Диссертация (1149277), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для простоты будем считать, что функции κ1 , κ2 тождественноравны единице. Обозначим - угол скольжения на лучей волны созданнойточечным источником излучения. В силу неравенства (1.5) существует уголскольжения = 0 (см. рис. 1.2), такой, что лучи с < 0 испытывают полноевнутреннее отражение от границы , а с > 0 преломляются в область Ω2 .Угол 0 назовём предельным углом полного внутреннего отражения. В силузакона Снеллиуса этот угол равен 0 = arccos 21 .Рассмотрим точку (см. рис. 1.2), достаточно удаленную от точечного источника, но расположенную вблизи границы раздела в нижней полуплоскости.В эту точку волна попадает двумя путями, соответственно лучам 0 и 0 .Луч 0 падает на границу под углом меньшим, чем угол полного внутреннегоотражения и, полностью отражаясь, создает в нижней среде экспоненциальнозатухающую при углублении волну.
Луч 0 испытывает обычное преломление, и в виде своего продолжения в нижней среде попадает в точку . Чемближе луч 0 к пунктирной линии 0 , которая соответствует предельному10лучу полного внутреннего отражения, тем ближе к границе прилегает егопреломлённая часть . Волна, которая представляется лучом , порождает в области Ω1 классическую головную волну. Она распространяется вдольграницы со скоростью 2 , создавая на ней возмущение и дает начало новойволне в верхней полуплоскости.
Часть точного решения рассматриваемой задачи, соответствующая классической головной волне, можно представить в видеформулы (см. [8], (30.14)): = −8 cos 0(0 +)+2 1 ,√3/2 sin2 (20 ) − 0 1(1.7)где , 0 и 1 – длины отрезков , 0 и соответственно (см. рис. 1.3).Выражение (0 +)+2 1 можно трактовать как набег фазы по лучу 0 ,соединяющему точечный источник волн с точкой наблюдения. Этот луч состоит из отрезков 0 и , по которым волны распространяется в верхней средепод углом 0 к границе раздела сред, и отрезка 1 , по которому волна распространяется вдоль границы со скоростью, равной скорости в нижней среде.
Набольших расстояниях от источника излучения, когда ≫ 0 , имеем, 1 ≈ −0 ,поэтому из (1.7) следует, что амплитуда классической головной волны убываетс расстоянием как1(−0 )2 .Как видно из формулы (1.7) волновой фронт классической головной волныпредставляет собой прямолинейный отрезок, ортогональный отражению предельного луча полного внутреннего отражения (изображен пунктиром на рис.1.3) и описывается уравнением:(0 + ) + 2 1 = .(1.8)В случае импульсного излучения классическая головная волна приходит вточку наблюдения первой (см. [8]). Как утверждается в [8] на ее регистрации ианализе основаны эффективные методы сейсмической разведки и рассматриваемую волну называют головной волной.
Классическая головная волна структурно неустойчива. При сколь угодно малом искривлении прямолинейной границы11Рис. 1.3. К формуле описывающей классическую головную волну: 0 – предельный луч полного внутреннего отражения; пунктирный отрезок ортогональный лучу - волновой фронтклассической головной волны.раздела двух сред структура формулы описывающий эту волну изменяется. Тоже происходит при возникновении неоднородности скорости распространенияволн в рассматриваемых средах. Так как в природе не существует в точностипрямолинейных границ раздела, а также сред, не содержащих неоднородности,мы предполагаем, что в ряде случаев сейсмическая волна, которая интерпретировалась как головная, на самом деле является волной Булдырева, вернее её“упругим” аналогом.1.3. Эталонная задача – дифракция на границе двухполуплоскостейПусть плоскость разделена на две полуплоскости, границей разделения которых является прямая.
