Диссертация (1149274), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При | | ≤ 0 для всякой функции ∈ ( ) ( ∈ R) справедливо неравенство‖ () ‖ 1/2 () ≤ −(+1/2) ‖ ‖ ( )где ()() = (), а постоянная не зависит от .(3.38)93Доказательство. При | | ≤ 0 имеем () = 1 на , поэтому по теореме вложения‖ () ‖ 1/2 () ≤ ‖ () ‖1 (R3 ∖) .Вместе с формулой‖ () ‖1 (R3 ∖) = −(+1/2) ‖ ‖ 1 (R3 ∖()) ≤ −(+1/2) ‖ ‖ ( )это дает оценку (3.38).Неравенство(1)| |1/2 ‖ ṽ0 (·, ) ‖−3/2+ ( ) + ‖ v1 (·, ) ‖−1/2+ ( ) ≤ () ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) | |3/2выводится из формул (3.15), (3.28) и (3.16). С учетом леммы 3.2.2 получаем отсюда искомуюоценку правой части (3.36)‖ ()Γũ1 (·,,) ‖ 1/2 () ≤ ()1− | |3/2 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) .(3.39)Теперь оценим правую часть уравнения (3.35).
В силу вложения ˜(3) ∈ 21 (R3 ∖) и неравенств(3.27), (3.16) и (3.25) лемма 2.5.2 приводит к соотношению‖ (( ) + )ũ1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2 | | ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) .(3.40)Для равномерной по оценки 2 -нормы остатка ũ1 (·,,) воспользуемся неравенством (2.73) изтеоремы 2.5.4. C учетом (2.73) из формул (3.39), (3.40) следует, что‖ ũ1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |5/2 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) .2. Оценка функций u(·,,), u0 (·,,) при | | > 0 .(3.41)При | | > 0 неравенство (3.8) дляфункции u(·,,) означает, что‖ u(·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()(| |)3/2− ‖ f (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |−1 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) . (3.42)Перейдем к оценке функции u0 (·,,).
Соотношение‖ v0 (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |−1 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( )(3.43)выводится так же, как (3.42). Для оценки функции → ()w0 (−1 , ) из (3.30) воспользуемсялеммой 2.5.2 и формулами (3.26), (3.16), тогда‖ w0 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) .(3.44)94Аналогично из (3.25), (3.16) выводится неравенство‖ −1 ( ) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |−1 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) ,(3.45)где () = (−1 ), | | > 0 . Осталось оценить слагаемое v1 (·, ). Функция v1 (·, ) удовлетворяет уравнению (2.62), правая часть которого по норме в 2 (Ω) не превосходит | | ‖f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) . Это следует из (2.58), равенства w0 (1) (·, · , ) = 10 (0, )1 (2) и формулы (3.16).Поэтому (3.8) для v1 (·, ) означает, что‖ v1 (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |1/2 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( )(3.46)при | | > 0 .
Искомая оценка функции u0 (·,,)‖ u0 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |1/2 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) ,(3.47)справедливая при | | > 0 , получается суммированием неравенств (3.43)-(3.46). В силу (3.42),(3.47) очевидно, что‖ ũ1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |1/2 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( )(3.48)для ũ1 (·,,) = u(·,,) − u0 (·,,) при | | > 0 .3. Возвращение к гиперболической задаче (3.3),(3.4). Из соотношений (3.41), (3.48) получается оценка остатка ũ1 (·,,) при всех ∈ R:‖ ũ1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()3/2− | |5/2 ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) .(3.49)Эта оценка позволяет вернуться к гиперболической задаче (3.3),(3.4) и вывести асимптотику еерешения (·, · ,).
Теперь теорема 3.2.1 вытекает формул (3.49), (1.58).3.2.3Возвращение к исходной задаче (3.1),(3.2) при выполнении условийсовместностиПокажем, что в силу условий совместности компоненты 1 (·, · ,), 2 (·, · ,) функции (·, · ,)удовлетворяют исходной нерасширенной задаче (3.1),(3.2).Теорема 3.2.3. Пусть ℱ ∈ V00 () и при любом ∈ (0,0 ) включение −F→ ℱ (·, )|Ω() ∈M(, ) выполнено для почти всех ∈ R.
Тогда: 1) A() и компоненты 1 ,2 решения = ( 1 , 2 ,1 ,2 ) задачи (3.3),(3.4) при всех ∈ (0,0 ) тождественно равны нулю в Ω() × R;2) компоненты ℬ01 ,ℬ02 решения 0 = (01 ,02 ,ℬ01 ,ℬ02 ) задачи (3.33),(3.34) тождественно равнынулю в Ω × R; 3) асимптотическая формула (3.32) в теореме 3.2.1 остается справедливой, если˜ 1 (,,).ее правую часть заменить на 0 (,) + 95Доказательство. Для f (·, ) = −F→ ℱ (·, ) из M(, ) существует такая последовательность{f } элементов множества (3.23), что f → f (·, ) в 2 (Ω()) при → ∞. Пусть , ∈ 2 (Ω())- произвольные функции, для которых = = 0 на Ω(); положим = (0,0,,) . Тогда изформулы Грина (2.12) следует, что (f ,(( ) − ))2 (Ω()) = 0 при всех .
