Диссертация (1149274), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При f ∈ 2 (Ω()), ∈ 1/2 (()) решение ∈ 1 (Ω()) задачи(( ) + )() = f (), ∈ Ω();Γ1 () = (), ∈ ();Γ1 () = 0, ∈ Ω111подчиняется оценке‖ ‖2 (Ω()) ≤ (){‖ f ‖2 (Ω()) +1/2 | | ‖ () ‖ 1/2 () }.(4.24)Постоянная () в (4.24) не зависит от и .Доказательство следующго утверждения проводится по той же схеме, что и доказательствотеоремы 2.5.6. При этом всесто теоремы 2.5.4 используется теорема 4.1.4.Теорема 4.1.5. Пусть f ∈ ∞ (Ω). Тогда решение u(·,,) задачи (4.3), (4.4) допускает асимптотическое разложениеu(,,) = u0 (,) + ũ1 (,,),в котором функция u0 (·,,) описывается формулой (4.23), а остаток ũ1 (·,,) удовлетворяетоценке‖ ũ1 (·,) ‖2 (Ω()) = (3/2− )Замечание 4.1.6.
Главный член асимптотики u0 (·,,) определен с точностью до добавленияслагаемого 1 + 2 κ , где 1 , 2 – константы, () = (−1 ), κ () = κ (−1 ). Включения, κ ∈ 11 (R3 ∖) означают, что ‖ 1 + 2 κ ‖11 (Ω()) = (3/2 ). Поэтому слагаемое 1 + 2 κ оказывается пренебрежимо малым.4.1.3Асимптотический ряд для решения задачи (4.3), (4.4)Схема рассуждений по существу не отличается от изложенной в разделе 2.6. Изменения врассуждениях и результатах связаны лишь с увеличением размерности ядра и коядра второйпредельной задачи. Поэтому мы ограничиваемся формулировкой результатов. Пусть f ∈ ∞ (Ω).Тогда асимптотический ряд для решения задачи (4.3), (4.4) при → 0 имеет видκ (−1 )} +u(,,) ≃ −1 (){( )(−1 ) + ( )κ∞∑︁(︀)︀ vn (, ) + ()wn (−1 , ) .=0Здесь ( ), ( ) заданы формулой (4.20) и , κ введены после (4.13). Функции vn (·, ) =(1 ,2 ,1 ,2 ) и wn (·, ) = (1 ,2 ,1 ,2 ) гладкие в Ω∖{0} и R3 ∖, соответственно, и допускаютпри всех ∈ N асимптотические разложения (2.89), (2.90).
Функция vn (·, ) ∈ 1 (Ω) ( ≥ 1)является единственным решением задачи(( ) + )vn (, ) = −() wn−1 (1) (,, )||−1 −(︁ ∑︁wn−k () (,, )||− + ( ) (+1) (,)||−(+1) +−()=1κ+( )κ(+1)−(+1)(,)||)︁, ∈ Ω∖{0};Γ1 vn (, ) = 0, ∈ Ω.112Функция wn ∈ 01 (R3 ∖) ( ≥ 1) является решением задачи(2)( )wn (, ) = − w̃n−1 (, ), ∈ R3 ∖;∑︁Γ1 wn (, ) = −Γ1vn−k () (,, )|| , ∈ .(4.25)(4.26)=0В силу предложения 4.1.3 задача (4.25), (4.26) разрешима, если и только если(2),1 (˜−1 (·, ),∇ 0 )R3 ∖(2),2= (˜−1 (·, ),∇ 0 )R3 ∖ =∫︁ ∑︁ =0∫︁ ∑︁(),1(4.27)(),2(4.28)− (,, )|| 0 ;− (,, )|| 0 ; =0причем решение wn (·, ) ∈ 01 (R3 ∖) определено с точностью до слагаемого 1 +2 κ , где 1 , 2 –константы. Правые части (4.27), (4.28) не зависят от выбора частного решения wn−1 (·, ).
Поэтому при каждом = 1,2, . . . условие (2.100) однозначно фиксирует частное решение wn−1 (·, ).Теорема 4.1.7. Пусть f ∈ ∞ (Ω). Решение задачи (4.3), (4.4) при всяком ∈ N допускаетасимптотическое разложениеκ (−1 )}+u(,,) = −1 (){(−1 ) + κ+∑︁(4.29)(︀)︀ vn () + ()wn (−1 ) + +1 vN+1 () + ũN+1 (,,).=0с остатком ũN+1 (·,,), при всех > 0 подчиненным оценке‖ ũN+1 (·,,) ‖2 (Ω()) = ( +3/2− ).4.1.4Возвращение к нерасширенной системе МаксвеллаПусть для правой части f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) уравнения (4.3) выполнены условия совместности−div () − () = 0, ∈ Ω, = 1,2.(4.30)Покажем, что тогда компоненты 1 (·,,), 2 (·,,) функции u(·,,) удовлетворяют нерасширенной системе Максвелла в Ω().
