Автореферат (1149353), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поэтому для аналитическойоценки прогибов нанотрубок как балок использовалась теория Тимошенко –Рейсснера (ТР). По этой теории прогиб трансверсально-изотропной балкиF x02 (l x0 ) 25 2(1 ),имеет вид w( x0 ) 3lEJ2gДля балки 2 .Ji2, где a– расстояние от точки опоры до точкиS a2 a2прижима, J– момент инерции поперечного сечения стержня, а S – егоплощадь, i J- радиус инерции поперечного сечения,S, где E –модуль Юнга в тангенциальном направлении, G'– модуль упругости припоперечномсдвиге.Предполагается,чтовыполняетсясоотношение 2 g 1.Для тонких тел из изотропного материала теории типа БКЛ являютсяпервым асимптотическим приближением трехмерной теории при 0 , где - безразмерный малый параметр.
В изотропном случае теория Тимошенко –Рейсснера (ТР), учитывающая сдвиг, несущественно уточняет классическуютеорию. Но, как показано в работе Товстика П.Е. (Вестник СПбГУ, 2007), длятел из трансверсально-изотропного материала «при умеренно малой7поперечной жесткости на сдвиг» теория ТР существенно уточняет теориюБКЛ и дает следующее асимптотическое приближение трехмерной теории.В качестве примера ниже приведены результаты моделирования изгибананотрубкиизхризотиловогоасбеста,заполненноготеллуром.Вэксперименте трубка опиралась двумя концами на лавсановую мембрану,образуя «мостик» над порой в мембране.
Нанотрубка нагружаласьпоперечными усилиями различной величины в различных точках иизмерялся прогиб. Значения модуля Юнга бралось из расчета «сухой»нанотрубки из этой партии (по теории БКЛ), т.к. известное значение для«макро» образцов материала нельзя считать достоверными в нашем случае.Диаметр нанотрубки -322 нм, длина провисающей части около 490 нм,модуль Юнга, а рассчитанное значение модуля сдвига. На графике (рис. 1) представлены результаты сравненияэкспериментальных данных, данных полученных по теории БКЛ и данных,полученных по теории ТР.Рис. 1.
Сравнение прогибов, полученных из эксперимента и в результате расчетовпо теориям БКЛ и ТР.Каждый слой трубки не меняет свои механические свойства, но модульсдвига в поперечном сечении G' может существенно меняться в зависимостиот наполнителя. Обработаны данные ряда экспериментов, на основаниикоторых сделан вывод о том, что теория ТР в среднем в 5 раз поправляет8теорию БКЛ.
Далее рассмотрены неклассические теории многослойныхоболочек, учитывающие модули сдвига.Представленырезультаты,полученныесиспользованиемтеорийоболочек Родионовой-Титаева-Черныха (РТЧ) и Палия-Спиро (ПС). ТеорияРТЧ – это линейная теория однородных анизотропных оболочек постояннойтолщинысучетоммалойподатливостипоперечнымсдвигамидеформированию в направлении нормали к срединной поверхности, а такжепоперечныхнормальныхнапряженийинелинейногораспределениякомпонент вектора перемещения по толщине оболочки. Теория ПС – этотеория оболочек средней толщины, в которой приняты следующие гипотезы:1.
Прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединнойповерхности до деформации, остаются после деформации такжепрямолинейными.2. Косинус угла наклона таких волокон к срединной поверхностидеформированной оболочки равен осредненному углу поперечногосдвига.В таблице 1 проводится сравнение результатов, полученных по теории ТР,РТЧ, ПС с результатами, получающимися при тех же параметрах МКЭ впакете ANSYS. Строки “TR1” и “Ansys1” соответствуют значениям прогибатрубки с отверстием; строки “TR2” и “Ansys2” соответствуют прогибусплошной трубки. Параметры нанотрубки следующие: внутренний радиуструбки Rin=2.5 нм, внешний Rout=16 нм, длина трубки L=500 нм, значениямодуля упругости оболочки E1,2,3=1.75*1011 Па, коэффициент Пуассонаи модуль сдвигаПа. Сила внешнего воздействиянН, площадь области приложения нагрузки [40*40] нм 2, Lv –координата приложения силы на внешней поверхности оболочки.Все теории дают близкие результаты.
