Диссертация (1149340), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Касательно констант в неравенствах о следах, относящихся к полигональнымобластям, мы отмечаем работу Carstensen и Sauter [167]. В данной главе мы выводим новуюформу апостериорных оценок, которые включают только локальные константы и известныефункции, и доказываем, что полученная мажоранта эквивалентна расстоянию от точногорешения к его конформной аппроксимации, измеренной при помощи прямой и комбинированной норм. В Разделе 2.4., мы выводим улучшенную версию оценок, которые используютконстанты в классическом неравенстве Пуанкаре и ‘граничных’ неравенствах Пуанкаре дляфункций с нулевым средним следом на межэлементных границах и максимально расширенное пространство флаксов (непрерывных только в смысле среднего на границах полученныхподобластей).Допустим, чтоΩ :=[Ω i ∈ OΩΩi ,Ωi ∩ Ωj = ∅, i 6= j, i,j = 1, .

. . , N,(149)где Ωi – выпуклая область с Липшицевой границей. Подобласть Ωi является элементом коллекции OΩ (на практике, {Ωi }Ni=1 – сиплексные или полиэдральные простейшие элементы). Вдальнейшем мы используем G для обозначения коллекции всех граней. Кроме того, разделимэлементы G на подгруппыGint = Γij ∈ G | Γij = Ωi ∩ Ωj ,GD = ΓDi ∈ G | ΓDi = Ωi ∩ ΓD ,GR = ΓRi ∈ G | ΓRi = Ωi ∩ ΓR .(150)Соответственно, неравенство Пуанкаре для каждой подобласти Ωi имеет формуkwkΩi ≤ CΩPi k∇wkΩi ≤diam Ωik∇wkΩi ,πe 1 (Ωi ),w∈H(151)константа в которой оценивается при помощи (13).

Эта оценка может быть расширена нанеравенства в нормах Lp , L1 (см., к примеру, работы Acosta и Duran [168], Chua и Wheeden[169]), а также аналогичные оценки в пространствах вектор-функций [170].75e 1 (Ωi , Γi ), где Γi часть ∂ΩiОценки в ‘граничном’ неравенстве Пуанкаре для функций H(совпадающая с Γij или ΓRi ), формулируются какkwkΩi ≤ CΓPi k∇wkΩi ,kwkΓi ≤ CΓTri k∇wkΩi .(152)(153)За счёт использования локальных неравенств (151), (152) и (153) удаётся получить болееточные мажоранты, чем (121) и (135), так как CΩPi , CΓPi и CΓPi соответствуют меньшим подиаметру областям.

Более того, подобласти Ωi имеют более простую форму по сравнению сΩ, и, соответственно, CΩPi , CΓPi и CΓPi вычисляются гораздо проще, чем CFΩ и CTrΓR .Ремарка 2.3. Очевидно, что неравенство (153) обладает некоторым свойством монотонности, которое позволяет оценить CΓTr . А именно, если Ω1 и Ω2 обладают общей границей Γ иΩ1 ⊂ Ω2 , тогдаkwk ≤ CΓΩ1 k∇wkΩ1 ≤ CΓΩ1 k∇wkΩ2 .(154)Соответственно, CΓΩ2 ≤ CΓΩ1 .Первая форма мажоранты [ e ] 2(ν,θ,χ,ζ)Разобьём полученную коллекцию подобластей на две группы:ΩP :=[Ωl ,Ω l ∈ OPΩ0 :=[Ωk ,Ω k ∈ O0OP :=O0 :=nnoΩl ∈ OΩ ̺|Ωl ≥ P, l = 1, . .

. , NPиoΩk ∈ OΩ ̺|Ωk < P, k = 1, . . . , N0 ,(155)(156)которые содержат элементы с относительно большой и довольно малой функцией ̺. Наподобласти из коллекции O0 , мы накладываем следующие дополнительные условия:nr1f−µ+ (v, y)oΩ k ∈ O0= 0 п. в. t ∈ (0, T ).(157)Так как y находится в нашем распоряжении, выбор флакса, удовлетворяющего условию(157),- технически несложная задача.Наложим аналогичное локальное ограничение на ΓR , разбитое на ΓR j = ∂Ωj ∩ ΓR ,j = 1, .

. . , M , M ≤ N . Допустим, что удовлетворено условиеnrF (v, y)oΓRj ∈GR= 0 п. в. t ∈ (0, T ),(158)где GR обозначает коллекцию непересекающихся граней ΓR j в (150). Используя локальныеклассические и ‘граничные’ неравенства Пуанкаре, мы выведем альтернативную форму ма-76ΓRΩiΓDΩ0ΩPΩjΓRj1Ωj2ΓRj2ΓRjmРисунок 2.1 – Пример разбиения Ω.жоранты, включающую основанные на локальных невязках комплексыROP ,{·} (t) :=XΩ l ∈ OPR OP , k·k (t) :=nPCΩlνAr1f−µ+ (v, y)2νAXΩl(159),2 1−µ+r(v,y) f ,(160)2 1−µ+r(v,y) f ,kΩ k ∈ O0o2ΩlΩ l ∈ OPX CΩP 2R O0 (t) :=RSR (t) :=X|Ωl |P2(161)Ωk2CΓTrRjνAΓR j ∈ GRkrF (v, y)k2ΓRj .(162)В следующей теореме допустим Ωη,+ = ∅, а именно η+ ≡ 0 on ΓR .Теорема 2.5.