Для этого достаточно показать, что скалярные компоненты1 (·,,), 2 (·,,) аннулируются в Ω().Предложение 4.1.8. Пусть ⊂ R3 – ограниченная область, граница гладкая и =( 1 , 2 ,1 ,2 ) ∈ ∞ ( ) удовлетворяет уравнению (( ) + ) = f в и условию Γ1 =0 на . Если для f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) выполнены условия совместности−div () − () = 0, ∈ , = 1,2,113то 1 ≡ 2 ≡ 0 в .Доказательство.
В силу (2.10) имеем−(△ + 2 ) = (( ) − )(( ) + ) = (( ) − )f .Согласно (2.9)−(△ + 2 ) = −div − = 0 в , = 1,2.Из условия Γ = 0 на следует, что 1 = 2 = 0 на . Значит, являются решениямиоднородной задачи Дирихле для оператора △ + 2 . Но эта задача имеет только тривиальноерешение при Im ̸= 0.Предложение 4.1.9. Пусть правая часть f задачи (4.3), (4.4) подчиняется условию (4.30).
Тогда( ) = ( ) = 0, а компоненты 1 (·, ), 2 (·, ) функций vn (·, ) и компоненты 1 (·, ), 1 (·, )функций wn (·, ) аннулируются в Ω и R3 ∖, соответственно.Доказательство. Рассуждения такие же, как в следствии 2.5.9 и предложении 2.6.3.4.2Нестационарная система уравнений Максвелла с импедансными граничными условиямиВ цилиндре {(,) : ∈ Ω(), ∈ R}, основанием которого является область Ω() с малымотверстием, рассмотрим нестационарную систему Максвелла (3.1). Функции 1 , 2 подчиненыимпедансным краевым условиям × [ 2 × ] + [ × 1 ] = 0(4.31)на границе цилиндра; здесь – единичный вектор внешней нормали к Ω(), = const (Re <0). Пусть все функции , ℱ , гладкие.
В этом случае для разрешимости задачи (3.1), (4.31)при всех достаточно малых > 0 необходимы условия совместностиdivℱ (,) − (,) = 0, (,) ∈ Ω × R, = 1,2.(4.32)Добавлением двух неизвестных функций 1 и 2 задача (3.1),(4.31) расширяется до гиперболической задачи( + ( )) (,,) = ℱ (,),(,) ∈ Ω() × R;(4.33)Γ1 (,,) = 0,(,) ∈ Ω() × R,(4.34)где = ( 1 , 2 ,1 ,2 ) , ℱ = (ℱ 1 ,ℱ 2 , 1 , 2 ) , оператор Γ1 – такой же, как и в (4.5). Послекомплексного преобразования Фурье F→ , где = − , ∈ R, = const > 0, соотношения114(4.33),(4.34) приводят к задаче (4.3), (4.4), в которой u = F→ , f = −F→ ℱ .
Формальноасимптотика решения u(·,,) этой задачи при → 0 дается формулой (4.29). Для равномерной по оценки остатка ũN+1 (·,,) снова используется теорема 3.1.3, которая остается справедливой и для случая импедансных граничных условий. Остальные рассуждения аналогичныпроведенным в главе 3, поэтому мы ограничиваемся описанием результатов.Теорема 4.2.1. Пусть > 0, ∈ (0,1) и2 +7/2‖ P() ( +3)+5+ ℱ ‖V0− −3/2+ () + ‖ P()( +2)ℱ ‖V00 () < ∞(оператор P() задан формулой (1.56)).
Тогда решение (·, · ,) задачи (4.33),(4.34) допускаетасимптотическое разложение(︁)︁−1−1κ ( ) + (,,) = () A()( ) + E()κ−1+∑︁)︁(︁˜ +1 (,,), (,) + () (−1 ,) + +1 +1 (,) + =0в котором−1−1−1A() = F−1 → , E = F → , = F → vi , = F → wiи функции → ( ), → ( ), (, ) → vi (, ), (, ) → wi (, ) – такие же, как в (4.29).˜ +1 (·, · ,) подчиняется оценкеОстаток ∫︁+∞ ∫︁˜ +1 (,,)|2 = (2 +3−2 ).−2 |=−∞ ∈Ω()Для негладкой правой части ℱ ∈ V00 () условия совместности (4.32) интерпретируются какпринадлежность функции f (·, ) = −F→ ℱ (·, ) при почти всех ∈ R замыканию N( ) множества{( 1 , 2 , 1 , 2 ) ∈ ∞ (Ω; C8 ) : div = в Ω ( = 1,2)}(4.35)по норме в 2 (Ω). Тогда компоненты 1 (·, · ,), 2 (·, · ,) решения (·, · ,) удовлетворяютнерасширенной системе Максвелла (3.1) с правой частью ℱ .Теорема 4.2.2.
