Диссертация (1149340), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Таким образом,мы рассматриваем несколькоon изначальноπ π π 2ππопорных тетраэдров с ρ = 1, θ̂ = 2 , и α̂ = 4 , 3 , 2 , 3 и вычисляем константы числен-но с высокой точностью. Таблица 3.5 демонстрирует сходимость констант по отношению крастущему M (N ).Тогда для произвольного тетраэдра T мы имеем:kvkT ≤ CΓP h2 k∇vkT ,1/2kvkΓ ≤ CΓTr h2 k∇vkT ,Pгде CΓ,b π/2 ,α̂Trи CΓ,b π/eΓP =CΓP / Cminππα̂={π/4 , /3 , /2 ,2π/3 }eΓTr =CΓTr / CminnoPγπP/2 ,α̂ CΓ,b π/2 ,α̂ ,onTrTrγπ/2 ,α̂ CΓ,b π/2 ,α̂ ,α̂={π/4 ,π/3 ,π/2 ,2π/3 }(246)константы, характеризующие четыре базисных тетраэдра из Таблицыb π/ ,α̂ → T.

Здесьсоотношения, характеризующие отображение Fπ/2 ,α̂ : T22 ,α̂3.5, а γπP/2 ,α̂ и γπTr/2 ,α̂b π/ ,α̂ – базисный тетраэдр, задающийся вершинами Â = (0, 0, 0), B̂ = (1, 0, 0), Ĉ = (0, 0, 1),T2108x2Nx2MD(Dx , Dy , Dz )DαθATx1B(h1 , 0, 0)Γαθx1AC(0, 0, h3 )x3x3Рисунок 3.12 – Симплекс в R3 .HРисунок 3.13 – Координаты вершины D.P,MTr,MbТаблица 3.5 – CΓ,b π/ ,α̂ и CΓ,b π/ ,α̂ по отношению к M (N ) для Tθ̂,α̂ с ρ = 1, θ̂ =22π2 , α̂θ̂ ==π4x̂2bΓx̂3P,MCΓ,b π/ ,α̂7=π3x̂2α̂M (N )π2 , α̂θ̂ =b π/T4α̂x̂1bΓx̂3b π/T3x̂1Tr,MCΓ,b π/ ,α̂P,MCΓ,b π/ ,α̂0.324310.7600990.3259850.654654260.3385390.8294450.3402670.761278630.3411220.8313250.3425560.7629011240.3411470.8313350.3425890.7629052150.3411470.8313350.3425892π2 , α̂θ̂ =2=π2θ̂ =x̂2x̂3M (N )P,MCΓ,b π/ ,α̂7Tr,MCΓ,b π/ ,α̂20.762905π2 , α̂=2π3x̂2α̂θ̂2bΓb π/T2α̂x̂1x̂3bΓb 2π/T3x̂1Tr,MCΓ,b π/ ,α̂P,MCΓ,b π/ ,α̂0.3605320.6546540.41520990.686161260.3736690.7516150.42747570.863324630.3755900.7519940.42864440.8645951240.3756030.7519990.42866520.8646302150.3756030.7519990.42866520.864630222Tr,MCΓ,b π/ ,α̂2π2и некоторых α̂.109D̂ = (cos α̂, sin α̂, 0) с углами α̂ = { π4 , π3 , π2 , 2π}, T, и Fπ/2 ,α̂ (x̂) представляется выражением3x = Fπ/2 ,α̂ (x̂) = Bπ/2 ,α̂ x̂,h1h2где ν(ρ, α) = cos α sin θ −Bπ/2 ,α̂ = {bij }i,j=1,...,3cos α̂, det Bπ/2 ,α̂ = h1 h2 h3ν(ρ,α)sin α̂h1h2= h2  00sin α sin θsin α̂cos θsin α̂00 ,(247)h3h2sin α sin θ.sin α̂По аналогии с плоским случаем (см.

(233)) соотношения γπP/2 ,α̂ и γπTr/2 ,α̂ зависят от мак-симального собственного значения матрицыb211 + b212 b12 b22Aπ/2 ,α̂ := h21  b12 b22b12 b32b222b22 b32b12 b32b22 b32  .22b33 + b32Максимальное собственное значение Aπ/2 ,α̂ определяется соотношениемλmax (Aπ/ ,α̂2)=h221/3сµα,θ,α̂ = E5 −µα,θ,α̂ ,−1/E3 E5 3+1E3 1,гдеE1 = b211 + b212 + b222 + b232 + b233 ,E2 = b211 b222 + b211 b232 + b211 b233 + b212 b233 + b222 b233E3 =E4 =E23−E1 3)3E1 2),3−E1 E23+ 12 b211 b222 b233 ,1E5 = E4 + (E33 + E42 ) /2 .Таким образом, γπP/2 ,α̂ и γπTr/2 ,α̂ в (246) находятся как1/2γπP/2 ,α̂ = µπ/2,α̂и γπTr/2 ,α̂ =sin α̂ρ sin α sin θ1/2γπP/2 ,α̂ .Нижние границы констант CΓP и CΓTr вычисляются методом минимизации RpΓ [w] и RTrΓ [w]по элементам множества V3N ⊂ H 1 (T), гдеV3N:=ni j kϕijk = x y z ,oi, j, k = 0, .

