Диссертация (1149233), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

не зависит от выбора пред­ставителя класса эквивалентности. Действительно, для произвольного η ∈ [ξ]η = ξ + , ∈ . ([η] ) = [[ξ + ] , , ˜ (ξ + )] = [[ξ] , , ˜ (ξ)], ∈ A.(2.9)Отображение называется лифтом или поднятием отображения ˜ на R /.Система (2.7), рассмотренная на R /, выглядит так:ϕ̇() = (ϕ()).(2.10)Такую же процедеру можно проделать и в случае дискретного времени:ξ+1 = ˜ (ξ ), ∈ T,(2.11)где T ∈ {Z, Z+ }, ˜ : R → R , отображение — -гладкое, > 0.

Огра­ничение на ˜ несколько изменилось: пусть для некоторой аддитивной группы ⊂ R выполняется следующее свойство: ˜ (ξ + ) = ˜ (ξ) + ∀ ∈ , Тогдаможно определить отображение R / → R / следующим образом: ([ξ] ) = [˜ (ξ)] , ξ ∈ R .(2.12)Доказательство корректности определения тривиально. Получаем поднятие си­стемы (2.11) на R /.+1 = ( ), ∈ T,(2.13)({ϕ }∈T , (R /, ρ )),(2.14)где : R / → R /.Пусть имеется системаявляющаяся поднятием системы({ϕ̃ }∈T , (R , ρ)),(2.15)где T ∈ {R, R+ , Z, Z+ }, ρ(ξ, η) = ‖ξ − η‖ для ξ, η ∈ R . Далее мыпокажем, какими свойствами относительно системы (2.15) должна обладатьнекоторая функция ˜ , заданная на R , чтобы ее можно было интерпретироватькак функцию Ляпунова для системы (2.14).

Для начала приведем вспомогатель­ное утверждение, доказательство которого очевидно.35Утверждение 2.1. Если множество компактно в R , то его каноническаяпроекция на R / компактна в R /.Приведем теорему из [29].Теорема 2.3. Пусть имеется непрерывная функция ˜ : R → R, обладающаяследующими свойствами:1. ˜ (ξ + ) = ˜ (ξ) ∀ξ ∈ R , ∈ ;∑︀22. ˜ (ξ) + =1 ( , ξ) → ∞ при ‖ξ‖ → ∞;3. Для любых ξ ∈ R Δ˜ (ξ) 6 0, где Δ˜ (ξ) — первая разность (или произ­водная, в зависимости от T) в силу системы (2.15).Тогда функция () = ˜ (ξ), = [ξ] является функцией Ляпунова для (2.13).Доказательство. Поскольку ˜ непрерывна, то = ˜ −1 () компактнодля любого компактного ⊂ R.

Пусть π( ) — каноническая проекция наR /. Согласно Утверждению 2.1, π() компактно в R /. Таким образом, длялюбого компактного ⊂ R множество −1 () компактно.Аналогично, поскольку каноническая проекция открытого множества открыта,получаем, что множество −1 () открыто для любого , открытого в R, т.е.отображение является непрерывным.Докажем, что для последовательности { } ⊂ R / из ρ(0 , ) → ∞ следует ( ) → ∞. Для любого ξ ∈ R , = [ξ ] существует единственное пред­ставление∑︁∑︁ξ = η + + ,(2.16)=1=1где ∈ [0, 1), ∈ Z и η ⊥ span{1 , ..., }. Поскольку ρ( , 0 ) → ∞, мы∑︀˜имеем ‖η + =1 ‖ → ∞ при → ∞.

Из свойства 2 получаем, что (η +∑︀ ∑︀ ˜=1 ) → ∞ при → ∞. Имеем (ξ ) = (η +=1 ), а также ( ) = ([ξ ] ) = ˜ (ξ ), следовательно, ( ) → ∞ при → ∞.Поскольку —непрерывное отображение, и () → ∞ при ‖‖ → ∞, то ограничено снизу на R /. Т.к. Δ () = Δ˜ (ξ), где = [ξ] , из свойства 3следует, что существует > 0 такое, что для каждого ∈/ ℬ (0)Δ () < 0.Заметим, что отображения перехода между картами атласа A являютсяпросто операторами сдвига, и касательные вектора в каждой карте совпада­ют. Используя эти особенности, можно для цилиндра получить аналоги теорем1.2, 1.3.36Рисунок 2.1 — Фазовый портрет системы, заданной уравнением (2.17)Пример 2.1.

Приведем пример динамической системы, которая может бытьперенесена на плоский цилиндр. Рассмотрим хорошо известную классическуюдинамическую систему, заданную уравнением, описывающим движение некото­рого математического маятника:ξ˙1 = ξ2ξ˙2 = αξ2 − sin ξ1 ,(2.17)где α < 0. Примем параметр α равным − 41 . Фазовый портрет этой системыизображен на рисунке 2.1. Мы имеем векторное поле : R2 → R2 , ˜ (ξ1 , ξ2 ) =(ξ2 , − 41 ξ2 − sin ξ1 ).

Ясно, что правая часть 2π-периодична по ξ1 , т.е. для цикли­ческой аддитивной группы , порожденной элементом (2π, 0), верно, что длялюбого ξ ∈ R2 и для любого ∈ выполняется ˜ (ξ + ) = ˜ (ξ). Следователь­но, система (2.17) может быть рассмотрена как система на плоском цилиндреR2 /. Новая система({ϕ }∈R , (R2 /, ρ ))(2.18)определяется векторным полем1 ([(ξ1 ,ξ2 )] ) = [[(ξ1 ,ξ2 )] , , (ξ2 , − ξ2 − sin ξ1 )], (ξ1 ,ξ2 ) ∈ R2 , ∈ A,4(2.19)где A – атлас R2 /, введенный выше.

