Диссертация (1149340), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В качественачальной сетки взята T3×3 . Графики подтверждают, что индикатору действительно удаётсясымитировать распределение ошибок и довольно эффективно уловить их локальные скачки.Таблица 1.11 представляет численные данные, подтверждающие эффективность результирующей мажоранты.62−3x 100.0142e 2dm 2d0.0121.5e2d, m2d0.01e 2d, m2de2dm 2d0.0080.0060.00410.50.002005101520252030(а) 2 REF: 32 EL,ed2 = 9.1111e-02, m2d = 9.1577e-01406080100120(б) 3 REF: 128 EL,ed2 = 2.2969e-02, m2d = 2.2999e-02−5−4x 10x 102.5e2dm 2d23.53e2dm 2de2d, m2de2d, m2d2.51.5121.510.50.500100200300400(в) 4 REF: 512 EL,ed2 = 1.4393e-03, m2d = 1.4395e-03500500100015002000(г) 5 REF: 2048 EL,ed2 = 3.5987e-04, m2d = 3.599e-04Рисунок 1.24 – Распределение ed2 и m2d на итерациях #REF = 2, 3, 4, 5.Пример 1.8.
В заключение, рассмотрим задачу, аналогичную Примеру 1.4, с применениемпространственно-временной дискретизации. Конечно-элементные пространства для реконструкции аппроксимаций выбраны следующим образом: v ∈ P1 и y ∈ P2 .Рассмотрим сетки, полученные на шагах уплотнения REF 1, 2, 3 и 4 (см. Рисунки1.25а и 1.25б, 1.25в и 1.25г). Аналогично распределение локальных ошибок и индикаторовпоказано поэлементно, где последние пронумерованы согласно алгоритму, использованному вреализации. Таблица 1.12 предоставляет информацию об индексе эффективности мажорантына каждом шаге уплотнения (REF).63−3−4x 10x 10e2d4MM22e2d, M223e2d, Me2d2.5221.5110.50010ed2203010040(а) 1 REF: 48 EL2= 4.7719e-02, M = 5.6030e-02ed2300(б) 2 REF: 384 EL2= 1.7268e-02, M = 1.9175e-02−6−5x 10x 102200e2dMe2d1.52M21.5e2d, M2e2d, M2110.50.500.5011.52500 1000 1500 2000 2500 30004x 10(в) 3 REF: 3072 EL2ed2 = 8.4558e-03, M = 9.4992e-03(г) 4 REF: 24576 EL2ed2 = 6.1427e-03, M = 6.9789e-03Рисунок 1.25 – Распределение ошибки и мажоранты на шагах уплотнения сетки#REF = 1, 2, 3, 4.Таблица 1.12 – Итоговая ошибка, мажоранта и её индекс эффективности по отношению кшагам адаптации сетки.22# REF# EL1484.7719e-025.6030e-021.0823841.7268e-021.9175e-021.05330728.4558e-039.4992e-031.064245766.1427e-036.9789e-031.0751966085.5479e-036.2617e-031.06[e]MIeff64Глава 2Двусторонние оценки ошибок для параболической задачиреакции-конвекции-диффузии на сложной областиВ данной главе получены двусторонние оценки расстояния до точного решения уравнения реакции-конвекции-диффузии параболического типа со смешанными краевыми условиями Дирихле–Робина.
Раздел 2.1. посвящён выводу двусторонней оценки погрешности приближенного решения при помощи метода интегральных тождеств и глобальных неравенстввложений. Раздел 2.2., в свою очередь, использует идею декомпозиции Ω на совокупностьнепересекающихся выпуклых подобластей. В процессе вывода используются классические и‘граничные’ неравенства Пуанкаре для функций с нулевым средним на границе (или частиграницы) Ω. Точные значения, а также верхние границы соответствующих констант получены в работах Payne и Weinberger [48], Largesse и Sidecar [49], Nazarov и Repin [62], а также вработе Matculevich и Repin [141].
Таким образом, предъявляемые в Разделе 2.2. оценки являются вычисляемыми гарантированными мажорантами отклонения от точного решения, которые содержат исключительно локальные характеристики подобластей. Более того, Раздел2.3. посвящён доказательству эквивалентности первой и второй формы мажорант (полученных для ‘разбитой’ области) и прямой, и комбинированной норм отклонений, соответственно.Наконец, в Разделе 2.4.