. . , N, i = j = k 6= 0 , dimV3N = M (N ) := (N + 1)3 − 1.Изображение плоскостей, соответствующих нижним и верхним границам констант в зависимости от углов α ∈ (0, π) и θ ∈ (0, π), представлены на Рисунках 3.14 и 3.15. Рисунки 3.14а и3.15а демонстрируют оценки с угла обзора (−45◦ C, 30◦ C), в свою очередь, Рисунки 3.14б и3.15б с точки (−135◦ C, 30◦ C).

В соответствии с ожиданиями, верхняя оценка приближения1100.50.50.450.450.40.40.350.350.30.30.250.255*pi/65*pi/65*pi/62*pi/3pi/2pi/62*pi/32*pi/3pi/2pi/2pi/3θpi/3pi/6αpi/6pi/2pi/3pi/3α(а) az = −45◦ C, el = 30◦ Cpi/62*pi/35*pi/6θ(б) az = −135◦ C, el = 30◦ CРисунок 3.14 – Двусторонние оценки CΓP для T c h3 = 1, h2 = 1, h1 = 1 по отношению кα ∈ (0, π) и θ ∈ (0, π).221.81.81.61.61.41.41.21.2110.85*pi/62*pi/30.85*pi/6pi/2θpi/6pi/2pi/3pi/3pi/6pi/3pi/2pi/2pi/3pi/62*pi/35*pi/62*pi/3αα(а) az = −45◦ C, el = 30◦ Cpi/62*pi/35*pi/6θ(б) az = −135◦ C, el = 30◦ CРисунок 3.15 – Двусторонние оценки CΓTr для T c h3 = 1, h2 = 1, h1 = 1 по отношению кα ∈ (0, π) и θ ∈ (0, π).C M,Pи C M,Trдля тетраэдров α =ΓΓπ2иθ =π2довольно точна, так как отображение Fπ/2 ,π/2является тождественным в значениях α и θ. Для удобства читателя численные значениянижних и верхних границ CΓP и CΓTr представлены в Таблицах 3.6 и 3.7 для T с h1 = 1,h3 = 1, и ρ = 1.

Стоит отметить, что точные значения констант ближе к значениям в левойчасти колонок. Для азимута θ = π/2 , оценки C M,Pи C M,Trпродемонстрированы графическиΓΓна Рисунке 3.16.1110.53CeΓpC p,MΓ0.45CeΓTrC Tr,MΓ2.520.41.510.350pi/4pi/2α3*pi/4pi0pi/4pi/2α3*pi/4piРисунок 3.16 – Двусторонняя оценка CΓP и CΓTr для T с h3 = 1, ρ = 1.α=π6ePТаблица 3.6 – C M,pΓ (M (N ) = 124) и CΓ .α=π4π3π2C M,pΓπ/60.238830.490350.246210.498410.258700.510540.294840.51308π/40.238830.453880.246210.461730.258700.476830.294840.49075π/30.296660.419580.311940.422590.334890.437240.389760.46002π/20.343020.356670.341120.341150.342560.342590.375590.375602π/30.404280.419580.405620.422590.409270.437240.428670.460023π/40.428900.453880.431100.461730.435050.476830.450170.490755π/60.449640.490350.451930.498410.455390.510540.466070.51308α=π2α=2π3α=3π4C M,pΓα=5π6π/60.294840.513080.330690.517920.344680.522530.354990.52694π/40.294840.490750.330690.502610.344680.513080.354990.52253π/30.389760.460020.438800.484130.457420.502610.471060.51792π/20.375590.375600.428650.428670.450170.457310.466070.478112π/30.428670.460020.459970.484130.474570.502610.485980.517923π/40.450170.490750.472040.502610.482390.513080.490640.522535π/60.466070.513080.479720.517920.486070.522530.491150.52694ePCΓC M,pΓePCΓC M,pΓePCΓC M,pΓePCΓθePCΓC M,pΓePCΓC M,pΓα=θePCΓC M,pΓα=ePCΓ112α=π6e Tr .(M (N ) = 124) и CТаблица 3.7 – C M,TrΓΓα=π4π3π2C M,TrΓπ/61.097603.782590.962452.718660.912552.273820.931232.05449π/41.097602.438970.962451.780940.912551.501660.931231.38951π/30.891221.744670.791461.311300.759501.124310.789041.06349π/20.980171.229200.831320.831330.762900.762910.751990.752002π/31.176981.744670.994731.311300.905781.124310.864631.063493π/41.351952.438971.141441.780941.037371.501660.982201.389515π/61.653173.782591.394242.718661.264902.273821.19017α=π2α=2π3α=3π4C M,TrΓα=2.054495π6π/60.931232.054491.072442.394711.215732.959021.470444.21999π/40.931231.389511.072441.643241.215732.018411.470442.80588π/30.789041.063490.917731.274231.043091.508331.263572.11790π/20.751990.752000.864590.864630.982201.129711.190171.670332π/30.864631.063490.961741.274231.081341.508331.301912.117903π/40.982201.389511.079211.643241.206862.018411.447212.805885π/61.190172.054491.295822.394711.442682.959021.723834.21999e TrCΓC M,TrΓe TrCΓC M,TrΓe TrCΓC M,TrΓe TrCΓθe TrCΓC M,TrΓe TrCΓC M,TrΓα=θe TrCΓC M,TrΓα=e TrCΓ113Глава 4Адаптивный метод Пикара–ЛинделëфаВ данном разделе представлены результаты исследования гарантированного адаптивного метода Пикара-Линделëфа, который был предложен в [151] для решения задачи Коши сзаданной точностью.