Переходя к пределупри → ∞, получаем (f (·, ),(( ) − ))2 (Ω()) = 0. Несложно проверить, что Γ(( ) − ) = 0 на Ω(). Функция u(·,,) = F→ (·,,) принадлежит 1 (Ω()) и является решениемзадачи (2.7), (2.8). Из формулы Грина (2.12) вытекает, что (u(·,,),(△ + 2 ))2 (Ω()) = 0. Вчастности,(1 (·,,),(△ + 2 ))2 (Ω()) = (2 (·,,),(△ + 2 ))2 (Ω()) = 0.Образ оператора (△ + 2 ), заданного на линеале функций из 2 (Ω()) с однородным условиемДирихле (или Неймана) на Ω(), плотен в 2 (Ω()). Поэтому 1 (·,,) = 2 (·,,) = 0 в Ω().После обратного преобразования Фурье F → отсюда получаем 1 = 2 = 0 в Ω() × R.Аналогично проверяется второе утверждение теоремы.
В частности, для функции v0 (·, ) =(01 (·, ),02 (·, ),10 (·, ),20 (·, ))= F→ 0 (·, ) устанавливаются равенства 10 (0, ) = 0, 20 (0, ) =0. Повторяя рассуждения из доказательства следствия 2.5.9, устанавливаем, что в разложении(3.30) функции v1 (·, ) и ( ) аннулируются, а w0 (·, ) принадлежит пространству 11 (R3 ∖).Тогда вместо (3.26) можно требовать оценку‖ w0 (·, ) ‖11 (R3 ∖) ≤ |v0 (0, )|.(3.50)В силу (1.58), (3.31) и (3.16) из оценки (3.50) следует, что∫︁+∞ ∫︁−2 |() 0 (−1 ,)|2 = (3 ).=−∞ ∈Ω()Таким образом, слагаемое () 0 (−1 ,) в разложении (3.32) при → 0 подчиняется такой же˜ 1 (·, · ,)оценке (3.33), что и остаток Как и в стационарном случае, для нерасширенной системы Максвелла структура двухмасштабного разложения не проявляется на уровне главного члена асимптотики.
При этом компоненты 01 , 02 функции 0 удовлетворяют исходной нестационарной системе уравнений Максвелла (3.1) с правой частью ℱ в цилиндре {(,) : ∈ Ω, ∈ R}.3.3Полное асимптотическое разложениеКак и в предыдущем разделе, вывод асимптотики начинается с исследования семейства задач(2.7), (2.8), полученного из задачи (3.3),(3.4) преобразованием Фурье F→ . Формально асимптотика решения u(·,,) задачи (2.7), (2.8) строится так же, как в разделе 2.6, и имеет вид (2.101),(2.102). Равномерная по оценка остатка ũN+1 (·,,) в разложении (2.101) выводится так же,96как и в разделе 3.2. Вывод включает в себя доказательство равномерных по параметру оце( −+1)нок всех слагаемых ṽn( −+2)(·, ), w̃n(·, ) ( = 0,.., ), vN+1 (·, ), из которых составленаправая часть задачи (2.103), (2.104) для функции ũN+1 (·,,). Наконец, при помощи обратногопреобразования Фурье F−1 → из полученных равномерных оценок выводится асимптотика решения (·, · ,) задачи (3.3),(3.4) при → 0.