выводится верхняя оценка погрешности, использующая максимальнорасширенное разрывное поле флаксов и локальные константы в неравенствах Пуанкаре.2.1.Двусторонние оценки ошибок, основанные на глобальных константахРассмотрим эволюционное уравнение реакции-конвекции-диффузии, отличающееся от(26)–(30) ненулевыми краевыми условиями: найти u = u(x, t) и p = p(x, t), удовлетворяющиесистемеut − divp + a · ∇u + λ2 u = fв QT ,(103)p = A∇u в QT ,(104)в Ω,(105)u= gна SD ,(106)p · n + σ2u = Fна SR .(107)u(·, 0) = u065Обобщённая постановка задачи (103)–(107) имеет соответствующую форму: найтиu ∈ Hg1,1 (QT ), удовлетворяющее интегральному тождествуZZZZ A∇u · ∇η dxdt + λ2 uη dxdtuηt dxdt +u(x, T )η(x, T ) − u(x, 0)η(x, 0) dx −ΩZ+a · ∇uη dxdt +ZQTσ 2 uη dsdt =QTf η dxdt +ZQTF η dsdt,∀η ∈ H01,1 (QT ). (108)SRQTSRQTZОпираясь на результат, приведённый во Введении, решение обобщённой задачи (108) существует и единственно в Hg1,1 (QT ), если в дополнении к (31), (32) и (33)–(35) удовлетвореноусловиеg(x, t) ∈ L2 0, T ; H 1 (ΓD )и F (x, t) ∈ L2 0, T ; H 1 (ΓR ) .Данная глава представляет две формы гарантированных функциональных оценок погрешности e = u − v, измеренной в норме[ e ] 2(ν,θ,χ,ζ):=ZT0ν k ∇e k2A + k θ(̺) e k2Ω + k χ e k2ΓR dt + ζ k e(·, T ) k2Ω ,(109)где u является точным решением начально-краевой задачи (108), а v – её аппроксимацией,принадлежащей корректному функциональному пространству, а именно v ∈ Hg1,1 (QT ).
Крометого, ν и ζ – некоторые положительные величины, θ(̺) и χ(σ, κ) – положительные весовыефункции, зависящие от̺20 ≤ ̺2 := λ2 − 12 div a ≤ ̺(λ, a),(110)с функциями a и λ, удовлетворяющими условию (33)–(34), также от σ и κ (определённых в(35) и (36)).Первая форма мажоранты [ e ] 2(ν,θ,χ,ζ)Аналогично рассуждениям в Разделе 1.1., начальным шагом вывода верхней оценкипогрешности, измеренной в норме (109), является перегруппировка (108):Z2 2A ∇e · ∇e + (a · ∇e) e dxdt + λ eQT=ZQT2dxdt +Zσ 2 e2 dsdt +12k e(·, T ) k2ΩSR(f − vt − λ v − a · ∇v) e − A∇v · ∇e dxdt +ZSR(F − σ 2 v) e dsdt.
(111)66Заметим, что согласно теореме Остроградского, справедливоZ2diva e dxdt = −QTоткуда следуетZ2a · ∇(e ) dxdt +ZQTSRZ12(a · ∇e) e dxdt =2a · n e dsdt = −2e (a · ∇e) dxdt +QTZ2κ e dsdt −ZQTSRQTZZκ e2 dsdt,SRdiva e dxdt .2(112)Таким образом, подставляя (112) в (111), мы получаем[ e ] 2(1,1,√σ2 +κ/ ,1/ )22=:=ZZT 01/ 2dt +k ∇e k2A + k ̺ ek2Ω + σ 2 + κ2 2 e ΓR2(f − vt − λ v − a · ∇v) e − A∇v · ∇e dxdt +QTZ12k e(·, T ) k2Ω(F − σ 2 v) e dsdt.
