Диссертация (1149340), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Гарантированная мажоранта√2,2ρ = 1, и α ∈ (0, π). ГарантированныеP= γπP/4 CΓ,b π/ изображены пунктирными чёрными ли-CΓPмаркером.4PP= min{C π/2 , C π/4 } подчеркнута жирным голубымТаким же образом, на Рисунках 3.3а и 3.3б красным маркером показаны нижние грани(для M (N ) = 48) для константы CΓTr , представленные вместе с верхними границамицы C M,TrΓTrC Γ , обозначенные голубым маркером. Эта верхняя граница определена как минимум междуTrTrTrTrTrC π/2 = γπTr/2 CΓ,b π/2 и C π/4 = γπ/4 CΓ,b π/4 . В численном виде информация представлена Таблицей3.2.Рисунок 3.2а соответствует случаю ρ =CΓP известна точно, и нижняя граница√2.2C M,PΓВажно отметить, что для α =π4константа(красный маркер) практически с ней совпа-дает.
В этом случае отображение Fπ/4 тождественно, соответственно, верхняя граница CΓTr(голубая кривая) совпадает с точным значением константы (см., к примеру, Рисунок 3.2б).Аналогичное пересечение кривых может быть обнаружено и для CΓTr и C M,Trна Рисунке 3.3а.ΓРисунок 3.2в демонстрирует красную кривую, соответствующую приближению C M,PΓ ,которая совпадает с CΓP (голубой кривой) в точке α = π2 (так как для этого угла Fπ/2 ≡ Ib π/ (см. Рисунок 3.2г)). На Рисунок 3.3б продеи треугольник T идентичен треугольнику T2монстрирован аналогичный результат дляC M,TrΓ(красный маркер) и CΓTr (голубой маркер).Индексы эффективности полученных оценок, задающиеся соотношением мажоранты к миноранте, приведены в Таблице 3.3 по отношению α .100PТаблица 3.3 – Индексы эффективности C Γ по отношению к α ∈ (0, π) для различных ρ.ρ=PIeffα:=PCΓ√22ρ=1TrIeff/C 48,pΓ:=TrCΓPIeff/C 48,TrΓ:=PCΓTrTrIeff:= C Γ /C 48,Tr/C 48,pΓΓπ/91.08821.16681.07541.3376π/61.07871.11021.07931.32572π/91.03421.03911.08891.3323π/31.07051.22241.12081.35714π/91.10671.14771.13851.1184π/21.11751.09321.00001.00005π/91.12571.07611.01141.05372π/31.09301.10201.02601.14077π/91.08151.14081.03441.20385π/61.07921.15641.03711.22668π/91.07821.16831.03901.24340.60.80.50.70.40.6ppC π /2C π /2pC π /40.3pC π /40.5ppCΓCΓ0.4C 48,PΓC 48,PΓ0.20pi/4pi/2α(а) ρ =3*pi/4pi0√pi/4pi/2α(б) ρ =323*pi/4pi32Рисунок 3.4 – Двусторонние оценки CΓP по отношению к α ∈ (0, π) и для различных ρ.Рисунки 3.4 и 3.5 иллюстрируют аналогичные оценки для случаев ρ =Pторые также является довольно точными, а именно, Ieff:=TrIeff:=TrCΓ/C 48,Tr ∈ [1.0363, 1.3388] для ρ =для ρ = 32 .Γ√3,2PCΓ√32и3,2ко-/C 48,p ∈ [1.0463, 1.1300] иΓPTrи Ieff∈ [1.0249, 1.1634] и Ieff∈ [1.2917, 1.7643]Нижние оценки CTPОписанный выше численный метод может быть использован для сравнения полученных в Лемме 3.2 верхних оценок классических констант Пуанкаре (11) для произвольногоk∇wkTkw−{| w |}T kTоценки C MT .треугольника T.