Обозначим через – декартову координату вдоль этойпрямой, а через – ортогональную ей ось (см. рис. 1.4). Полуплоскость с положительными значениями параметра – область Ω1 , соответственно нижняяполуплоскость – область Ω2 . Предположим, что функция скорости распространения волн в нижней полуплоскости возрастает с глубиной таким образом, чтоквадрат соответствующего волнового числа является линейной функцией пере12Рис. 1.4. Дифракция волн точечного источника прямолинейной границей раздела двух полуплоскостей.менной и соответствующие волновые поля (, ) ( = 1, 2) описываютсяуравнениями:Δ1 + 2 1 = −()( − 0 ), > 0, 0 > 0,(1.9)Δ2 + 2 (1 + 2 )2 = 0, < 0.(1.10)Постоянные 1 и 2 удовлетворяют условиям:0 < 1 < 1,(1.11)2 > 0.(1.12)В уравнении (1.9) – дельта-функция Дирака (см.
[24], стр. 58; [13], стр. 84).Функции 1 ,1и 2 ,2предполагаются непрерывными в областях Ω1 (заисключением точки (0, 0 )) и Ω2 соответственно, вплоть до границы раздела .Правая часть уравнения (1.9) соответствует точечному источнику колебаний,расположенному в точке с координатами = 0 и = 0 в области Ω1 .Выполнены также классические краевые условия непрерывности волнового поля и его первой производной при = 0:1 (, 0) = 2 (, 0),(1.13)130Рис. 1.5.
Многократное переотражение лучей от внутренней границы раздела сред.)︂(︂)︂2 (, )1 (, )=.(1.14)=0=0√При → ∞, где = 2 + 2 , потребуем выполнения принципа предельного(︂поглощения, состоящего в следующем: волновое число в формулах (1.9) и(1.10) заменим на ′ = + ′ , где ′ = > 0 достаточно мало. Решениепоставленной задачи будем искать в классе функций экспоненциально убывающих при → ∞. В качестве решений при вещественном волновом числе примем пределы:1,2 (, , ) = lim1,2 ( ′ , , ).′ →0Предел здесь понимаем как равномерное стремление 1,2 ( ′ , , ) к 1,2 (, , )на каждом компакте в 2 , не содержащем точку = 0, = 0 .Условия (1.12) обеспечивают положительность1– эффективной кривизныграницы раздела двух полуплоскостей, в нашем случае:⃒11 2 ⃒⃒=−,2 (0) ⃒=02 () = √1,1 + 2 1 =.(1.15)(1.16)Одной из физических интерпретаций задачи является дифракция электромагнитных волн созданных светящейся нитью, параллельной плоской границе14раздела двух сред.
Пусть трехмерное пространство параметризуется декартовыми координатами (, , ), плоскость (, ) совпадает с границей раздела двухполупространств, ось – ортогональна этой плоскости. Светящаяся нить, параллельная оси излучает электромагнитную волну, напряженность электрического поля которой имеет вид (0, − , 0), напряженность магнитного поля– (− , 0, − ). При этом диэлектрическая проницаемость и магнитнаяпостоянная среды заполняющей полупространство, в котором находится источник излучения представляют собой вещественные постоянные величины 1 и1 . Второе полупространство заполнено средой с 2 () = 1 (1 + 2 ), 2 ≡ 1 .При < − 21 диэлектрическая проницаемость 2 становится отрицательной,в результате чего функция 2 , интерпретируемая как скорость распространения волн в среде Ω2 становится комплексной.
Материи обладающие описанными свойствами существуют в природе. Примером такой среды служат плазменные образования в ионосфере, существование которых делает возможнымсверхдальнее распространение радиоволн (см. [12]).Пусть – угол, который падающий луч образует с осью (см. рис.
1.5). Из(1.11) и (1.16) следует, что 2 (0) > 1 , а значит существует значение 0 , такое,что лучи, угол падения которых удовлетворяет неравенству > 0 испытываютполное внутреннее отражение от границы раздела сред, а с < 0 преломляются, порождая лучевую картину, изображенную на рис. 1.5. Угол 0 – предельный√угол полного внутреннего отражения определяется соотношением sin 0 = 1 .Вследствие положительности эффективной кривизны границы раздела (1.15)имеют место следующие явления: лучи, выходящие из источника колебанийпод углами, меньшими предельного угла полного внутреннего отражения, порождают в неоднородной среде области Ω2 преломленные криволинейные лучи,многократно отражающиеся от этой границы (см.