Теперь для применимости всей схемы правая часть ℱуравнения (3.3) должна быть подчинена условию( +3)+5+‖ Pℱ ‖RV− −3/2+ () < ∞,(3.51)которое является обобщением условия (3.31). Тогда можно выписать первые 2( + 2) членовасимптотики решения (·, · ,) задачи (3.3), (3.4).3.3.1Равномерные по параметру оценки коэффициентов и остатков вразложениях (2.89), (2.90).()()Для оценки функций ṽn (·, ), w̃n (·, ) через правую часть f (·, ) уравнения (2.7) используетсяиндукция: коэффициенты и остатки разложений (2.89), (2.90) решений vn (·, ), wn (·, ) оцениваются через коэффициенты и остатки разложений решений vi (·, ), wi (·, ) ( = 0,1,..., − 1).Предложение 3.3.1. Коэффициенты и остаток асимптотического разложения (2.89) решенияvn (·, ) ( ∈ N) задачи (2.96), (2.97) при всяком ∈ N удовлетворяют оценкам−1∑︁()−‖ vn (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) | |3/2≤ ()| |=0(︀ ∑︁‖ wn−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +=1)︀+|( )| + | |+1 ‖ wn−1 (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) .(3.52)(︁‖ ṽn() (·, ) ‖−−1/2+ ( ) ≤ () | |2+7/2 ‖ wn−1 (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +(3.53))︁(︀ ∑︁)︀‖ wn−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +|( )| | |5/2+ .+=13/2‖ vn (·, ) ‖−1/2+ ( ) ≤ ()| |(︀ ∑︁‖ wn−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +(3.54)=1)︀+|( )| + | | ‖ wn−1 (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) .Константы () в формулах (3.52), (3.54) не зависят от .Для доказательства этого утверждения вспомним, что правая часть уравнения (2.96) дляvn (·, ) совпадает с функцией−() wn−1 (1) (,)||−197с точностью до элемента, принадлежащего всем пространствам ℛ ( ) ( ∈ R).
Поэтому предложение 3.3.1 выводится из теоремы 3.1.3 и следующей леммы.Лемма 3.3.2. Пусть ∈ (0,1), ∈ 0∞ (Ω), = 1 в окрестности начала координат и A()Φ = 0( ∈ Z, ̸= 1). Тогда при всяком ∈ N для решения v ∈ 1 (Ω) задачи−1(( ) + )v(, ) = ()−11 Φ(,)|| , ∈ Ω∖{0};Γv(, ) = 0, ∈ Ω.справедливо асимптотическое разложениеv(, ) =−1∑︁v() (,, )|| + ṽ() (, ),=0коэффициенты и остаток в котором подчинены оценке−1∑︁‖ v() (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) | |− + ‖ ṽ() (·, ) ‖−−1/2+ ( ) | |−(+1) ≤ () ‖ Φ ‖ 1 ( 2 ) | |+3/2 ;=0кроме того,‖ v(·, ) ‖−1/2+ ( ) ≤ () ‖ Φ ‖ 1 ( 2 ) | |3/2 .Доказательство. Доказательство этого утверждения отличается от доказательства леммы 2.3.3лишь тем, что вместо формулы Тейлора в нем используется теорема 3.1.3.Предложение 3.3.3. 1.
Пусть ∈ N. Коэффициенты и остаток разложения (2.90) решенияwn (·, ) задачи (2.98), (2.99), подчиненного условию (2.100) (в котором заменено на + 1), привсяком ∈ N удовлетворяют неравенству∑︁‖ wn () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) + ‖ w̃n(+1) (·, ) ‖1 (R3 ∖) ≤(3.55)=1+1{︁ ∑︁∑︁()≤‖ vn−k (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +| |‖ wn−1 () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +=0(+2)−11 (R3 ∖) +| |+| | ‖ w̃n−1 (·, ) ‖+1=2+1∑︁}︁‖ vn+1−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) .=0При этом(1)‖ wn (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ≤ {︁ ∑︁‖ vn−k () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +=0+| |+1∑︁=2}︁(+2)1 (R3 ∖)‖ wn−1 () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) + | | ‖ w̃n−1 (·, ) ‖+1.(3.56)982. Коэффициенты и остаток разложения (2.90) решения w0 (·, ) задачи (2.56), (2.57), подчиненного условию (2.100) (в котором заменено на 1), при всяком ∈ N удовлетворяют оценке∑︁(+1)‖ w0 () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) + ‖ w̃0(·, ) ‖1 (R3 ∖) ≤(3.57)=1{︁}︁≤ |v0 (0) (0, )| + | ||( )| + | |−1 ‖v1 (0) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ,причем{︁}︁‖ w0 (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ≤ |v0 (0) (0, )| + | ||( )| .(3.58)Константы во всех неравенствах не зависят от .Доказательство.
Положим( ) =∑︁‖ vn−k()(·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +| |=0+1∑︁(+2)1 (R3 ∖) .‖ wn−1 () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) +| | ‖ w̃n−1 (·, ) ‖+1=2Из леммы 2.4.8 следует, что∑︁{︀}︀0 (R3 ∖)‖ wn () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) + ‖ w̃n(+1) (·, ) ‖1 (R3 ∖) ≤ ( )+ ‖ wn (·, ) ‖−1.(3.59)=10 (R3 ∖) в правой части (3.59). В силу теоремы 2.4.1 существует такоеОценим норму ‖ wn (·, ) ‖−1число ( ) ∈ C, что0 (R3 ∖) ≤ 2( )‖ wn (·, ) − ( ) ‖−1(3.60)(здесь – константа в (2.36)). Пусть wn,0 (·, ) = wn (·, ) − ( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