Минимизация R[w] =генерирует гарантированные нижниепо базису подпространства V1N ⊂ H 1 (T)Более того аппроксимации, полученные1014.5Tr4.5Tr4Tr3.54C π /23.5C π /4CΓ3TrC π /4TrCΓ3C 48,TrΓ2.5TrC π /2C 48,TrΓ2.5221.51.5110.50.50pi/4pi/2α(а) ρ =3*pi/4pi0pi/4√pi/2α(б) ρ =323*pi/4pi32Рисунок 3.5 – Двусторонние оценки CΓTr по отношению к α ∈ (0, π) и (a) ρ =численно, можно сравнить с C T :=diam(T),j1,1и C T := max(16), соответственно.ndiam(T) P, 4π2 j0,1o√32и (b) ρ = 32 ., определённые в (15) иPНа Рисунках 3.6а, 3.6б и 3.6г мы сопоставляем C MT (M (N ) = 48) с C T , C T и C T поотношению к α ∈ (0, π) для T для ρ =√23,22√48,Pи 23 .
Не сложно заметить, что C T, обозначеннаякрасным маркером, действительно лежит между допустимыми двухсторонними границами.PИз этих графиков очевидно, что полученная верхняя граница C T (голубой маркер) точнеесуществующих оценок C T (чёрный маркер) для T и ρ 6= 1. Настоящие значения константлежат между красной и голубой линиями, из которых первая ближе к точным значениям напрактике. Такой вывод можно сделать из того, что увеличение M (N ) не ведёт к заметномуизменению линии C M,PT , к примеру, для M (N ) = 63 разница в получаемых приближениях непревосходит 1e−8. Кроме того, важно отметить, что нижняя граница C T (чёрный пунктирныймаркер) – асимптотически точна для α ∈ (0, π) и α → π.Благодаря работе [49] мы располагаем информацией об улучшенной верхней оценкеLSCT(14) для равносторонних треугольников.
На Рисунке 3.6в изображено сравнение C MTP(M (N ) = 48, красный маркер) с обеими верхними границами: C T (239), обозначенной гоLSLSлубым маркером, и C T , обозначенной чёрным пунктиром. Не сложно заметить, что C TPLSявляется асимптотически точной для α → 0 и α → π. В данном случае C T улучшает C Tтолько для некоторых α. Более того, аппроксимация C 48T действительно стремится к значеLSнию C T при T, вырождающемся в прямую по мере α, стремящейся к 0 (см.
[49]).102P,⊕P,⊕CTP0.4CT0.45PCTCTC 48,PT0.35C 48,PT0.4C PTC PT0.350.30.30.250.250pi/4pi/2α(а) ρ =0.453*pi/4pi0√220.65P,△3*pi/4pi3*pi/4pi√32P,⊕CT0.6PCTC 48,PTPCTC 48,PT0.55C PT0.35pi/2α(б) ρ =CT0.4pi/4C PT0.50.450.30.40.250.350pi/4pi/2α3*pi/4pi0pi/4(в) ρ = 1pi/2α(г) ρ =LS32PРисунок 3.6 – C 48T с оценками сверху C T и C T и нижней границей по отношению к α на Tс различными ρ.Структура минимайзера соотношений РэлеяТочные константы в (17) и (18) зависят от минимальных положительных собственныхзначений задачи (19) и (20). В этом разделе мы рассматриваем поведение собственных функций, соответствующих этим собственным значениям. Для отображения их в унифицирован3Pλi = 1:ной форме мы используем барицентрические координаты λi ∈ (0, 1), i = 1, 2, 3,i=1xy!=x1 x2 x3y1 y2 y3!(λ1 , λ2 , λ3 )T , иλ1λ2!= B−1 (r − r3 ),где ri = (xi , yi ), i = 1, 2, 3, вершины треугольника T и r = (x, y) ∈ T.
