Диссертация (1149274), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Из леммы 2.4.8 следует, что(2)wn,0 (, ) = wn (1) (,, )||−1 + w̃n,0 (, ),(3.61)(2)где wn (1) (·, · , ) и w̃n,0 (·, ) удовлетворяют неравенству(2)0 (R3 ∖) } ≤ ( ).‖ wn (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) + ‖ w̃n,0 (·, ) ‖2 (R3 ∖) ≤ {( )+ ‖ wn,0 (·, ) ‖−1(3.62)Коэффициент wn (1) (·,·, ) в (3.61) такой же, как и в разложении (2.90) функции wn (·, ), посколькуwn (, ) − wn,0 (, ) = ( )() = (||−2 ) при || → ∞.

Из (3.62) следует (3.56). Учитаваяравенство(2)wn (·, ) = wn (1) (,, )||−1 + w̃n,0 (, ) + ( ),99перепишем условие (2.100) в виде( ) ‖∇ 0 ‖22 (R3 ∖) =∫︁−(2),1⟨˜,0 (, ),∇ 0 ⟩1+R3 ∖∫︁ ∑︁+1(),1+1− (,, )|| 0 . =0Отсюда вытекает, что−10 (R3 ∖) ≤ {( ) + | |‖ wn (·, ) ‖−1+1∑︁‖ vn+1−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) }.=0Мажорируя при помощи последнего неравенства правую часть (3.59), выводим оценку (3.55).Формулы (3.57), (3.58) получаются аналогично.Из двух последних предложений вытекают равномерные по параметру оценки остатков()()ṽn (·, ), w̃n (·, ) через правую часть f (·, ) задачи (2.7), (2.8). В самом деле, обозначим ( ) =−∑︁‖ vn () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) | |− ;=0 ( ) =∑︁−+1‖ wn () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) + ‖ w̃n( −+2) (·, ) ‖1 −+1 (R3 ∖)=1Тогда из (3.52) следует, что∑︁‖ vn−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ≤ ()| |−1(︀ ∑︁)︀| |−2+3/2 ( ) + |( )|| |3/2 + 0 ( ) .(3.63)=0=0−1| |+1∑︁‖ vn+1−k()(·, · , ) ‖ 1 ( 2 )≤ ()| |−1(︀ ∑︁| |−2+5/2 ( )+(3.64)=0=0)︀+|( )|| |1/2 + 0 ( ) + | |3/2− ‖ wn (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) .Мажорируя правую часть формулы (3.56) при помощи (3.63), получаем‖ wn (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ≤ ()| |−1(︀ ∑︁)︀| |−2+3/2 ( ) + |( )|| |3/2 + 0 ( ) .=0Теперь из (3.63), (3.64) вытекает неравенство∑︁‖ vn−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +| |−1=0+1∑︁‖ vn+1−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ≤=0≤ ()| |+3/2(︀−1∑︁=0)︀| |−2+3/2 ( ) + |( )|| |3/2 + 0 ( ) .(3.65)100Оценивая с его помощью правую часть (3.55), выводим рекуррентную формулу ( ) ≤ ()| |+3/2−1(︀ ∑︁)︀| |−2+3/2 ( ) + |( )|| |3/2 + 0 ( ) .=0Раскроем в ней рекурсию и получим(︀)︀ ( ) ≤ ()| |(+4) 0 ( ) + 0 ( ) + | ( )| .(3.66)Из выражения (2.58) для ( ) следует, что | ( )| ≤ 0 ( ), поэтому (3.57) можно переписать ввиде(︀)︀0 ( ) ≤ 0 ( ) + | |−1 ‖ v1 (0) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) .(3.67)Согласно (3.52), (3.58)| |−1 ‖ v1 (0) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ≤ ()| |1/2 (|( )| + | | ‖ w0 (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ) ≤ ()0 ( ).Теперь (3.67) принимает вид 0 ( ) ≤ ()0 ( ), и формулы (3.66) дают ( ) ≤ ()| |(+4) 0 ( ),( = 0,1,...).Из теоремы 3.1.3 вытекает, что 0 ( ) ≤ ()| |− −1+ ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) ; поэтому ( ) ≤ ()| |(+4)− +−1 ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( )(3.68)при всяком = 0,1,...

