Диссертация (1149233), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Через (ϕ())(2.40)будем обозначать координатное представление точки ϕ() в карте . Через−1(ϕ())(2.41)будем обозначать координату с индексом −1 вектора (2.40). Через , (2.42)будем обозначать соответственно линейную и остальную полиномиальную части представления в карте , при этом — симметричная положительноопределенная × матрица для любого . Воспользуемся тем фактом, что48в каждой карте решение может быть представлено с помощью формулыКоши, т.е. для всех таких, что −1 > > имеем:−1 (ϕ(−1 )) =∫︁ −1(−−1 )−1−1 (ϕ()) −(τ−−1 )−1 −1 (−1 (ϕ(τ)))τ.В частности, для = имеем−1 (ϕ(−1 )) =(2.43)∫︁ −1( −−1 )−1 −1 (ϕ( )) −(τ−−1 )−1 −1 (−1 (ϕ(τ)))τ.Теперь рассмотрим отображение перехода между картами и −1 , котороесогласно (2.22) может быть переписано в виде−1 ∘ ( )−1 ( (ϕ()) =1(−1(ϕ()))(−1 (ϕ()) + e˜(−1 ,)) ,(2.44)˜ , , ϕ() ∈ ( ) ∩ ( ), (−1 ) = ˜( , −1 ) и (−1 ) =где −1 = −1−1˜( , −1 ).Рассмотрим представление ϕ( ) в карте , которое будет аналогичнопредставлению ϕ(−1 ) в карте −1 , приведенному в (2.43): (ϕ( )) =∫︁ (+1 − ) (ϕ(+1 )) −(τ− ) ( (ϕ(τ)))τ.(2.45)+1Воспользуемся тем, что−1 (ϕ( )) = −1 ∘ ( )−1 ( (ϕ( ))),равенством (2.44) для = , а также равенствами (2.43), (2.45) получим−1 (ϕ(−1 )) =1() −1 (ϕ( ))−1 ( −−1 )−1 (+1 − ) −1 (ϕ(+1 ))(2.46)−+−1() −1 (ϕ( ))1−1 ( −−1 )−1∫︁(τ− ) ( (ϕ(τ)))τ+1( −−1 )−1 e(−1 )(−1 )(ϕ( ))∫︁ −1(τ−−1 )−1 −1 (−1 (ϕ(τ)))τ.49Для более компактной записи интегралов из (2.46) введем отображение для ∈ β:{︃1, τ ∈ (+1 , ],(,τ) =0, τ ∈/ (+1 , ],перепишем (2.46):−1 (ϕ(−1 )) =−1() −1 (ϕ( ))∫︁ −1 [︁−1 (+1 − ) ( −−1 )−1 (ϕ(+1 ))( − 1,τ)(τ−−1 )−1 −1 (−1 (ϕ(τ)))+11+(−1 )+−1 (,τ)(ϕ( ))1( −−1 )−1 (τ− )]︁ ( (ϕ(τ))) τ( −−1 )−1 e(−1 )() −1 (ϕ( ))Применим подобную процедуру сначала к представлениям решений в картах0 ,1 , затем к получившемуся выражению и представлению решения в карте2 и т.д.