рис. 1.5). Такие лучи образуют так называемый эффект шепчущей галереи. Задача о выделении волншепчущей галереи из точного решения описанной выше задачи рассмотрена в[17].15Оказывается (см. [9]), что совокупность лучей, вышедших из точки = 02под углами , такими, что 0 − = ( − 3 ), рефрагируя в область Ω2 , распространяются в малой окрестности границы раздела сред и интерферируют меж2ду собой. Ширина этой окрестности также имеет порядок ( − 3 ). В результатетакой интерференции в среде Ω2 образуется волновое поле, (, ) имеющеепри || → ∞ характер дифракционного пограничного слоя. Распространяясь всреде Ω2 вблизи границы раздела = 0, волна (, ) преломляется в полупространство Ω1 , порождая головную волну интерференционного типа (волнуБулдырева).В работе [17] получено точное решение поставленной задачи и выражениедля поля рефрагированной волны 2 имеет вид:(︂(︁ )︁ 2)︂√ 2)︀3 (︀+∞Z[0 1− −] 2 − 1 − 2 2(︂(︁ )︁ 2)︂(︂(︁ )︁ 2)︂ .
(1.17)−√︀23312′(2 − 1 ) + 1 − 2 (2 − 1 )−∞ (2 ) 3 22В формуле (1.17) и далее (), 1 (), 2 () – функции Эйри в определении В.А. Фока (см. [21] и [5]), то есть решения уравнения Эйри: () = (),при этом() =1 () − 2 (),2(1.18)а функции 1 (), 2 () и () определяются своей асимптотикой при || → ∞:(︂)︂(︁ 3)︁ (︁(︁)︁)︁22 2− 32− 14 3 2 + 41 (−) = 1 + ||, (−) ∈ − ,,(1.19)3 3(︂)︂(︁ 3)︁ (︁(︁)︁)︁22 2− 32− 14 − 3 2 + 41 + ||, (−) ∈ − ,2 (−) = ,(1.20)3 3(︂)︂(︁)︁)︁221 − 1 − 2 32 (︁2.(1.21)() = 4 31 + ||− 3 , () ∈ − ,23 3Заметим, что интеграл в формуле (1.17) сходится абсолютно, так как знаменатель подынтегрального выражения является ограниченной функций на интер16вале ∈ (−∞, ∞). Ограниченность рассматриваемого подынтегрального выражения является следствием отсутствия нулей на интервале (−∞, ∞) у функции(︃(︂ )︂ 2)︃(︃(︂ )︂ 2)︃3 (︀3√︀)︀(︀ 2)︀1(2 2 ) 3 ′ 2 − 1+ 1 − 2 − 1 .22Доказательство соответствующего факта приводится в следующем параграфе.Волновое поле в области Ω1 представим в виде 1 = + , где –волновое поле точечного источника при отсутствии границы раздела сред.
Източного решения задачи следует формула:1 (, ) =2+∞Z−∞√[(+0 )1−2 −]√︀2 1 − 2(),где () определяется следующим выражением:)︂)︂(︂(︁ )︁ 2(︂(︁ )︁ 2√︀)︀)︀3 (︀3 (︀1(2 2 ) 3 ′2 − 1 − 1 − 2 2 − 122(︂(︁ )︁ 2)︂(︂(︁ )︁ 2)︂ .√︀331(2 2 ) 3 ′(2 − 1 ) + 1 − 2 (2 − 1 )22(1.22)(1.23)1.4. Единственность решения эталонной задачиТеорема 1. Решение задачи поставленной в параграфе 1.3 единственно.Доказательства теоремы основывается на исследовании аналитических свойствфункции входящей в подынтегральное выражение точного решения эталоннойзадачи в области Ω2 (см. формулу (1.17)).
Для единственности достаточно показать, что соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение.Это нетрудно установить, если > 0, > 0 и достаточно мала. Всамом деле, предположим, что существуют два решения рассматриваемой задачи. Рассмотрим функцию тождественно равную разности этих двух решений.Такая функция удовлетворяет соответствующей однородной задаче. Пусть 1 ,2 – решения однородной задачи в верхней и нижней полуплоскостях соответственно.17Так как 1 и 2 удовлетворяют однородным уравнениям, они являютсяаналитическими функциями, следовательно бесконечное число раз непрерывнодифференцируемыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