Рисунки 3.8 и 3.9изображают собственные функции, сконструированные для равносторонних треугольниковс углом α между двумя равными сторонами (условие нулевого среднего наложено на один103110.500100.50.5x11 01−100.50.5x2x1(а) upΓ1 0x2(б) uTrΓb π/ .Рисунок 3.7 – Точные собственные функции соответствующие CΓP и CΓTr на T ≡ T2из катетов) в процессе вычисления C M,Pи C M,Tr. Они нормализованы таким образом, чтоΓΓмаксимальное значение функции равно 1.значениюλpΓπ2точная собственная функция, соответствующая минимальному собственному2= ζh0 , известна из работы [62] (см.
Рисунок 3.7а) и имеет формуДля α =upΓ = cos( ζ0hx1 ) + cosζ0 (x2 −h)h,где ζ0 корень первого уравнения ζ cot(ζ) + 1 = 0 на (0, π). Можно сравнить точную функциюpM,pс её аппроксимацией uM,pΓ , построенной при помощи минимизации RΓ [w]. Приближение uΓизображено на Рисунке 3.8в.Аналогичный анализ собственных векторов, соответствующих константе C M,Tr, предΓставлен на Рисунке 3.9. В этом случае для α =π2точная функция представлена формулойuTrΓ = cos(ζ̂0 x1 ) cosh ζ̂0 (x2 − h) + cosh(ζ̂0 x1 ) cos ζ̂0 (x2 − h) ,где ζ̂0 корень уравнения tan(ζ) + tanh(ζ) = 0 на (0, π) (см. Рисунок 3.7б). Она минимизируTrет соотношение RTrΓ [w], соответствующее минимальному собственному числу λΓ =ζ̂0 tanh(ζ̂0 ).hНесложно заметить, что с выбранным параметром M (N ) численная аппроксимация практически совпадает с точным вектором (см.
Рисунок 3.8в).Представленные выше примеры, а именно собственные функции, соответствующие минимальному положительному собственному значению, непрерывно изменяются относительно α ∈ (0, π). Для соотношения RT [w] минимайзер кардинально меняет свой профиль дляслучая ρ = 1 и α = π3 . Рисунок 3.6в свидетельствует о том, что такая резкая смена возможна в угле α =π,3в котором кривая, характеризующая приближённые значения C 48T , имееточевидный перелом. Это происходит в силу того, что функция, минимизирующая RT [w] побазисным функциям подпространства V1N , меняет свою форму и ‘перескакивает’ на другоесобственное значение.
Рисунок 3.10а–3.10и демонстрирует три собственные функции u48T,1 ,48484848u48T,2 , и uT,3 , соответствующие трем минимальным значениям λT,1 , λT,2 , и λT,3 . Все функции10410.50−0.5100.50.5λ11 0(а) uΓ48,p , α =0.50−0.5−10λ2λ110.50.5011 0(в) uΓ48,p , α =x21 0(д) uΓ48,p , α =0.5(г) exact upΓ , α =λ20.50−0.5−10π210.50.5λ11 0(е) uΓ48,p , α =2π3x21 0x10.50.510.51λ10π20.50−0.5−10π300.5x1λ21 0(б) uΓ48,p , α =10.50.50.5π601λ23π4Рисунок 3.8 – Собственные функции, соответствующие C M,P(M (N ) = 48) наΓπ π π 2π 3πравнобедренном симплексе T с (α = 6 , 3 , 2 , 3 , 4 ).построены для равносторонних треугольников и отсортированы по отношению к возрастающим собственным значениям.