до карты −1 , где ∈ β, и получим0 (ϕ(0)) =∑︀=1 ( −−1 )−1(︁ −1∏︁1(−1 )0∫︁− (τ)τ +=1−1∑︁)︁(ϕ( ))1(−1 )(ϕ( ))=1 −1 (−1 (ϕ( )))(2.47)−1 e(−1 ) ,где (τ) =∑︁−1[︁(︁ ∏︁(, τ)1(−1 )=1 =1−1 (τ−−1 )(ϕ( )))︁ ∑︀−1−1 =1 −1 ( −−1 )(2.48)]︁−1 (−1 (ϕ(τ))) .Оценим норму выражения∑︁( − −1 )−1 .=1Рассмотрим случай, когда β = Z+ . Поскольку в рассматриваемом атласе дляR конечное количество карт, мы можем выбрать , такую, что || || 650|| || для любого . Тогда, поскольку положительно определенные,⃦ ∑︁⃦ ∑︁∑︁⃦⃦| − −1 |‖ ‖ =| − −1 |‖−1 ‖ >( − −1 )−1 ⃦ =⃦=1=1=1‖ ‖∑︁| − −1 |.=1∑︀∞Ряд =1 | − −1 | расходится. Предположим противное, тогда у последовательности { }∈β существует предел * , но тогда множество [* , 0] покрытобесконечным количеством множеств [ , −1 ], − 1, ∈ β, что противоречитсвойству (B6).Следовательно,⃦ ∑︁⃦⃦⃦( − −1 )−1 ⃦ → ∞ при → ∞.⃦(2.49)=1Поскольку − −1 < 0, операторделен, и следовательно‖∑︀=1 (∑︀=1 ( −−1 )−1− −1 )−1 отрицательно опре‖ → 0 при → ∞.Устремим к бесконечности и рассмотримlim →∞∑︀−1=1( −−1 )−1(︁ −1∏︁1(−1 )=1)︁(ϕ( ))−1 (−1 (ϕ( ))).(2.50)Согласно свойству (B7) −1 (ϕ()) ограничен, поэтому конечность (2.50) выражения зависит от члена∞(︁ ∏︁)︁1.(2.51)(−1 )(ϕ())=1 Кроме того, конечным должен быть член∞∑︁1e(−1 ) .((−1) )(ϕ( ))=1 Потребуем, чтобы он был конечным, тогда∫︁ 0∞∑︁0 (ϕ(0)) = −∞ (τ)τ +−∞=11((−1) )(ϕ( ))e(−1 ) ,(2.52)51где∞ (τ) := lim (τ).→∞Если же β – отрезок Z+ конечной длины с максимальным элементом , то = −∞, и мы придем к аналогичному результату:∫︁00 (ϕ(0)) = − (τ)τ +−∞−1∑︁1((−1) )=1(ϕ( ))e(−1 ) ,(2.53)но уже без дополнительных требований на (2.51).
Далее приведем полезноезамечание.Замечание 2.1. Пусть * ∈ β такое, что ({0 , 1 ,..., * −1 }) = {1,2,...,},тогда*∏︁1−1 = 0.(2.54)(−1 )(ϕ( ))=1 Данное замечание следует из свойств матриц , ∈ β. Действительно,( ) однозначно определяет в матрице строку, состоящую из нулей, следовательно, если ({0 , 1 ,..., * −1 }) = {1,2,...,}, то для каждого = 1,..., впроизведении присутствует матрица с нулевой строкой на позиции , а значитпроизведение будет нулевой матрицей. В случае β = Z+ наличие такого *будет являться достаточным условием для того, чтобы выражение (2.54) равнялось нулю, а также упрощает ∞ до * .К сожалению, использование данного представления для конструирования алгебраических аппроксимаций в общем случае представляется достаточно затруднительным, поскольку для разных решений последовательности{ }, ∈ β, и сами множества β будут в общем случае отличаться.
Кроме того,в общем случае затруднительно построить алгебраическую зависимость значений решения в точках , ∈ β от начального значения, а следовательно ивыразить начальное значение как0 (ϕ(0)) = (0 (ϕ(0))),где – некий полином.(2.55)522.5Об аппроксимации для аттрактора, расположенного внутрикарты с нормальными координатамиОригинальную теорему Фояша-Темама можно рассматривать как теоремуоб аппроксимации аттрактора динамической системы на многообразии, глобальный аттрактор, которой находится внутри одной карты, в которой метрическийтензор в каждой точке задается как единичная матрица.
