Диссертация (1149340), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Метод АПЛ также работает с жёсткими задачами. Рассмотрим классическоежёсткое уравнениес точным решением u =du= 50 cos(t) − 50u,dtu(0) = a0 = 11e−50t2501+25002501cos(t) +502501t = [0, 1],(261)sin(t).Аналогично предыдущему примеру, на Рисунке 4.5а показана результирующая ошибка(столбцы с маркером малого круга), оценённая неравенствами Островского (пунктирной линией) и улучшенными формами оценки (пунктирной линией).
Альтернативный способ изображения полученных результатов показан на Рисунке 4.5б.Пример 4.3. Способ АПЛ может быть также применен к жёстким системам ОДУ. В качестве примера, рассмотримdu1 dt = 998u1 + 1998u2 , du2 = −999u1 − 1999u2 ,dtu (t ) = 1, u (t ) = 1,1 02 0t ∈ [0, 5 · 10−3 ]с точными решениями u1 = 4e−t − 3e−1000t и u2 = −2e−t + 3e−1000t . На Рисунках 4.6а, 4.6б, 4.7аи 4.7б представлена та же информация (поведение решения и гарантированные границы),что и в предыдущих примерах.1211elMM0.04vuv±M0.90.030.80.020.70.010.6000.20.40.6t(а)0.8100.20.40.6t(б)0.81Рисунок 4.5 – (a) Ошибка и оценки ошибки.
(b) Точное и приближённое решение смажорантой Островского.41v1u1v1 ± M3.5v2u2v2 ± M0.503−0.52.5−12−1.51.5−210123t45−3x 10(а)0123t45−3x 10(б)Рисунок 4.6 – Точные и приближённые решения системы с мажорантами Островского.Отметим, что в случае жёстких уравнений, получение приближённого решения с гарантируемыми и точными оценками погрешности требует гораздо больших затрат, чем вотносительно простых примерах 4.1 и 4.2. Это неудивительно, для произведения контролируемых расчётов для задач такого типа требуется гораздо больше вычислительного времени,что делает их довольно дорогостоящими.1220.12elMM0.12elMM0.10.10.080.080.060.060.040.040.020.02000123t(а)45−3x 1001234t(б)Рисунок 4.7 – Ошибка и оценка ошибки для решений системы u1 и u2 .5−3x 10123ЗаключениеПредставленная диссертация посвящена изучению гарантированных оценок расстояния до точного решения эволюционных задач реакции-конвекции-диффузии с различнымикраевыми условиями.
По ходу вывода мажорант и минорант погрешностей в приближённомрешении нам удалось продемонстрировать, что полученные двусторонние оценки являютсяявно вычисляемыми и эквивалентными ошибке. Численные исследования подтвердили чтоэти двусторонние оценки предоставляют гарантированно точную информацию об энергетической норме погрешности, а также генерируют эффективный индикатор её локального распределения на дискредитированной области (см. первую главу, а также публикацию [140]).В первой главе мажоранта и миноранта ошибки получены для эволюционного уравнения реакции-диффузии, в которых параметр реакции резко меняет свое значение на разныхчастях области (см. [140]).
Там же было детально разобрано применение мажоранты на практике, описаны примеры её дискретизации различными методами (АКР и кэВ), и, тем самым,подтверждена универсальность оценки для любого выбранного подхода. Ряд примеров, приведённых в первой главе, продемонстрировал основные свойства мажоранты, заявленные вовведении, а именно, универсальность, гарантированность, точность и вычисляемость. Более того, на нескольких примерах продемонстрирована устойчивость мажоранты к резкимизменениям в функции реакции на разных частях области.Во второй главе двусторонние оценки погрешности решения в эволюционных задачахбыли обобщены на уравнение реакции-конвекции-диффузии и адаптированы для областей сосложной структурой и смешанными краевыми условиями Дирихле–Робина.
Для преодоления вычислительных сложностей, возникающих в связи с включением в мажоранту константФридрихса и констант в неравенстве о следах, использован метод подразбиения области насовокупность непересекающихся выпуклых подобластей. Для получения надежных оценокпогрешности, использованы классические неравенства Пуанкаре и ‘граничные’ неравенстваПуанкаре для функций с нулевым средним для следа на границе. Следовательно, новыеоценки расстояния до точного решения содержат только константы в локальных неравенствах вложений, соответствующих определённым подобластям, что существенно улучшаетточность и эффективность мажоранты. Более того, было доказано, что полученные оценкиэквивалентны основной и комбинированной энергетической норме ошибки (см.
[152, 153]). Втой же главе, с помощью декомпозиции области и локальных неравенств вложения получена мажоранта, основанная на более широком множестве потоков (флаксов), что позволяетполучить более эффективную минимизацию функциональной оценки ошибки.Полученные выше оценки требуют точных значений или гарантированных и реалистичных оценок констант в соответствующих функциональных неравенствах. Глава 3 описываетсоответствующие мажоранты констант в классическом неравенстве Пуанкаре и ‘граничном’неравенстве Пуанкаре для функций, имеющих нулевое среднее значение следа на границеЛипшицевой области или измеримой части этой области (см.