С помощью (3.68) соотношения (3.53), (3.54) переписываются в виде‖ ṽn( −+1) (·, ) ‖− +−3/2+ ( ) ≤ ()| | +(+2)+9/2+ ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) .‖ vn (·, ) ‖−1/2+ ( ) ≤ ()| |(+2)− −3/2+ ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) .( −+1)Последние три неравенства и есть искомые оценки слагаемых ṽn0,.., ) и vN+1 (·, ) в правой части задачи (2.103), (2.104).( −+2)(·, ), w̃n(3.69)(3.70)(·, ) ( =1013.3.2Равномерная по параметру оценка остатка ũN+1 (·,,) разложения(2.101).Пусть | | ≤ 0 .

Оценим правую часть (2.104). По лемме 2.5.1 из (3.69), (3.70) выводитсянеравенство‖ ()ΓũN+1 (·,,) ‖ 1/2 () ≤ () +1− | | ( +3)+9/2+ ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) .Оценим правую часть (2.103). С помощью леммы 2.5.2 из (3.68), (3.25) и (3.16) получаем‖ (( ) + )ũN+1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ () +3/2 | | ( +3)+ ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) .Теперь для вывода формулы‖ ũN+1 (·,) ‖2 (Ω()) ≤ () +3/2− | | ( +3)+5+ ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) ,(3.71)справедливой при | | ≤ 0 , осталось воспользоваться теоремой 2.5.4.

Перейдем к случаю | | >0 . Тогда (3.70), (3.68), (3.25) и (3.16) приводят к оценке‖ uN (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ () +3/2− | |( +1)( +2) ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) .Поскольку 1 < −10 | |, неравенство (2.72) для u(·,,) можно записать в форме‖ u(·,,) ‖2 (Ω()) ≤ () +3/2− | |−1 ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) .Из последних двух формул получаем‖ ũN+1 (·,) ‖2 (Ω()) ≤ () +3/2− | |( +1)( +2) ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( )(3.72)при | | > 0 . Осталось свести две оценки (3.71) и (3.72) к одной‖ ũN+1 (·,) ‖2 (Ω()) ≤ () +3/2− | | ( +3)+5+ ‖ f (·, ) ‖ℛ− −3/2+ ( ) ,(3.73)справедливой при всех ∈ R.3.3.3Возвращение к нерасширенной системе Максвелла в разложении(2.101), (2.102) при выполнении условий совместностиПод условиями совместности (2.3), (2.4) понимается включение f (·, )|Ω() ∈ M(, ). Как упомянуто в начале раздела, условие (3.51) позволяет выписать только 2( +2) членов асимптотикифункции u(·,,).

Поэтому рассуждения, использованные при доказательстве предложения 2.6.3,102позволяют доказать лишь равенства 1 = 2 = 0 ( = 0,.., ) и 1 = 2 = 0 ( = 0,.., − 1) привыполнений условий совместности. Остается показать, что 1 +1 = 2 +1 = 0 и 1 = 2 = 0.Предложение 3.3.4. Пусть f (·, ) ∈ ℛ− −3/2+ ( ), 0 > 0 и f (·, )|Ω() ∈ M(, ) при каждом ∈ (0,0 ).

Тогда ( ) = 0, и для всех vn , wn в (2.102) компоненты 1 , 2 и 1 , 2 аннулируютсяв Ω и R3 ∖, соответственно.Доказательство. Покажем, что 1 = 2 = 0. Применим ( ) к уравнению (2.98). Учитывая(2.10), имеем(2)−△ wN (, ) = − ( )w̃N−1 (, ) = − ( )wN−1 (, )+ ( )wN−1 (1) (,, )||−1 =(2)= 2 w̃N−2 (, ) + ( )wN−1 (1) (,, )||−1 .Подставим (2.89) в уравнение (2.96) и получим wN−1 (1) (,, )||−1 = −( )vN (0) (,, ).(3.74)Таким образом,(2)−△ wN (, ) = 2 w̃N−2 (, ) + △ vN (0) (,, ).Поскольку 1 = 2 = 0 и 1 −2 = 2 −2 = 0, теперь ясно, что △ 1 = △ 2 = 0 в R3 ∖. Изграничного условия (2.99) получаем 1 = 0 на . Поэтому из включения 1 ∈ 01 (R3 ∖) илеммы 2.4.2 выводится равенство 1 = 0 в R3 ∖.

