Диссертация (1149274), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Функция wn,k (·, ) ( ∈ N, = 1,...,) удовлетворяет задаче(2)( )wn,k (, ) = − w̃n−1,k (, ), ∈ R3 ∖ ;∑︁Γwn,k (, ) = −Γvn−s,k () (,, )|| , ∈ .(4.46)(4.47)=0Условие разрешимости этой задачи(2),1 (˜−1, (·, ),∇ 0, )R3 ∖=∫︁ ∑︁(),1−, (,, )|| 0, ,(4.48)=0фикcирует частное решение wn−1,k (·, ). Определим норму ‖ · ‖11 (Ω()) формулой (4.38), в которой область Ω заменена на Ω().117Теорема 4.3.1.
Пусть f ∈ ∞ (Ω). Для функции u(·,,) при всяком ∈ N справедлива асимптотика (4.36), в которой остаток ũN+1 (·,,) при всех > 0 удовлетворяет оценке‖ ũN+1 (·,,) ‖11 (Ω()) = ( +3/2− ).Если f при всех ∈ (0,0 ) (где 0 > 0 ) подчиняется условиям совместности (2.3), (2.4), то аннулируются компоненты 1 , 2 функции u(·,,), компоненты 1 , 2 функций vn (·, ) и компоненты1 , 2 функций wn (·, ). При этом аннулируются все ( ).Теперь сформулируем результат для динамической системы Максвелла в области Ω() с конечным числом малых отверстий.
Введем норму⎛‖ ‖ϒ () = ⎝∫︁+∞ ∫︁ ∑︁ ∑︁ (︁⎞1/2)︁2− | − |+||− |(,)(,)| ⎠ .=−∞ ∈Ω |≤| =1Теорема 4.3.2. Пусть > 0, ∈ (0,1) и функция ℱ удовлетворяет условию2 +7/2‖ P() ( +3)+5+ ℱ ‖ϒ0− −3/2+ () + ‖ P()( +2)ℱ ‖ϒ00 () < ∞,в котором оператор P() задан формулой (1.56).
Тогда решение (·, · ,) задачи (3.3),(3.4)допускает асимптотическое разложение (,,) = −1∑︁ ()Ak ()=1(︁ − )︁+∑︁(︁(︁ − )︁)︁∑︁ (,) +, + () ,=0=1˜ +1 (,,),+ +1 +1 (,) + (4.49)в котором−1−1Ak = F−1 → , = F → vi , = F → wi .˜ +1 (·, · ,) подчинен оценкеОстаток разложения ∫︁+∞ ∫︁˜ +1 (,,)|2 = (2 +3−2 ).−2 |=−∞ ∈Ω()Если при почти всех ∈ R выполнено условиеF→ ℱ (·, )|Ω() ∈ M(, ), ∀ ∈ (0,0 )(4.50)( M(, ) определено перед (3.23)), то 1) компоненты 1 и 2 функции (·,·,) = ( 1 , 2 ,1 ,2 )аннулируются в Ω() × R при всех ∈ (0,0 ); 2) коэффициенты Ak (), компоненты ℬ1 ,ℬ2 функ121212ций = (1 ,2 ,ℬ1 ,ℬ2 ) и компоненты ℋ,,ℋ,функций , = (,,,,ℋ,,ℋ,)равны нулю при почти всех ∈ R, (,) ∈ Ω × R и (,) ∈ (R3 ∖ ) × R, соответственно.118Приведенные выше результаты будут справедливы для системы Максвелла с импеданснымиграничными условиями, если в формулировки внести следующие изменения:1) Асимптотическое разложение (4.36) заменяется наu(,,) = −1∑︁(︁ − )︁)︁(︁(︁ − )︁κ+ ( )κ+ () ( )=1(︁(︁ − )︁)︁∑︁∑︁+ vn (, ) + ()wn,k,+ +1 vN+1 (, ) + ũN+1 (,,);=0=1здесь ( ) = ( )−1 20 ( , ) и κ = (0,∇0, ,0,0) .2) В формулах (4.41), (4.43), (4.45), (4.47) Γ заменяется на Γ1 .3) Уравнение (4.42) заменяется формулой(︀)︀κ () , ∈ R3 ∖( )w0,k () = − ( ) () + ( )κа уравнение (4.44) – равенством(( ) + )vn (, ) = −∑︁ () wn−1,k (1) (,, )| − |−1 −=1−∑︁(︁ ∑︁ ()wn−s,k () (,, )| − |− + ( ) (+1) (,)| − |−(+1) +=1=1κ+ ( )κ(+1)−(+1)(,)| − |)︁, ∈ Ω∖ ∪=1 { }.4) Условие разрешимости (4.48) задачи (4.46), (4.47) теперь имеет вид(2),1 (˜−1, ,∇ 0, )R3 ∖=∫︁ ∑︁(2),2 (˜−1, ,∇ 0, )R3 ∖==0∫︁ ∑︁(),1−, (,)|| 0, ;(),2−, (,)|| 0, ;=05) Асимптотическое разложение (4.49) заменяется формулой (,,) = −1∑︁(︁(︁ − )︁(︁ − )︁)︁κ () Ak ()+ Ek ()κ+=1(︁(︁ − )︁)︁∑︁∑︁˜ +1 (,,);+ (,) + () ,, + +1 +1 (,) + =0=1здесь Ek = F−1 → .6) Условие (4.50) заменяется включением F→ ℱ (·, ) ∈ N( ) (пространство N( ) определеноперед формулой (4.35)).119ЗаключениеОсновные результаты, полученные в работе:1.