Допустим, что удовлетворены условия (157) и (158). Тогда для любыхSRv ∈ Hg1,1 (QT ) и y ∈ Ydiv(QT ) справедлива оценка[ e ] 2(ν, θ, χ,1, )≤2M I,N (v, y; δ, γ1 , γ2 , µ+ ) :=ZT 2 1 µ+γ1 ̺ rf (v, y) + γ2 ROP ,{·} (t)Ω+ α2 (t) ROP ,k·k (t) + R O0 (t) + α3 (t)R SR (t) dt. (163)0+α1 (t)krA (v, y) k2A−1Веса ошибки [ e ] 2(ν, θ, 1, 2) определены следующим образом:ν = 2 − δ,и θ(t) = 2 −1γ1 (t)−1γ2 (t)1/2̺(x),χ(x) :=Соответствующие параметры δ ∈ (0, 2], γ2 (t) ∈ [1, +∞), γ1 (t) ∈√2 σ(x).12−1/γ2 , +∞). Кроме то-+го, µ+ (x, t) ∈ L̺,[0,1] (QT ), αi (t), i = 1, 2, 3 – положительно определённые вещественнозначныефункции, удовлетворяющие (124).77Доказательство.

Рассмотрим тождество (111) и оценим IA и IF аналогично доказательству Теоремы 2.1. Слагаемое If представляется как сумма трёх интеграловIf =ZT Z0rµf +e dx +Zr1f−µ+e dx +Ω0ΩZr1f−µ+ΩPe dx dt = If, µ+ + If,O10−µ+ + If,O1P−µ+ .(164)Каждое слагаемое в правой части (164) оценивается разными способами. Мы используемнеравенство Гёльдера для оценки If, µ+ . Если условие (157) удовлетворено, слагаемое If,O10−µ+может быть оценено с использованием неравенства (151):If,O10−µ+≤ZT1/R O20 k∇ekA,Ω0 dt.(165)0После представления If,O1P−µ+ в виде суммыOPIf,1− µ+ =X ZZTΩ l ∈ OP Ωl0!o ZnXee dx dt,rf1−µ+r1f−µ+ e dx +ΩlΩ l ∈ OP(166)Ωlгде er1f−µ+ = rf1−µ+ −{|r1f−µ+ |}Ωl . Слагаемые в правой части (166) могут быть оценены следующимобразом:ZT X Z0ZT0Ω l ∈ OP Ωlerf1−µ+ edx dt ≤ZT1/ROP2 ,k·k k∇ekA,ΩP dt ,0ZT XX n 1−µ o Zrf +e dx dt ≤Ω l ∈ OP(167)Ωl0Ωl1|Ωl | / 2PΩ l ∈ OPnr1f−µ+o ̺ e ΩlΩldt ≤ZT0 1/ROP2 ,{·} ̺ eΩ dt.Наконец, используя дискретное неравенство Гёльдера, сумма правых частей в (165) и (167)оценивается какZT01/2R O0 k∇ekA,Ω0 dt +ZT1/2ROP ,k·k k∇ekA,ΩP dt ≤0ZT R O0 + ROP ,k·k01/ 2k∇ekA dt.(168)Учитывая (158) и (153), получаемIF =ZT XZ0 ΓRj ∈ SR ΓRjerF e ds dt ≤ZT01/R SR2 k∇ekA dt .(169)78Применяя неравенство Юнга–Фенхеля, все полученные выше оцениваются какZT0ZT α1 (t)krA k2A−1 +krA kA−1 k∇ekA dt ≤ 211α1 (t)k∇ek2A0ZT ZT 1 µ+ 1 µ+ 21γ1 (t) ̺ rf + ̺ rf k̺ ekΩ dt ≤ 2ΩΩ01γ1 (t)k̺ ek2Ω0ZT0R OP2 ,{·} k̺ eΩ dt ≤1/ZT1/2R SR0ZT 1γ2 (t)R OP ,{·} +21γ2 (t)0ZT α3 (t)R SR (t) +k∇ekA dt ≤ 12(170)dt,(171)dt, 2 ̺ e dt,(172)Ω1k∇ek2Aα3 (t)0(173)dt,иZTR OP , k·k + R O001/ 2ZT α2 (t) R OP , k·k + R O0 +k∇ekA dt ≤121α2 (t)0k∇ek2A dt.Комбинируя (170)–(174), мы получаем (163).(174)Вторая форма мажоранты [ e ] 2(ν,θ,χ,ζ)Рассмотрим структуру второй мажоранты на декомпозированном Ω.

