Диссертация (1149277), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В общем случае, при увеличении параметра 0 рассматриваемаяфункция убывает, вследствие убывания 0 (0, 0 ) (см. [9], стр. 706):κ1 1 [sin (0) + 0 [1 − (0)′ (0)] /(0)]−1/20 (0, 0 ) =√︀1/2κ2 sin (0)20 1/2 (0)(2.18)Из формулы (2.18) следует, что энергия волны Булдырева убывает обратно пропорционально 0 при 0 → ∞. Однако выполняя предельный переход → ∞34в формулах (2.17) и (2.18) приходим к выводу о том, что амплитуда головнойволны интерференционного типа возникающей в задаче рассеяния волн точечного источника границей раздела двух полуплоскостей в главном приближениипри → ∞ остается постоянной при 0 → ∞.
Постоянство амплитуды волныБулдырева при удалении точечного источника от границы сред на первыйвзгляд противоречит соображениям локальности, так как квадрат амплитудыволны распространяющейся в пограничном слое кривой в области Ω2 , порождающей волну Булдырева в области Ω1 прямо пропорционален энергии частиволны точечного источника приходящей в точку . В следующей главе, пользуясь энергетическими соображениями будет дано объяснение на первый взглядпарадоксальных следствий формулы (2.17).2.3. Вывод коротковолновой асимптотики волныБулдырева комбинированным методом ФилипповаВ этом параграфе предлагается метод нахождения асимптотики волныБулдырева при → ∞ в условиях эталонной задачи изложенной в параграфе1.3. Начнем с поиска асимптотики отраженной волны 2 (см.
формулу (1.17)).Утверждение 1. Интегральное представление поля 2 (1.17) можнопреобразовать к виду:2 (, ) = −2Z√[01−2 −](, ),(2.19)Γгде Γ - контур, изображенный на рис. 2.2, Γ = − ∪ − ∪ + ∪ + , функция(, ) определяется равенством:35(, ) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩1(2 2 ) 3 ′(︃(︁2(︃(︁2)︁ 23)︃(2−1 −2 )√)︃)︁ 23(︃(︁)︁ 23)︃ , ∈ − ,(2 −1 ) + 1−2 (2 −1 )2(︃)︃(︁ )︁ 232(2 −1 −2 )2(︃)︃)︃ , ∈ − ,(︃22(︁)︁(︁)︁√133(2 −1 ) + 1−2 2(2 −1 )(2 2 ) 3 2′22(︃)︃(︁ )︁ 232( −1 −2 )2)︃(︃)︃ , ∈ + ,(︃(︁ )︁ 2(︁ )︁ 2√1332 − ) +22 − )(2 2 ) 3 ′(1−(1122(︃)︃2(︁ )︁3(2 −1 −2 )2(︃)︃(︃)︃ −(︁ )︁ 2(︁ )︁ 2√133(2 2 ) 3 ′(2 −1 ) + 1−2 (2 −1 )22(︃)︃(︁ )︁ 232(2 −1 −2 )2)︃(︃)︃ , ∈ + ,(︃(︁ )︁ 2(︁ )︁ 2√133(2 2 ) 3 2′(2 −1 ) + 1−2 2(2 −1 )2(2.20)2)︂2/3(︀ 2)︀ − 1 .() =2Здесь контур − представляет собой параболу, заданную уравнением(︂Im = 0 ( +(︁где 0 = − 23)︁√1 ) Re ,.
Контур − проходит через точку , определенную выражением: = − √︀( + 0 )2 + 2,(2.21)√а + совпадает с отрезком [− 1 , 0]. Контур + = { ∈ C : Im = 0, Re ∈(︁ 2 )︁−(0, ∞)}. Кроме того, для любого ∈ , | Im | = − 3 + .Ветвь корня в выражении (2.20) выбрана таким образом, что√︀1 − 2 > 0, −1 < < 1,причем разрезы в плоскости комплексного переменного представляют собойполупрямые (см.