Пусть в условиях предыдущей теоремы справедливо включениеF→ ℱ (·, ) ∈ N( )при почти всех ∈ R. Тогда компоненты 1 (·, · ,), 2 (·, · ,) решения (·, · ,) аннулируютсяпри всех ∈ (0,0 ) (где 0 > 0). В асимптотическом разложении (3.78) аннулируются функцииA(),E(), компоненты ℬ1 ,ℬ2 функций = (1 ,2 ,ℬ1 ,ℬ2 ) и компоненты ℋ1 ,ℋ2 функций = (1 ,2 ,ℋ1 ,ℋ2 ) .1154.3Случай области с несколькими отверстиямиДля приложений интересны обобщения исследованных задач для случая области, содержащей конечное число малых отверстий.
Пусть Ω ⊂ R3 – ограниченная область с гладкой границей,которая содержит конечное число несовпадающих точек ( = 1,...,). Пусть также ⊂ R3( = 1,...,) – ограниченные области с гладкими границами, содержащие начало координат. Введем малые отверстия формулами () = { ∈ R3 : −1 ( − ) ∈ }, где > 0 – малыйпараметр.
В области Ω() := Ω∖ ∪ () рассматривается задача (2.7), (2.8) с фиксированным . Вывод асимптотики решения u(·,,), по существу, повторяет содержание главы 2. Поэтомусразу перейдем к формулировке результатов. Пусть f ∈ ∞ (Ω). Пусть ∈ ∞ (Ω) – срезающиефункции, такие что = 1 в окрестности точки , и ≡ 0 при ̸= . Асимптотическоеразложение функции u(·,,) при → 0 имеет видu(,,) = −1∑︁ () ( )(︁ − )︁=1+∑︁=0(︁vn (, ) +∑︁ ()wn,k=1(︁ − + +1 vN+1 (, ) + ũN+1 (,,).,)︁)︁+(4.36)Здесь ( ) ∈ C, = (∇0, ,0,0,0) , где 0, ∈ 12 (R3 ∖ ) – решение задачи△ 0, = 0 в R3 ∖ , 0, = 1 на .Для каждой из функций верно разложение (2.91). Функции vn (·, ) = (1 ,2 ,1 ,2 ) являютсягладкими в Ω∖ ∪=1 { } и при всех ∈ N допускают представленияvn (, ) =∑︁ ()−1∑︁vn,k () (,, )| − | + ṽn() (, ),(4.37)=0=1()1в которых ṽn (·, ) ∈ −−1/2+(Ω) при всех > 0; здесь через 1 (Ω) обозначено пополнениемножества ∞ (Ω∖ ∪=1 { }) по норме⎛⎞1/2∫︁ ∑︁ ∑︁‖ ‖ 1 (Ω) = ⎝(| − |+||− | ()|)2 ⎠ .(4.38)Ω ||≤ =112Каждая функция wn,k (·, ) = (,,,,1, ,2, ) бесконечно дифференцируема в R3 ∖ и до-пускает при всех ∈ N разложениеwn,k (, ) =∑︁=1(+1)wn,k () (,, )||− + w̃n,k (, ),(4.39)116(+1)где w̃n,k (·, ) ∈ 1 (R3 ∖ ).
Коэффициенты(),1(),2(),1(),2(),1(),2(),1(),2vn,k () = (, ,, ,, ,, ) , wn () = (, ,, ,, ,, )в формулах (4.37) и (4.39) являются гладкими функциями на сфере 2 . Функция v0 (·, ) ∈ ∞ (Ω)является решением задачи(( ) + )v0 (, ) = f (), ∈ Ω;(4.40)Γv0 (, ) = 0, ∈ Ω,(4.41)( )w0,k (, ) = − ( ) (), ∈ R3 ∖ ;(4.42)Γw0 ,k(, ) = −Γv0 ( , ), ∈ .(4.43)а функция w0,k (·, ) ( = 1,...,) - решением задачиИз условий разрешимости задачи (4.42), (4.43) определяется число ( ) = ( )−1 10 ( , ). Функция vn (·, ) ( ∈ N) является решением задачи(( ) + )vn (, ) = −∑︁ () wn−1,k (1) (,, )| − |−1 −(4.44)=1−∑︁=1(︁ ∑︁)︁()−(+1)−(+1) ()wn−s,k (,, )| − | + ( )(,)| − |, ∈ Ω∖ ∪=1 { };=1Γvn (, ) = 0, ∈ Ω,(4.45)где есть коммутатор [( ), ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