Аналогично рассуждениям, приведённым для первой мажоранты, мы налагаем условия (157) и (158) наэлементы коллекций O0 и SR , а именно для п. в. t ∈ (0, T )nr1f−µ+ (v, y, w)иnoΩ k ∈ O0n2= f − (v + w)t − λ (v − w) − a · ∇(v − w)rF (v, y, w)oΓRj ∈SRno= F − σ 2 (v − w) − y · nΓRj ∈SRoΩ k ∈ O0= 0.=0(175)(176)Комплексы R OP ,{·} (t), R OP ,k·k (t), R O0 (t), RSR (t) определены аналогично тому, как они заданыв (159)–(162).79Теорема 2.6. Допустим, что условия (175) и (176) удовлетворены. Тогда для любыхSRv ∈ Hg1,1 (QT ), w ∈ H01,1 (QT ) и y ∈ Ydiv(QT ) справедлива следующая оценка2[ e ] 2(ν, θ, χ, ζ) ≤ MII,N (v, y, w; δ, ǫ, ρi , αi , µ+ ) := ǫkw(x, T )k2Ω + 2L(v, w) + l(v, w)ZT2γ1 (t) ̺1 rf, µ+ (v, y,w) + γ2 (t)R OP ,{·} (t) + α1 (t)krA (v, y, w) k2A−1+ΩP0+ α2 (t) ROP ,k·k (t) + R O0+ α3 (t)R SR (t) dt, (177)где параметры мажоранты: δ ∈ (0, 2], ǫ ∈ [1, +∞), γ2 (t) ∈ [1, +∞), γ1 (t) ∈12−1/γ2 , +∞).+Кроме того, µ+ (x, t) ∈ L̺,[0,1] (QT ), αi (t), i = 1, 2, 3 – положительно определённые веществен-нозначные функции, удовлетворяющие (124).

Веса ошибки [ e ] 2(ν, θ, χ, ζ) определены следующим образом:ν = 2 − δ,иθ(t) = 2 −1γ1 (t)−1γ2 (t)Кроме того,L(v, w) :=Z 1/2̺(x),χ(x) :=l0 (v, w) :=и2 σ(x),2− f w + vt w + A∇v · ∇w + λ v w + a · ∇w dxdt +QTZ√Zζ = 1 − 1ǫ .(F − σ 2 v) w dsdt, (178)SR|v(x, 0) − ϕ(x)|2 − 2w(x, 0) ϕ(x) − v(0, x) dx.Ω(179)Доказательство. Доказательство аналогично этапам доказательства Теоремы 2.6 (см.также работы Matculevich, Neitaanmaki и Repin [152, 153]).Теорема 2.7. Для параметром, определённых в Теоремах 2.6, точная нижняя границавариационных задач, порождённых мажорантами (163) и (177), а именно,(i)2infM I,N (v, y)v ∈ Hg1,1 (QT )и(ii)w ∈ H01,1 (QT )2MII,N (v, y, w),infv ∈ Vg1,1 (QT )(180)SRy ∈ Ydiv(QT )SRy ∈ Ydiv(QT )достигает нулевого значения тогда и только тогда, когда v = u, y = A∇u и w = 0.Доказательство. (i) Доказательство приведено на примере первой мажоранты,рассуждения(v, y) ∈дляVg1,1 (QT )второй×мажорантыSRYdiv(QT ),строятсяаналогично.минимизирующей функционалСуществованиепары2M I,N (v, y; δ, ρi , αj , µ+ ),мо-жет быть доказано способом, аналогичным тому, что был использован в доказательстве80Теоремы 1.1.

Допустим, что v = u и y = A∇u. Так как div(A∇u) ∈ L2 (QT ), очевидно, чтоSRy ∈ Ydiv(QT ). Используя (103)–(107), приходим кe(x, 0) = (u − v)(x, 0) = u0 (x) − v(x, 0) = 0,rf (u, A∇u) = f − ut − λ2 u − a · ∇u + divA∇u = 0,rA (u, A∇u) = A∇u − A∇u = 0,rF (u, A∇u) = F − σ 2 v − A∇u · n = 0.2Таким образом, мы получаем, что M I,N = 0, и этот минимум достигается на паре, котораяпредставляет собой точное решение (103)–(107).2Допустим теперь, что M I,N = 0. Тогда справедливы следующие соотношения:y = A∇vf − vt − λ2 v − a · ∇v + divy = 0v(·, 0) = u0v=0y · n + σ2v = Fп.в. (x, t) ∈ QT ,(181)п.в. (x, t) ∈ Ωi × (0, T ),Ωi ∈ OΩ ,(182)п.в.

Характеристики

Список файлов диссертации