В данном разделе мывсе еще будем рассматривать системы, аттракторы которых находятся в однойкарте, но снимем ограничение на метрический тензор. Теорема Фояша-Темамане изменится для таких систем, однако, как будет показано далее, полиномы,используемые для аппроксимации аттрактора будут зависеть от компонент метрического тензора. Мы будем использовать понятие ковариантной производной,для того, чтобы ее ввести нам понадобится несколько новых объектов и обозначений.Для начала определим символы Кристоффеля: пусть : ℛ() → R –компоненты представления метрического тензора, заданного в этой карте .Введем обозначение(2.56), := .Функции Γ : ℛ() → R, определяемые как1Γ := [−, + , + , ],(2.57)2называются символами Кристоффеля второго рода, посчитанными в карте .Теперь построим канонический изоморфизм Θ, между касательным пространством в произвольной точке -мерного , > 2, риманова многообразияℳ и R , где – карта такая, что ∈ ().
Для произвольного вектора [, , ξ]из ℳ определим Θ, ([, , ξ]) = ξ, = 1,...,. Тогда если 1 , ..., – канонический базис R , то := Θ−1, ( ) – канонический базис в ℳ. Пусть ∞ (ℳ, R) – пространство ∞ скалярных функций на ℳ, тогда каждый вектор[, , ξ] ∈ ℳ может быть отождествлен с линейным оператором[,,ξ] : ∞ (ℳ, R) → ℳ, ϕ → d ϕ([, , ξ]) = [ϕ(), id, (ϕ ∘ −1 )′ (())ξ].(2.58)Через () обозначим оператор, соответствующий . В литературе, посвященной дифференциальной геометрии, обычно используют обозначение () и для53 , несмотря на то, что формально это разные объекты, хотя и изоморфные.Пусть – (1 6 6 − 1) векторное поле на ℳ, тогда его можно написать в виде () = [, , (())] = [, , (()) ] =: (())[, , ] = (()) ().(2.59)Далее индексы , , употребляемые в выражениях с тензорами, следует считатьотдельными от , , использованных нами для обозначения классов гладкости.Пусть имеется ∈ ℳ, = (), где ∈ ().Тогда + Γ (2.60)∇ :=называется ковариантной производной по в карте , а выражение∇ () := ∇ () называется ковариантной производной векторного поля по направлению в точке .
Поскольку ковариантная производная векторного поля является векторным полем, можно определить ковариантныепроизводные порядка 2, 3 и т.д..Векторное поле является тензорным полем типа (1, 0). Операция ковариантного дифференцирования обобщается на тензорные поля любого типа.Пусть имеется (, ) тензорное поле , тогда∑︁ 1 2 ... 1 2 ... ∑︁ 1 ......∇ℓ + 1 2 ... 1 ......
Γ ℓ .1 2 ... =1 2 ... Γ ℓ −ℓ=1=1(2.61)Далее, тензор кривизны имеет вид1 2 ... = Γ − Γ + Γ Γ − Γ Γ .(2.62)В некоторой специальным образом построенной нормальной системе координат(см. [8]) ряд Тейлора для тензорного поля типа (1,0) выглядит как11 (ℎ1 ,...,ℎ ) = (0) + ∇1 (0)ℎ1 + (∇1 2 − 1 2 )(0)ℎ1 ℎ2 + ... (2.63)23Применяя операцию поднятия индексов, получаем11 (ℎ1 ,...,ℎ ) = (0) + ∇1 (0)ℎ1 + (∇1 2 − )(0)ℎ1 ℎ2 + ...
