Диссертация (1149277), страница 6
Текст из файла (страница 6)
рис. 2.2). Здесь (, ) имеет порядок1 3 −| Im | , поэтому интегрирование по этой части контура − вклада в главноеприближение (, ) при → ∞ не дает.Рассмотрим окрестность 0 точки = 0 радиуса 0 (см. рис. 2.2). В работе [17] было доказано отсутствие нулей у функции 1 () в II и IV квадрантах плоскости комплексного переменного . Пользуясь этим, продеформируем контур + в ˜+ = { ∈ C : Re = 0, Im ∈ [−0 , 0]} ∪ { ∈ C :Im = −0 , Re ∈ [0, ∞)} (см. рис. 2.4).
Малость −| Im | при Im ∼ −0позволяет, не изменяя значение интеграла в (2.19) в главном порядке при → ∞, продлить контур − , добавив участок, соединяющий точки 4 и5 . В результате в окрестности точки = 0 контуры интегрирования будутиметь структуру, изображенную на рис. 2.4. Аналитические свойства функций1 () и 2 () позволяют стянуть получившийся участок контура − в отрезок{ ∈ C : Re = 0, Im ∈ [−0 , 0]}. Объединим части интегралов по контурам − и + в один, проходящий по выше упомянутому отрезку мнимой оси.Полученный интеграл объединим с интегралом по контуру + . Положитель42ность параметра (см. (1.12)) обеспечивает малость при → ∞ полученнойчасти интеграла по участку контура + , заключенному между точками 2 и5 . Функция − обеспечивает малость при → ∞ интеграла по контуру +на участке { ∈ C : Im = −0 , Re ∈ [0, ∞)}.Рис. 2.4.
Деформация контура Γ в окрестности точки = 0.Таким образом, интересующая нас волна описывается частью интеграла(2.19) соответствующей интегрированию по контуру Γ ∩ (см. рис. 2.2).Сделаем замену переменных в формуле (2.19):(︂ = −2)︂− 32√1√ − 1 , =2 1(︂2)︂ 23√√(−2 1 ( + 1 )) .(2.30)Учитывая√2, 0<< ,3√√√√√2 − 1 = ( − 1 )( + 1 ) = −2 1 ( + 1 ) + ( + 1 )2 ,+(︁1 = − 23 +)︁и разлагая подынтегральную функцию в ряд по степеням ( +√1 ) имеем при → ∞:−2Z√Γ∩[01−2 −](, ) =2 (, )(︁(︁)︁)︁2− 431+ ,432 (, )= 0 √√ [0 1−1 + 1 ]Z˜ ), (,(2.31)Γ̃[︂=]︂ 13 (︂11 2=−,02 [︂]︂ 110 3,2 () =, 0 = − √()2 1 0 21 00 20√ −√11 − 1)︂,(2.32)где 0 = 22 , 2 () – скорость распространения волн в нижней полуплоскости,√() = 1 + 2 – волновое число в нижней полуплоскости.
Контур Γ̃ изображен на рис. 2.5.Imarg = 2 /3arg = /3~Γ+~Γ+~~1OΓ0~O1Γ0Re~Γarg = 4 /3Рис. 2.5. Изображение контура Γ̃ = Γ̃0 ∪ Γ̃− ∪ Γ̃+ .˜ ) в (2.31) определяется следующей формулой:Функция (,⎧(︁)︁12 3−()⎪2⎪⎪, ∈ Γ̃0 ,√1⎪⎪ 1−(︁1 ()+(2 2)︁) 3 ′ ()⎪(︁)︁⎨11 −(2 2 ) 3 2 −(2 2 ) 3 ˜ ) =(,− √, ∈ Γ̃− ,√11⎪ 1−1(︁()+(2 2 ) 3)︁ ′ () 1−1 2 ()+(2 2 ) 3 2′ ()⎪1⎪⎪2 −(2 2 ) 3 ⎪⎪⎩ √, ∈ Γ̃+ .1′2 1−1 2 ()+(2 ) 3 2 ()Введем обозначения: () = () + ℎ ′ (),1 () = 1 () + ℎ1′ (),2 () = 2 () + ℎ2′ (),4413ℎ = 1√ 2. 3 1 − 1(2.33)Утверждение 2. Контур интегрирования Γ̃ можно деформировать, перемещая точку пересечения контуров Γ̃− , Γ̃+ и Γ̃0 вдоль полупрямой { =3 },при этом интеграл в (2.31) менять своего значения не будет (см. рис. 2.5).При передвижении “узловой” точки 1 вдоль полупрямой { = 3 } инте˜ и Γ̃˜ (см. рис.