рис. 2.2):{ ∈ C : Re = −1, Im ≤ 0},{ ∈ C : Re = 1, Im ≥ 0}.36Доказательство.PrDP4Рис. 2.2. Контур Γ и его части − , − , + , + .Для доказательства утверждения 1 покажем, что − в интеграле (2.19)√можно продеформировать в контур, представляющий собой отрезок – [− 1 , 0].Обозначим через – область охватываемую контурами + и − (см. рис. 2.2).Осуществим аналитическое продолжение (, ) как функции комплексной переменной при фиксированном значении в область , используя формулу(2.20), определяющую эту функцию на контуре − . Определенная таким образом функция мероморфна в по переменной , поэтому, доказав, что онане имеет в этой области полюсов, мы докажем правомерность указанной вышедеформации.Введем обозначения:(︃(︂ )︂)︃)︃(︃(︂ )︂2/32/3√︀(︀)︀(︀)︀1 2 − 1+ 1 − 2 2 − 1 ,1 () = (2 2 ) 3 ′2212 () = (2 2 ) 3 2′(︃(︂2)︂2/3)︃(︀ 2 − 1)︀(︃(︂ )︂)︃2/3√︀(︀)︀+ 1 − 2 2 2 − 1 .237̃︀− произвольная деформация контура − в области , тогдаПусть ∈ ̃︀− , где (︂(︁ )︁)︂2/3 (︀)︀22 − 1 − 2 2(, ) =.(2.22)2 ()Рассмотрим знаменатель в формуле (2.22).
Функция 2 () не имеет нулей вобласти . Это утверждение следует из доказанной ниже леммы.Лемма 1. Функция12 () = (2 2 ) 3 2′(︃(︂2)︂2/3)︃(︀ 2 − 1)︀+ √︀(︃(︂1 − 2 22)︂2/3)︃(︀ 2 − 1)︀не имеет нулей в областях и , где - область комплексной плоскостиохватывемая контурами + и − (см. рис. 2.2), = { ∈ C : ∈ }, причемчертой над функциями и переменными обозначается операция комплексногосопряжения.Доказательство.Доказательство леммы будем проводить в два этапа.
Вначале докажем отсутствие нулей рассматриваемой функции в области , затем в области .1. Предположим, что существует точка ∈ , такая, что 2 () = 0.Рассмотрим (, ):⎧√ 2⎪⎨ () · 1− , < 0,(︂(︁ )︁ 2)︂ (, ) =3⎪(2 − 1 − 2 ) ,⎩ () · 22Тогда⎧⎨ + 2 · (1 − 2 ) = 0, < 0,⎩ + 2 · (1 + 2 − 2 ) = 0, > 0. > 0.(2.23)2 () = 0 ⇔ ∃ (), (), |()|2 + |()|2 ̸= 0 : [ ] |=0 = [ ] |=0 = 0. (2.24)Пользуясь (2.24) выберем () и () таким образом, чтобы функции (, ) и (, ) были непрерывны по переменной в точке = 0.38√︀(︀)︀При ∈ arg (1 − 2 ) ∈ − 4 , 0 , следовательно, Re( · 1 − 2 ) > 0, изначит√2 1− → 0, → −∞.(︀)︀Аналогично, arg 2 ∈ 0, 2 , следовательно, Im(2 − 1 − 2 ) > 0 и Re(2 − 1 −2 ) → −∞ при → ∞, поэтому (см. [5]):)︃(︃(︂ )︂ 23(2 − 1 − 2 ) → 0,22 → ∞.Умножим (2.23) на комплексно сопряженную функцию и проинтегрируем по.
Тогда выполняя интегрирование по частям и пользуясь свойствами при → ±∞ имеем:∞Z−′ 2∞Z| | +−∞Z0[︀]︀ 2 1 + 2 − 2 | |2 +(︀)︀ 2 1 − 2 | |2 = 0. (2.25)−∞0Мнимая часть 2 положительна, следовательно равенство (2.25) не может бытьвыполнено. Приходим к противоречию.2. Пусть ∈ , 2 () = 0.Рассмотрим (, ):⎧√ 2⎪̃︀− ,⎨ () · 1− , ∈ (︂(︁ )︁ 2)︂ (, ) =3⎪(2 − 1 − 2 ) ,⎩ () · 22̃︀+ ,∈где{︂}︂2̃︀− = ∈ C : = · , > 0, Φ =,3{︂}︂5Φ̃︀+ = ∈ C : = · , > 0, Φ =.3̃︀ = ̃︀− ∪ ̃︀+ (см. рис. 2.3). Определенная таким образом функцияОбозначим Φ (, ) удовлетворяет следующей системе равенств:⎧⎨ + 2 · (1 − 2 ) = 0, ∈ ̃︀−⎩ + 2 · (1 + 2 − 2 ) = 0, ∈ ̃︀+ .(2.26)39̃︀ = ̃︀− ∪ ̃︀+ .Рис. 2.3. Изображение контура 2 () = 0 ⇔ ∃ (), (), |()|2 + |()|2 ̸= 0 : [ ] |=0 = [ ] |=0 = 0.