(2.64)1 2 23Пусть имеется дифференциальное уравнение, заданное на многообразииϕ̇() = (ϕ()).(2.65)54Рассмотрим данное уравнение в нормальной системе координат.˙ () = ( )(2.66)Правую часть можно представить как ряд (2.64), который зависит от метрического тензора. Следовательно, изменяя метрический тензор, мы можемизменять форму траекторий решения, а если у динамической системы, порожденной данным уравнением есть аттрактор, то и его форму. В качествеметрического тензора, в частности, можно взять тензор вида () = δ () , = (1 , 2 ,..., ),(2.67)где – функция Ляпунова. В случае такого метрического тензора мы получаемаппроксимацию, которая зависит от частных производных функции Ляпунова всех порядков в начале координат, рассмотрим, например, линейный членданного разложения: 1 +Γ+ [−, + , + , ])ℎ)ℎ=(21= ( − δ − [− δ + δ + δ ] )ℎ2 1 ℎ−δ[−+]ℎ+δ ℎ=2 1 =ℎ − ℎ .2 ∇1 ()ℎ1 = (Таким образом, по сравнению с рядом Тейлора с единичным метрическим тензором, линейный член зависит не только от частных производных векторногополя, но и от производной функции Ляпунова в силу системы.55Пример 2.1.
В качетсве примера снова приведем систему Лоренца. Будем использовать метрический тензор, предложенный в работе [18]:11 (1 , 2 , 3 ) = 1 + 4(0.03)2 ((1 )2 − 13.4),1 − 20.021),(12 ( , , ) = 21 ( , , ) = −21 − 0.01(1 )2 (1 + (1 − 2 )2 ) 120.02510.0521 2 31 2 313 ( , , ) = 31 ( , , ) = −2−21 + 0.001(1 )21 + 0.005(2 )212312322 (1 , 2 , 3 ) = 1,0.01123 ( , , ) = 32 ( , , ) = 2,1 + 0.001(1 )20.03(3 − 44.92)0.004(1 − 2 )21 2 333 ( , , ) = 1 ++.1 + 0.001(3 − 44.92)2 1 + 0.005(1 − 2 )2123123В точке (0, 0, 0) символы Кристоффеля принимают следующие значения:Γ111 = 0; Γ112 = Γ121 = 0; Γ113 = Γ131 = 0; Γ122 = 0; Γ123 = Γ132 = −0.169691; Γ133 = 0;Γ211 = 0; Γ212 = Γ221 = 0; Γ213 = Γ231 = 0.06; Γ222 = 0; Γ223 = Γ232 = 0; Γ233 = 0;Γ311 = −0.0903423; Γ312 = Γ321 = −0.0722739; Γ313 = Γ331 = 0; Γ322 = 0;Γ323 = Γ332 = 0;Γ333 = −0.00302897.Как видно, в данной точке система не является нормальной, но близка к этому, в нашем численном эксперименте мы будем считать ее нормальной.
Послеперехода к системе координат, описанной в [8] мы имеем аттрактор Лоренца,который выглядит как показано на рисунке 2.3. На рисунках 2.4, 2.5 показаныаппроксимации глобального ℬ-аттрактора.56Вид 1Вид 2Рисунок 2.3 — Аттрактор ЛоренцаВид 1Вид 2Рисунок 2.4 — Аппроксимация аттрактора Лоренца при N=157Вид 1Вид 2Рисунок 2.5 — Аппроксимация аттрактора Лоренца при N=258Глава 3. Некоторые вопросы стратификации алгебраическихмножествСтратификация – разбиение подмножества многообразия ℳ на непересекающиеся подмногообразия ℳ, называемые стратами, по определеннымправилам, подробно описанным ниже. Основные элементы теории стратификации изложены в [40, 45, 46].
В контексте теории динамических системстратификация может быть интересна тем, что позволяет описывать структуру аттракторов с помощью изучения стратификации самих аттракторов, либоих аппроксимаций (например, если точная форма аттрактора неизвестна илислишком сложна для изучения).3.1Стратификация Уитни в пространстве R2Перейдем теперь непосредственно к описанию стратификации (см. [40,45,46]). Стратификацией множества ⊂ R называется разбиение на связныегладкие подмногообразия { }∈ пространства R такие, что набор { }∈локально конечен в каждой точке (то есть для любой точки ∈ верно,что существует некоторая ее окрестность, которая пересекает лишь конечноеподмножество { }∈ ). Множество здесь – некоторое множество индексов.Элементы набора { }∈ называются стратами.Рассмотрим стратификацию Уитни множества ⊂ R .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