2.5) стремятся к нулю. Исходя из этогогралы по контурам Γ̃0+приходим к следующему выражению для 2 :2 (, )√√ [0 1−1 + 1 ]Z (, ),= 0 (2.34)где(︁)︁)︁ ⎤⎡ (︁2 312 13 − (2 ) 2 − (2 ) ⎦,(, ) = ⎣− ()2 (){︀}︀ = ∈ C : = ± 3 , > 0 ,[︂]︂− 21 0 310 = −.√ √4 2 1 1 − 11Обозначим = −(2 2 ) 3 . Предположим = (1) и зададимся целым положительным числом , удовлетворяющим неравенствам (вывод неравенстваопределяющего число представлен в главе 3):√2 Δ(︂02)︂где Δ, – константы, 0 < Δ < 1,√(︂0≤ < 2 Δ( + 1)2130<<112)︂,(2.35)(см.
[19]).Пользуясь тождеством (1.18) и]︂[︂]︂−1 [︂∑︁1()1()11= −22−1 ()+, ()()()()22=0(2.36)45Imarg = /3L+L1aL0Lnn-1n+10-dReLРис. 2.6. Деформация контура в контур = − ∪ 0 ∪ 1 ∪ + . В качестве { , ∈ N}обозначены корни функции ().представим интеграл в (2.34) в виде суммы + 1 слагаемых. В работе [17]показано, что интегрирование первых слагаемых приводит к выражениям,описывающим волны шепчущей галереи. Рассмотрим интеграл от остаточногочлена в (2.36): (, ) = 0 √Z1 ̃︁ (0 ) [︂ 1 () ]︂ (, ), ()2 ()2 ()(2.37)где (, ) = ( + )2 () − ()2 ( + ),̃︁ (0 ) = √1−1 0.Мы увидим, что именно функция (, ) описывает распространение волны, порождающей в полуплоскости Ω1 головную волну Булдырева.Замечание 1.
Сравнивая полученное выражение (2.37) с формулой(A.5.20) в статье В. Б. Филиппова [19], приходим к выводу, что структуры46этих формул идентичны, это объясняется тем, что природа рассматриваемых волновых процессов одинакова, головная волна Булдырева возникает врезультате интерференции лучей в области Ω1 , порожденных волнами шепчущей галереи из полуплоскости Ω2 . Различия в некоторых коэффициентахобъясняются тем, что задача рассмотренная в [19] отличается от рассматриваемой в данной статье. К примеру скорость распространения волн в области Ω2 в [19] предполагается постоянной, у нас – функцией зависящей отпеременной .
Кроме того в [19] граница раздела имеет ненулевую кривизну,у нас же поверхность раздела плоская.Для нахождения коротковолновой асимптотики интеграла (2.37) при →∞ воспользуемся комбинированным методом В. Б. Филиппова, предложеннымв работе [19]. Продеформируем контур интегрирования в (2.37) так, как этопоказано на рис. 2.6. Количество пересеченных в результате такой деформации полюсов зависит от параметра > 0, который будет определен далее. Врезультате приходим к формуле = √1 [︃ ∑︁]︃(, ) + (, ) ,(2.38)=1где(, )= −20 [︂˜ (0 ) 1 ( ) (, )2 ( )]︂называются нормальными модами иZ˜ (0 ) [︂ 1 () ]︂(,)(, ) = 0 , ()2 ()2 ()(2.39)(2.40){ }=∞=0 – нули функции ().
Пользуясь принципом аргумента и разлагаяфункцию () в ряд Тейлора в окрестности нулей функции Эйри () имеем:1 = (0) + − 31(︁ 2 )︁23√+ − 3 .1 − 1Из последней формулы и определения (см. (2.32)) следует, что с увеличением, нормальные моды (2.39) убывают как − , где > 0, – константа.47Фиксируем константу > 0 (см. рис. 2.6), и введем параметр > 0 следующим образом:√= (2 + 1).4 ( + 1)(2.41)В силу определения параметра имеет место двойное неравенство:[︂]︂2[︁ ]︁2.<<2( + 1)2(2.42)Рассмотрим подынтегральное выражение в (2.40) как функцию (), заданную на горизонтальном контуре 1 :˜ () = (, ) (0 ) ()2 ()[︂1 ()2 ()]︂, ∈ 1 .(2.43)Утверждение 3.
Абсолютное значение функции () при ∈ 1 оцениваетсяследующим образом:√−(−2 )| ()| < ,(2.44)где – положительная не зависящая от постоянная.Доказательство.Пусть положительная постоянная, обозначим за участок контура 1 : = { ∈ 1 : R < −} .Зададимся константой , 0 < < 1, и выберем достаточно большим,чтобы при ∈ выполнялись равенства1,2 (−) = − 41(︁ 3)︁± 32 2 + 4[1 + 1,2 ()] ,(︂)︂2 3 (−) = sin2 +[1 + 3 ()]34(︂)︂2 3 5 −7− 4 cos2 +[1 + 4 ()] ,4834− 41(2.45)(2.46)где 1 , 2 , 3 , 4 – функции, абсолютные значения которых не превосходят .48Пользуясь (1.18), (2.45) и (2.46) имеем при ∈ :12| (, )| < √ , | ()2 ()| > √ ,⃒[︂⃒⃒ () ]︂ ⃒√⃒⃒12 ,⃒⃒ < 3 · ⃒ 2 () ⃒где 1 , 2 , 3 – положительные постоянные. Подставляя полученные вышеоценки в (2.43), приходим к заключению, что| ()| < · √−(−2 ), ∈ ,где – положительная постоянная.̃︀1 > 0,В силу независимости параметра от , существуют константы ̃︀2 > 0, такие, что на множестве 1 ∖ = { ∈ 1 : R > } выполняютсянеравенства:⃒⃒⃒ 1 () ⃒̃︀̃︀⃒⃒⃒ 2 () ⃒ < 1 , | () · 2 ()| > 2 ,и так как в силу (2.35) имеет место оценка: ∼ ()− ,абсолютное значение функции () на множестве 1 ∖ можно оценить следующим образом:̃︀4 · −(−̃︀5 ()− ) ,| ()| < следовательно оценка (2.44) заведомо выполнена.