[141]). Эти неравенства были124активно использованы в апостериорных методах оценки расстояния от приближения до точного решения начально-краевых задач, представленных в [152] и [153]. Полученные в третьейглаве вычисляемые мажоранты для констант в вышеупомянутых неравенствах справедливыкак для двухмерных, так и трёхмерных симплексов. Численные результаты, представленныетак же, подтвердили эффективность полученных оценок. В дополнение к этому, мажорантыконстант в классическом неравенстве Пуанкаре были сравнены с известными аналитическими оценками и показали лучшую точность в большинстве случаев.В контексте дифференциальных уравнений были изучены только линейные модели.
Направлением дальнейшей работы, безусловно, является обобщение этих методов на нелинейные начально-краевые задачи. В рамках этой темы важным является получение мажорантыдля некомформных приближений. Оценки, основанные на методе декомпозиции и локальныхклассических, а также ‘граничных’ неравенств Пуанкаре, полученные в [153], могут быть исследованы далее с уклоном на применение оценок на практике. Наконец, одним из важныхнаправлений будущей работы является оптимизация скорости восстановления мажоранты,к примеру, реализация распараллеленного алгоритма её минимизации.125Список условных обозначений:=по определению֒→компактно вложено≡эквивалентно∀для всехa·bскалярное произведение векторовNпространство натуральных чиселRпространство вещественных чиселRdпространство вещественнозначных d-размерных векторовΩоткрытая ограниченная область в Rd с Липшицевой границейΩзамыкание Ω∂Ωнепрерывная по Липшицу граница области ΩΓчасть ∂Ω, такая что measd−1 Γ > 0QTпространственно-временной цилиндр QT := Ω×(0, T ), где T заданное времяSTповерхность цилиндра QT , т.е., ST := ∂Ω × [0, T ]diamΩдиаметр области ΩmeasΩмера Лебега области ΩDα vпроизводная порядка |α|C k (Ω)пространство k-кратно дифференцируемых скалярных функцийC0k (Ω)подпространство C k (Ω), содержащее функции с компактным носителемΩC0∞ (Ω)пространство гладких функций с компактным носителем ΩLp (Ω)пространство скалярных функций Ω, суммируемых со степенью pLp (Ω,Rd )пространство векторных функций с компонентами, суммируемымисо степенью p на ΩXБанахово пространствоVГильбертово пространствоV∗пространство, сопряжённое к VW l,p (Ω)пространство Соболева функций w, суммируемых со степенью p иобладающих производными Dα w ∈ Lp (Ω), |α| ≤ l126H l (Ω)пространство Соболева W l,p с p = 2H0l (Ω)подпространство H l (Ω), содержащее функции, обращающиеся в нуль на ΓH −1 (Ω)пространство, сопряжённое к H01 (Ω)H(Ω,div)подпространство L2 (Ω,Rd ), содержащее векторные функциис дивергенцией, суммируемой с квадратомk · kHнорма в Hk·kнорма в L2 (Ω)||| · |||энергетическая нормаkwkAвзвешанная норма в L2 (Ω), т.е.,kwkA−1RΩRΩA−1 w · w dx1/2Aw · w dx1/2wtчастная производная по отношению к временной координатеw,iчастная производная по отношению к пространственной координате ith∇градиент скалярной функции ∇w = (w,1 , .
. . , w,d )∆оператор Лапласа ∆w := div∇wdivдивергенция вектор-функции div w =dPwi,iR1w dxсреднее функции w на Ω, т.е., {u}Ω := |Ω|i=1{w}ΩΩπоператор проектированияeошибкаMфункционал мажорантыMфункционал минорантыIeffиндекс эффективности Ieff :=MмаркерMAVRмаркер, определенный относительно уровня средней ошибкиMθ‘bulk’ маркер с параметром θPkконечные элементы Лагранжа порядка kRTkконечные элементы Raviart-Tomas порядка kPkмножество полиномов степени kM|||e|||127Список сокращенийУЧПуравнение в частных производныхАПЛадаптивный метод Пикара-ЛинделёфаКЗкраевая задачаГУграничное условиеМКРметод конечных разностейКЭконечный элементМКЭметод конечных элементовН-КЗначально-краевая задачап. в.почти всюдуУЧПуравнения в частных производныхСЛАУсистема линейных алгебраических уравненийDOFчисло степеней свободы (degrees of freedom)ELэлементы (elements)NDузлы (nodes)REFитерации адаптации сетки (refinements)128Список литературы1.
Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Наука, Москва, 1973.2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейныеуравнения параболического типа. Наука, Москва, 1967.3. Wloka J. Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 1987.4. Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/A. Springer-Verlag, NewYork, 1990. С.
xviii+467.5. Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/B. Springer-Verlag, NewYork, 1990. С. i–xvi and 469–1202.6. Thomée V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Second изд. Berlin:Springer-Verlag, 2006. Т. 25. С. xii+370.7. Lang J.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