Метод Пикара–Линделёфа можно использовать не только для ОДУ, нои для зависящих от времени алгебраических и функциональных уравнений (см., например,Nevanlinna [180,181], где показано, что скорость сходимости метода не зависит от временногошага). Апостериорные оценки и поточечная суперсходимость в инкрементальных по времениметодах были изучены в Arrives и Mariachis, Nochetto [182], Mariachis и Nochetto [183] длялинейных и нелинейных задач.4.1.Метод Пикара–ЛинделёфаРассмотрим задачу Кошиdudt= ϕ(u(t), t), u(t0 ) = a0 ,t ∈ [t0 − ε, t0 + ε](248)со скалярно- или векторнозначным решением u(t). Допустим, что функция ϕ(u(t), t) является равномерно непрерывной по Липшицу в отношении к u (а именно, константа Липшицаможет быть выбрана независимо от t) и непрерывна по t.

Существование и единственностьнепрерывно дифференцируемой функции u(t) на [t0 − ε, t0 + ε], ∀ε > 0, следует из теоре-мы Пикара–Линделёфа и теоремы Пикара о единственности (или теоремы Коши–Липшица)(см. Coddington, Levinson [142], Lindelöf [148]). В отличие от теоремы Пикара–Линделёфа,теорема Пиано (см.

Peano [184]) обеспечивает только существование, без единственности, нонакладывает более слабые условия на ϕ (а именно, только непрерывность по отношению кt).Метод Пикара–Линделёфа рассматривает интегральную постановку (248):u(t) =Ztϕ(u(s), s) ds + a0 .(249)t0Точное решение (249) является неподвижной точкой, приближённой итерационным методомuj = T uj−1 + a0 ,T u :=Ztϕ(u(s), s) dst0в случае, если T : V → V удовлетворяет условию (39) на [t0 − ε, t0 + ε].(250)1144.2.Адаптивный метод Пикара–ЛинделёфаДопустим Q := (u, t) | u ∈ U, t ∈ I , где U множество возможных значений u, форми-рующееся на стадии априорного анализа задачи на всем интервале I := [t0 , tK ].

Рассмотримзадачу (248) и допустим, что функция ϕ(u(t), t) непрерывна по отношению к обеим переменным и удовлетворяет условию Липшица для любых (u1 , t1 ), (u2 , t2 ) ∈ Q в следующейформеkϕ(u2 , t2 ) − ϕ(u1 , t1 )kC([t1 , t2 ]) ≤ L1 ku2 − u1 kC([t1 , t2 ]) + L2 |t2 − t1 |,где L1 и L2 – константы Липшица.Допустим, что интервал I дискретизирован следующим образом:I = ∪I (k) ⊂FK I (k) ,FK := {I (k) }K−1k=0 ,I (k) := (tk , tk+1 ),K ∈ N.(251)Для задачи (250) становится очевидно, что условие q := L1 (tk+1 − tk ) < 1 обеспе-чивает сходимость итерационного алгоритма при помощи адаптации длины интервалаI (k) ⊂ FK к величине константы L1 .

Характеристики

Список файлов диссертации