Однако результаты, полученныес использованием неклассических теорий оболочек, ближе к результатамтрехмерной теории, что может быть объяснено более точным учетом9цилиндрической формы трубки, цилиндрической анизотропией, а так жеболее точным учетом области приложения внешней нагрузки.LvTR1TR2RTCHPSAnsys1Ansys225060,6159,257,7957,5454,1152,3922059,758,3156,8656,6253,2652,3820058,0756,7255,2154,9751,750,1217054,1452,8751,225148,346,7715050,5249,3447,5647,3545,143,7112043,6542,6240,6240,4539,0237,8110038,1237,2235,0734,2934,0733,027028,4727,7925,4525,3425,3724,64017,2416,8214,414,3415,3714,91Таблица 1. Сравнение величин прогибов многослойной нанотрубкиВо второй главе рассматривается влияние поверхностных эффектов(на границе отверстия и вдоль всей пластины) на устойчивость бесконечнойрастянутой пластины с круговым отверстием и проводится сравнение склассическим решением.Напряжения, учитывающие поверхностные эффекты на границеотверстия, предложены Грековым М.А.
и Морозовым Н.Ф (Memoirs onDifferential Equations and Mathematical Physics, 2011)Дляопределениякритическогонапряженияиспользовалсяэнергетический метод С.П. Тимошенко:Здесь U – потенциальная энергия изгиба пластины, асрединнойплоскостипластинки,накопившихся– работа усилий вкмоментупотериустойчивости, на дополнительных перемещениях, вызванных потерейплоской формы деформирования:где w – прогиб пластины после потери устойчивости,Пуассона,– коэффициент– цилиндрическая жесткость пластины,10Прогиб пластиныопределялся в виде двойного рядаудовлетворяющего условию затухания прогиба на бесконечности. Дляфункционалаусловиясвободныхкромокотверстияявляютсяестественными.Из принципа возможных перемещений следует, что в состоянииравновесия механической системы потенциальная энергия деформациидостигает минимума.
В этом состоянии обобщенные силы, т.е. частныепроизводныеприращенияпотенциальнойэнергиипообобщеннымкоординатам, равны нулю:Искомая первая критическая нагрузка, соответствующая выходу пластиныиз плоской формы равновесия, равна минимальному положительномузначению собственного числа .Далее помимо поверхностных эффектов на границе отверстияучитывался дополнительный вклад поверхностных напряжений, учеткоторых меняет изгибную жесткость пластины, как это показано в статьеЕремеева В.А., Альтенбаха Х., Морозова Н.Ф. (Известия РАН, 2010):ЗдесьЛаме ,,- модули поверхностной упругости, аналогичные постояннымдля объемной изотропной упругости. При помощи подстановкивыражения прогиба в соотношения для U и W, и реализации метода Ритца впрограмме Maple, рассчитаны критические нагрузки для классическогослучая, с учетом поверхностных эффектов на границе круга и с учетомслучая учета поверхностных напряжений вдоль поверхности пластины.11Расчеты выполнены для пластин из алюминия, основные константыкоторогоДанные для поверхности взяты изстатьи Miller R.E., Shenoy V.B.
(Nanotechnology, 2000)для Al [111].Рис.2. Пунктирная линия – отношение критической нагрузки, учитывающейповерхностные эффекты на границе круга к классической нагрузке, сплошная линия –отношение критической нагрузки, учитывающей вдобавок поверхностные напряжениявдоль всей пластины к классической нагрузке.Из рис. 2 видно, что учет поверхностных эффектов на лицевыхсторонах пластины увеличивает критическую нагрузку при выбранныхупругих и поверхностных модулях, и учет изменения изгибной жесткостипластины играет бОльшую роль, чем учет поверхностных эффектов награнице круга.
График (рис. 2) представлен для случая R=20 нм и h от 2 нм до20 нм. При увеличении толщины пластины поверхностные эффектыстановятся, естественно, пренебрежимо малы.В третьей главе изучается влияние модулей упругости круговойвставки на устойчивость плоской формы равновесия бесконечной тонкойпластины при одноосном растяжении .Решение задачи о деформации в декартовой системе координатпредставлено в работе Deryugin Ye.Ye., Lasko G.V. ( Engineering, 2012), гдеполе напряжений внутри вставки введено как12,и.Ниже представлены графики для напряженийв зависимости ототношений модуля Юнга вставки к модулю Юнгу пластины.Графики для напряженийот более «мягкой» вставки к более «жесткой»при.Рис.
3(b).Рис. 3(а). Отсутствие вставкиРис. 3(d).Рис. 3(c).Рис. 3(f). Случай абсолютно «жесткой»вставки ()Рис. 3(e).13В случае, если модули упругости пластины и вставки не равны, тонапряжения σx /σ всегда в некоторой областиимеют отрицательныезначения, а это означает, что может произойти потеря устойчивости плоскойформы деформирования пластины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