Покажем, что 2 = 0 в R3 ∖. Соотношение1⟨rot (, ),⟩ = −∑︁(),1⟨∇ ,[ − (,, )|| × ]⟩ = −∑︁(),1⟨rot − (,, )|| ,⟩(3.75)=0=0имеет место при ∈ в силу условия (2.99). Подставляя (2.89) в (2.96), находим− vn (−1) (,, )||−1 = ( )vn () (,, )||() , ≥ 1.Поскольку 2 = 0 при всех ≤ , отсюда, учитывая (2.9), выводим (−1),2 (,, )||−1 = −rot (),1 (,, )||() , ≥ 1.(3.76)Аналогично, из (3.74)(1),2(0),1 −1 (,, )||−1 = −rot (,, ).Применяя (3.76) и (3.77), приводим формулу (3.75) к виду1⟨rot (, ),⟩ = −1(︁ )︁∑︁(),2(1),2⟨ −−1 (,, )||−1 ,⟩ + ⟨ −1 (,, )||−1 ,⟩ .=0(3.77)103В силу условия (2.99) это означает, что)︀(︀ 2(1),2(2),21−1⟨rot (, ),⟩ = − ⟨(,),⟩−⟨(,,)||,⟩= − ⟨˜ −1 (, ),⟩.−1 −1В результате(2),21⟨rot (, ) + ˜ −1 (, ),⟩ = 0, ∈ .С другой стороны, из (2.98) и (2.9) выводим(2),21rot (, ) + ˜ −1 (, ) = −∇ 2 (, ).Сравнивая последние два выражения, заключаем, что 2 = 0 на . Следовательно, 2 = 0 вR3 ∖ в силу леммы 2.4.2.

Теперь из разложения (2.101), (2.102) получаются соотношения0 = +1 +1 (, ) + ˜ +2 (,,), = 1,2,где ‖ ˜ +2 (,,) ‖2 (Ω()) = ( +3/2− ) при всяком > 0. Отсюда предельным переходом при → 0 выводим равенства 1 +1 = 2 +1 = 0.3.3.4Асимптотическое разложения решений задач (3.3), (3.4) и (3.1), (3.2)Неравенство (3.73) позволяет перейти к асимптотике решения динамической задачи (3.3),(3.4). Для этого остается воспользоваться равенством (1.58). Окончательный результат сформулирован в следующем утверждении.Теорема 3.3.5.

Пусть > 0, ∈ (0,1), и правая часть ℱ уравнения (3.3) удовлетворяет условию( +3)+5+‖ Pℱ ‖RV− −3/2+ () < ∞,в котором оператор P задан формулой (1.56). Тогда решение (·, · ,) задачи (3.3),(3.4) допускает асимптотическое разложение−1−1 (,,) = ()A()( ) +∑︁(︁)︁ (,) + () (−1 ,) +=0˜ +1 (,,),+ +1 +1 (,) + ˜ +1 (·, · ,), подчиненным оценкес остатком ∫︁+∞ ∫︁=−∞ ∈Ω()˜ +1 (,,)|2 = (2 +3−2 ).−2 |(3.78)104Слагаемые A, , в разложении (3.78) задаются равенствами−1−1A() = F−1 → , = F → vi , = F → wi .Здесь v0 (·, ) - решение задачи (3.10), (3.11), функция → ( ) определяется формулой (2.58).Функции (, ) → vi (, ) ( = 1,2,...) определяются, как решения задач (2.96), (2.97), а функции(, ) → wi (, ) (i=0,1,...) - как частные решения задач (2.98), (2.99), фиксированные условиями(2.100).Из последнего утверждения следует Теорема 3.1.4.

Опишем возвращение к исходной системеМаксвелла (3.1) при выполнении условий совместности. Следствием предложения 3.3.4 являетсяТеорема 3.3.6. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, причем при всяком ∈ (0,0 )включение F→ ℱ (·, )|Ω() ∈ M(, ) справедливо при почти всех ∈ R. Тогда в разложении(3.78) функция A, компоненты ℬ1 ,ℬ2 функций = (1 ,2 ,ℬ1 ,ℬ2 ) и компоненты ℋ1 ,ℋ2 функций = (1 ,2 ,ℋ1 ,ℋ2 ) равны нулю на R, в Ω × R и в (R3 ∖) × R, соответственно.Отсюда и из Теоремы 3.2.3 следует Теорема 3.1.5.105Глава 4ОбобщенияВ этой главе описываются обобщения результатов, полученных в Главах 2,3 для стационарной и нестационарной системы Максвелла. В разделе 4.1 рассматривается стационарная системаМаксвелла в ограниченной области Ω() с полостью () диаметра > 0; на Ω() заданы импедансные граничные условия. Как и в случае идеально проводящей границы Ω(), используетсяэлиптическое расширение системы Максвелла. Асимптотика решения расширенной задачи при → 0 выводится так же, как в главе 2; отличие состоит в том, что теперь ядро и коядро второйпредельной задачи имеют размерность 2, а не 1.

Характеристики

Список файлов диссертации