(113)SRДалее преобразуем правую часть (113) при помощи введения вспомогательной векторфункцииy∈SR(QT )Ydiv:=n o22y ∈ L 0, T ; L Ω, Rdivy ∈ L QT , y · n ∈ L SR ,22dудовлетворяющей тождествуZdivy e + y · ∇ e dxdt =QTZy · n e dsdt.(114)SRФункция y может быть восстановлена из A∇v, к примеру, при помощи процедуры постSRобработки или проектирования A∇v на Ydiv(QT ). Используя свойство (114), тождество (113)можно представить как[ e ] 2(1,1,√σ2 +κ/ ,1/ )22=Z(rf (v, y) e + rA (v, y) · ∇e) dxdt +QTZrF (v, y) e dsdt,(115)SRгде rf (v, y), rA (v, y) и rF (v, y) - невязки уравнений (103), (104) и (107):rf (v, y) := f − vt − λ2 v − a · ∇v + div y,(116)rA (v, y) := y − A∇v,(117)rF (v, y) := F − σ 2 v − y · n.(118)67Более того, взвешенные невязки (116) и (118) представлены следующим образом:r1f−µ (v, y) := (1 − µ) rf ,r1−η (v, y) := (1 − η) r .rµf (v, y) := µ rf ,rηF (v, y) := η rF ,(119)(120)FFЗдесь µ(x,t) и η(x,t) – вещественнозначные функции, принимающие значения в пределах интервала [0, 1], а именно µ, η ∈ L∞[0,1] (QT ) (см.
(1.1)). Аналогично предыдущей главе, функцииµ(x,t) и η(x,t) использованы для того, чтобы разделить невязки, содержащие ̺ и κ, на дваинтеграла. Таким образом, получаемая в результате оценка становится более устойчивой кслучаям сильных изменений в ̺ и κ на разных частях области Ω или части границы SR .Примеры, подтверждающие эти свойства мажоранты, представлены в Разделе 1.3. и работе+Matculevich и Repin [140].
В дополнение, определим два множества Ω̺,+ и Γκ,R , на которыхсоответственно ̺ и κ отличны от нуля, а именно, для п. в. t ∈ (0, T )+Ω̺,+ := {x ∈ Ω | ̺(x) 6= 0} и Γκ,R := {x ∈ ΓR | κ(x) 6= 0}.Теорема 2.1 демонстрирует, что определённым образом взвешенная комбинация норм невязок(116)–(119) контролирует расстояние между u и v.SRТеорема 2.1. Для любых v ∈ Hg1,1 (QT ) и y ∈ Ydiv(QT ) справедлива оценка[ e ] 2(ν, θ, χ, 1)≤2MI (v, y; δ, γi , αi , µ+ , η+ ):=k e(·, 0) k2Ω+ZT 0+ α1 k rA k2A−1 + α2где параметры мажоранты δ ∈ (0, 2], γ1 ∈12 1−µ+ 2r f ̺,+ + α3ΩΓRΩe2CTrΓνARk r1F−η+ k2Γκ,+ dt, (121)R, +∞) и γ2 ∈ 1, +∞). Кроме того,̺,+µ(x, t) ∈ L∞[0,1] (QT ) | µ(x) ≡ 0 на Ω\Ω , п. в. t ∈ (0, T ) , (122)κ,++(123)η+ (s, t) ∈ Lκ,η(s, t) ∈ L∞[0,1] (QT ) | η(s) ≡ 0 на ΓR \ΓR , п. в. t ∈ (0, T )[0,1] (QT ) :=+µ+ (x, t) ∈ L̺,[0,1] (QT ) :=2CFΩνA 1 µ+ 2 √1 η+ 2γ 1 ̺ rf + γ2 κ rF κ,+̺,+и αi (t), i = 1, 2, 3 – положительно определённые вещественнозначные функции, удовлетворяющие тождеству3X1αi (t)(124)= δ.i=1Здесь параметры в [ e ] 2(ν, θ, χ, 1) определены следующим образом:ν = 2 − δ,θ(t) = 2 −1γ1 (t)1/2̺(x),иχ(x, t) := 2σ 2 (x) + κ(x)(1 −1)γ2 (t)1/2.eTrΓ = CTrΓ (1 + CFΩ ) включает константу Фридрихса (10) и константу вКонстанта CRRнеравенстве о следах (21).68Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