Утверждение 3 доказано.Пользуясь асимптотическими формулами для функций Эйри (1.19) и(1.20) получаем оценки при || → ∞, ∈ + и ∈ − :| ()| < 1 · −( −2 ()−), ∈ + ,(2.47)32−( 23 (|| −| )|| ()| < 3 · , ∈ − ,(2.48)49где 1 , 2 и 3 – не зависящие от параметра константы.Учитывая (2.44), (2.47) и (2.48), приходим к выводу, что главный член(, ) при → ∞ дается интегрироасимптотического разложения функции ванием в (2.40) по вертикальному участку контура , который мы обозначили0 (см. рис.
2.6). Пусть = −. Пользуясь еще раз асимптотическими формулами для функций Эйри (1.19) и (1.20), оставляя в (2.40) только главныечлены при → ∞, приходим к выражению:∞Z20{,}(, ) = √ ()̃︀(0 )Ψ (,) −∞( −√−[2√− ]− − +√√ , )− + (2.49)где√ () = sin ,̃︀(0 ) = −√1−1 0,11232 3 Ψ (, ) = − + 2 + √ − 3 , = 2 + .341 − 1(2.50)Ниже мы покажем, что в силу (2.42), интеграл (2.49) сходится абсолютно.√Кроме того, из (2.41) следует, что 2 − имеет порядок −(0 ) , поэтомуглавный вклад при → ∞ вносит интегрирование по окрестности точки = 0.Для исследования полученной формулы (2.49) представим рассматриваемый интеграл в виде суммы двух, соответствующих интегрированию по { : > 0} и { : < 0}.
Подынтегральное выражение в интеграле по положительной полуоси можно представить в следующем виде:√−[2( +1)2( −√− ])−1,(2.51)а в интеграле по отрицательной полуоси в виде:[−2√]1 − −2( −√).(2.52)Из (2.42), (2.51) и (2.52) следует сходимость интегралов по положительной иотрицательной полуосям.50Из структуры функции Ψ (, ) видно, что множитель Ψ (,) обеспечивает экспоненциальное убывание выражения (2.49) при удалении от источникаизлучения волн. Делая замены переменных = √−2 и=√2 в областях{ : > 0} и { : < 0} соответственно получаем окончательное выражение{,}для коротковолновой асимптотики волны {,}:(, ) =[︁]︁1Ψ (,)Ψ +1 (,)̃︀0 () (0 ) Φ(1 − , 2 ) − Φ(, 2 ) ,гдеZ1Φ(, ) =−1,1 − 20спецфункция В.
Б. Филиппова (см. [19]), = + 1 −√2 .Методы, используемые выше для выделения волны , порождающей головную волну Булдырева, могут быть применены, для нахождения коротковолновой асимптотики самой головной волны интерференционного типа, распространяющейся в полуплоскости Ω1 . Повторив проделанные выкладки с функцией (, ) (см. формулу (1.22)) получаем аналог формулы (2.40):̃︀(, ) = ̃︀0 (+0 )гдеZ̃︀̃︀ (̃︀) =√1−1̃︀ (̃︀),[︂]︂11 (), ()2 () 2 ()(2.53)(2.54)12,̃︀0 =√4 1 (1 − 1 )[︂]︂ 1 (︂)︂1 0 3 + 0̃︀ =.√ −√0 211 − 1Сделаем замену переменной интегрирования ̃︀ = + ℎ в формуле (2.54), где ℎопределяется выражением (2.33) и оставим только главные члены при → ∞.511/31/3̃︀ (̃︀Тогда ) в (2.54) с точностью до −̃︀2 /(√1−1 )в главном приближениисовпадает с функцией (̃︀), которая определяется формулой:Z[︃̃︀ (̃︀) =̃︀̃︀11 ()̃︀ 2 ()̃︀ 2 ()̃︀()]︃̃︀.(2.55)̃︀ ̃︀ получается из контура параллельным смещением всех точек внизКонтур вдоль мнимой оси на величину123.1√ 3 1 − 1Функция (̃︀) в (2.55) получена В.С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