В ограниченной области с малой полостью (диаметра ) рассмотрена задача Дирихле дляволнового уравнения; выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при → 0. Время в задаче пробегает всю вещественную ось. Результаты (на уровнеглавного члена асимптотики) обобщены на случай СВО, вырождающейся при → 0 вобласть с конической точкой на границе.2. Исследована стационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числоммалых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру .
Выведены иобоснованы полные асимптотические разложения решений при → 0. На границе областизаданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия. Спектральный параметр в задаче может принимать любые значения, при которых окрестность при всех свободна от собственных значений системы Максвелла.3. Исследована нестационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру . Выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при → 0. На границеобласти заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия;время в задаче пробегает всю вещественную ось.В работе использовалась оригинальная методика, которая позволила автору исследоватьасимптотики решений нестационарных задач в областях с малыми полостями.
Продемонстрированные в работе ключевые приемы могут быть использованы для дальнейшего развития методаописания асимптотики решений динамических задач в сингулярно возмущенных областях.Рассмотренная при исследовании стационарной и нестационарной систем Максвелла математическая модель может иметь приложение в диагностике плазмы: она описывает поведениеэлектромагнитного поля загрязненной частицами металла плазмы, заключенной в проводящийрезонатор.120Список литературы1. Кориков Д.В.
Асимптотика решений волнового уравнения в области с малым отверстием //Алгебра и анализ 26 (2014), №5, 164-200.2. Кориков Д.В., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений стационарной и нестационарнойсистем Максвелла в области с малыми отверстиями // Алгебра и анализ 28 (2016), №4, 102170.3. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач // Наука, М.,1989.4. Nayfeh A.H. Perturbation methods // Wiley, New York, 1973.5. Nayfeh A.H. Introduction to perturbation techniques // Wiley, New York, 1981.6.
Maz’ya V.G., Nazarov S.A., Plamenevskii B.A.Asymptotic theory of elliptic boundary valueproblems in singularly perturbed domains, v. 1,2 // Birkhäuser, Basel–Boston–Berlin, 2000.7. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей // Наука, М., 1991.8. Kozlov V., Maz’ya V., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with pointsingularities // American Mathematical Soc., 1997.9.
Grisvard P.Elliptic problems in nonsmooth domains // Society for Industrial and AppliedMathematics, Philadelphia, PA, 2011.10. Пламеневский Б.А. О задаче Дирихле для волнового уравнения в цилиндре с ребрами //Алгебра и анализ 10 (1998), №2, 197–228. (Поправка к ст.: 10 (1998), №3, 224).11. Кокотов А.Ю., Пламеневский Б.А. О задаче Коши–Дирихле для гиперболических систем вклине // Алгебра и анализ, 11 (1999), №3 , 140–195.12. Кокотов А.Ю., Пламеневский Б.А.
Об асимптотике решений задачи Неймана для гиперболических систем в областях с коническими точками // Алгебра и анализ 16 (2004), №3,56–98.12113. Матюкевич С.И. О нестационарной системе Максвелла в областях с ребрами // Алгебра ианализ 15 (2003), №6, 86–140.14.
Матюкевич С.И., Пламеневский Б.А. О динамических задачах теории упругости в областяхс ребрами // Алгебра и анализ 18 (2006), №3, 158–233.15. Гудович И.С., Крейн С.Г., Куликов И.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла // Докл.АН СССР 207 (1972), №2, 321–324.16. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. 2 -теория оператора Максвелла в произвольных областях //Успехи мат. наук 42 (1987), №6, 61-76.17. Агранович М. С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром и параболическиезадачи общего вида, УМН, 19:3(117) (1964), 53-161.18. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства, ИЛ, М., 1948.19. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А., Оценки в и в классах Гельдера и принцип максимумаМиранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точкамина границе, Math. Nachr. 81 (1978), 25–82.20.
Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения, Издательство"Мир"., М., 1971..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
