse problems for a dynamical LameSIAM J. Math. Anal.,39 (2007), 13281343.[14] L. Rachele.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