(2.27)Как и в первой части доказательства, пользуясь (2.27), найдём () и () такие,что соответствующие функции (, ) и (, ) непрерывны по переменной в точке = 0.√︀̃︀− , поэтомуRe( · 1 − 2 · ) < 0 при ∈ и ∈ √1−2 → 0,|| → ∞,Аналогично (см. [5])(︃(︂ )︂ 2)︃32(2 − 1 − 2 ) → 0,2̃︀− .∈|| → ∞,̃︀+ .∈̃︀ = ̃︀− ∪ ̃︀+ . В силуУмножим (2.26) на и проинтегрируем по контуру ̃︀ верны следующие равенствааналитических свойств функции () на контуре (︂ )︂(︂ )︂2 ̃︀===· 3 , ∈ , 40таким образом, выполняя интегрирование по частям имеем:ZZZ(︀ 2)︀[︀ 2]︀2′ 2 222| | 3 + − 1 | | + − (1 + 2 ) | |2 = 0. (2.28)̃︀̃︀ −̃︀ +Сделаем замену переменных = 23∞Z53:2Z0| ′ (, ())| + 2−∞(︀)︀2 − 1 | (, ())|2 −∞∞Z[︀ 2]︀ − (1 + 2 ) | (, ())|2 = 0.+ 2(2.29)0Вещественная часть первого слагаемого в (2.29) отрицательна.
При ∈ Re(2 − 1) < 0, следовательно вещественная часть второго интеграла такжеотрицательна. Кроме того, arg (−2 ()) =23 ,при ∈ (0, ∞) и Re(2 − 1 ) < 0,при ∈ откуда следует отрицательность третьего слагаемого в (2.29). Приходим к выводу, о том, что равенство (2.29), а вместе с ним и условие существования нулей функции 2 (), не могут быть выполнены. Лемма 1 доказана.Лемма 1 обосновывает правомерность стягивания контура − в контур√√[− 1 , 0].
Для доказательства правомерности деформации контура [−∞, − 1 ]в контур − достаточно показать, что знаменатель подынтегрального выражения 1 () не имеет нулей в охватываемой в результате такой деформации области. В работе [17] доказывается отсутствие нулей функции 1 () в и квадрантах плоскости комплексного переменного , что дает возможность деформации участков рассматриваемого контура в верхнюю полуплоскость. Аналогично доказывается, что 1 () не имеет нулей в области охватываемой при√деформации [−∞, − 1 ] в нижнюю полуплоскость. Утверждение 1 доказано.Рассмотрим части интеграла в формуле (2.19), соответствующие интегрированию по каждому из вышеупомянутых участков контура Γ. Пусть и положительные постоянные, причем:20<< ,30 < < 1.41√Обозначим - окрестность точки = − 1 , радиус которой имеет порядок(︁ 2 )︁(︀)︀ − 3 + и 0 - окрестность точки = 0 с радиусом 0 = − .Пользуясь асимптотиками функций Эйри (1.19) – (1.21), при интегрировании по контуру − соответствующее подынтегральное выражение заменим наего асимптотическое приближение в главном порядке, при → ∞.
ПоложимIm 2 = − − , – положительная постоянная. Величина определяет интенсивность поглощения в области Ω2 . Убывание подынтегрального выраженияна концах конутра − позволит вычислить соответствующий интеграл в главном приближении, при → ∞ с помощью метода перевала. При этом, перевальная точка определяется формулой (2.21). Поскольку целью настоящей работыявляется выделение головной волны интерференционного типа, выкладки длянахождения асимптотики поля отраженной волны опускаются.Исследуем поведение функции (, ) на участке контура − , заключенном между точками 3 и 4 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