Рисунок 3.10 иллюстрирует эти три функции для T с угламиα =π π,3 3+ ε, иπ3− ε, где ε =π.36Очевидно, что для α =π3первая и вторая собственныефункции меняются позициями. Собственные функции вместе с соответствующими приближениями констант приведены в Таблице 3.4.10510.50−0.50110.50−0.500.50.51 0λ1(а) uΓ48,Tr , α =10.50.5λ2λ1(б) uΓ48,Tr , α =π61λ21 0π31001−100.50.51 0x1(в) uΓ48,Tr , α =x2x10.50.51 0x21 0(г) exact uTrΓ , α =1(д) uΓ48,p , α =0.50.5π20−0.5−10λ11−10π20−0.5−1010.50.5λ2λ11 0(е) uΓ48,p , α =2π3λ23π4Рисунок 3.9 – Собственные функции, соответствующие C M,Tr(M (N ) = 48) наΓ3π,).равнобедренном симплексе T с (α = π6 , π3 , π2 , 2π34Стоит заметить, что собственные функции для равносторонних треугольников, соответствующие двум минимальным собственным значениям, известны из McCartin [179]:u1 = cos− 1) − cos− 1) ,cos2ππu2 = sin 23π (2 x1 − 1) + cos √(2x−1).xsin12332π(2 x132π√x3 2π(2 x1348Эти функции практически совпадают с функциями u48T,1 и uT,2 , представленными на Рисунке3.10г.106110.50100.50.5λ1π31−101 00.50.5λ1λ21 0(ж) u48T,1 , α =π311 010.5010.5(з) u48T,2 , α =λ21 0π3π301−0.500.50.5λ1+ελ21 0(е) u48T,3 , α =10.50.5λ1π3−0.5010.5λ20.5λ1+ε000.5(д) u48T,2 , α =1−ε1λ10.50−0.5−10π30.50.5π3λ21 0(в) u48T,3 , α =−ε10.50−0.5λ20.50.5λ100.50.51λ21 0π3000.5(б) u48T,2 , α =−ε−0.5(г) u48T,1 , α =1λ10λ10.50.5λ21 0(а) u48T,1 , α =0.50−0.5−101 0(и) u48T,3 , α =π3λ2+εРисунок 3.10 – Собственные функции, соответствующие C MT (M = 48) на равнобедренномπππ π.симплексе T с α = 3 , 3 − ε и 3 + ε, где ε = 363.3.Двусторонние оценки констант CΓP и CΓTr длятетраэдровНевырожденный тетраэдр T ∈ R3 может быть представлен как тетраэдр, основан-ный на вершинах A = (0, 0, 0), B = (h1 , 0, 0), C = (0, 0, h3 ), D = (Dx1 , Dx2 , Dx3 ) =(h2 sin θ cos α, h2 sin θ sin α, h2 cos α), h1 и h3 - маштабирующие параметры вдоль осей координат Ox1 и Ox3 соответственно, AD = h2 , α – полярный угол, и θ - азимутальный угол (см.Рисунок 3.12).
Допустим, что нулевое среднее условие наложено на грань Γ, задающуюся наb обозначает базисный тетраэдр, где θ̂ ивершинах A = (0, 0, 0), B = (h1 , 0, 0), C = (0, 0, h3 ). Tθ̂,α̂b → T.α̂ фиксированные углы. Далее при помощи Fθ̂,α̂ мы обозначаем отображение Fθ̂,α̂ : Tθ̂,α̂Насколько нам известно, точные значения констант в ‘граничных’ неравенствах Пуанкаре1070.5100−0.51−101−100.50.5λ21 0λ10.50.5(а) u1λ21 0λ1(б) u2Рисунок 3.11 – Точные собственные функции u1 and u2 соответствующие первомусобственному значению равностороннего треугольника.MТаблица 3.4 – C MT и λT , соответствующие трем первым собственным функциям.π3ρ=1ρ=ρ=√2232uMT,iC 48T,iu48T,1−επ3π3+ελ48T,iC 48T,iλ48T,iC 48T,iλ48T,i0.241917.09510.238717.54630.253715.5404u48T,20.222920.12160.238717.54630.235518.0309u48T,30.135354.60240.137852.63960.142249.4818u48T,10.2313718.68040.2367117.84710.2433616.8850u48T,20.1708234.27070.1743532.89700.1764232.1295u48T,30.122966.20580.1278961.14020.1329856.5493u48T,10.347148.29830.355237.92470.36487.5143u48T,20.2448516.68010.2488516.14820.2512515.8412u48T,30.1825829.99810.1908427.45750.1984525.3921для симплексов в R3 неизвестны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