У системы, заданной (2.17), есть состо­яния равновесия: {(π, 0)| ∈ Z}. На плоском цилиндре состояния равновесияпереходят в две точки: [(0, 0)] ∈ R2 / и [(π, 0)] ∈ R2 /. Таким образом, бла­годаря теореме 1.1 мы можем заключить, что у системы (2.18) есть глобальныйℬ-аттрактор.372.3Определение проективного многообразияПроективное многообразие — один из важных примеров аналитическихмногообразий. Существует несколько видов построений проективного многооб­разия, один из которых будет описан ниже (подробнее о нем можно прочитатьв [25]). Подробнее рассмотрим множество R+1 ∖{0} с введенным на нем отно­шением эквивалентности∀ξ, η ∈ R+1 ∖{0}, ξ ∼ η ⇔ ∃λ ∈ R, λ ̸= 0 : ξ = λη.(2.20)Полученное фактормножество обозначим через R и введем на нем структурумногообразия, для этого построим атлас.Рассмотрим в R+1 плоскость ℰ1 = {ξ ∈ R+1 ∖{0}|ξ = (1,ξ2 ,...,ξ+1 )}.

Длялюбого вектора ξ = (ξ1 ,...,ξ+1 ), ξ1 ̸= 0, существует такое ∈ R, что ξ ∈ ℰ1 ,а именно = ξ11 . Следовательно, каждому такому вектору ξ с ненулевой пер­вой координатой можно сопоставить точку ˜(ξ) плоскости ℰ1 с координатами+12( ξξ1 , ..., ξξ1 ). Заметим, что если ξ ∼ η, то ˜(ξ) = ˜(η). Таким образом, каждомуклассу эквивалентности [ξ], ξ1 ̸= 0 можно сопоставить точку ˜(ξ), и данная точ­ка не зависит от представителя данного класса. Итак, мы имеем отображение1 : {[ξ], ξ ∈ R+1 ∖{0}|ξ1 ̸= 0} → ℰ1 .

Точки, для которых ξ1 = 0, называютсябесконечно удаленными точками. Набор бесконечно удаленных точек называ­ется экватором. Аналогичным образом определяются отображения 2 , ..., +1 ,т.е. ( ) = {[ξ], ξ ∈ R+1 ∖{0}|ξ ̸= 0}, а ℛ( ) = ℰ , = 1,..., + 1.Утверждение 2.2. Отображения 1 , ..., +1 образуют -мерный аналитиче­ский атлас A = { }+1=1 .Доказательство. Покажем это, проверив свойства (AT1)-(AT3) из опре­деления 2.1.(AT1) Из построения отображений 1 ,...,+1 видно, что каждый классэквивалентности по отношению (2.20) входит хотя бы в одну из областейопределения (1 ), ..., (+1 ). Действительно, пусть существует класс экви­валентности [ξ] ∈ R , для которого это не так, тогда ξ1 = 0, ..., ξ+1 = 0,тогда ξ ∈/ R+1 ∖{0}, тогда [ξ] ∈/ R , противоречие.В следующих двух свойствах предположим, что < , , = 1,..., + 1, случай,когда < , рассматривается аналогично.38(AT2) Для любых , = 1,...,+1, (( )∩( )) = R ∖{(λ1 ,...,λ−1 ,0,λ+1 ,...,λR, = 1,2,..., − 1, + 1,..., − 1, + 1,..., + 1} открыто в R ;(AT3) Рассмотрим отображение перехода ψ, = ∘ ( )−1 , где , =1,...,+1, ̸= и (ψ, ) = (( )∩( )).

Рассмотрим точку ∈ (ψ, ). То­гда = ([ξ]) для некоторого класса эквивалентности [ξ], и верно следующее:=(ξ−1 ξ+1ξ+1ξ1,...,,,...,),ξξ ξξпри этом в карте класс эквивалентности [ξ] имеет следущий вид:ξ1ξ−1 ξ+1ξ+1 = ( ,..., , ,..., ).ξξξξОтображение ψ, действует следующим образом:ξ1ξ−1 ξ+1ξ+1ξ1ξ−1 ξ+1ξ+1( ,..., , ,..., ) → ( ,..., , ,..., ).ξξξξξξξξТаким образом,−1 +1 1 +11ψ, ( ,...., ) = ( ,..., , ,..., , , ,..., ) 1(2.21)для любых ∈ (ψ, ). Заметим, что ψ, – вещественно аналитическая функ­ция на своей области определения.Итак,множество R , снабженное атласом { }, = 1,..., + 1, является аналити­ческим -мерным многообразием. Это многообразие называется проективныммногообразием.

Введем следующее обозначения:{︃ − 1, < ˜(, ) =, > ,{︃˜(, ) =, < ( + 1) − 1, > ( + 1).Также, за e , = 1,..., обозначим вектор с единицей на позиции и с нулямина всех остальных позициях.Утверждение 2.3. Отображение ψ, представляется в видеψ, () =1˜(,)˜, + e˜(,) ),((2.22)39где ∈ (ψ, ), , = 1,2,...,, ̸= . При этом для < ⎞⎛0 ... ...0⎟⎜ −1⎜0 ... ...0 ⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜ 0 ... 00...0⎟⎜′⎟⎜,˜, = ⎜ 0 ...

0⎟,0...0⎟⎜⎟⎜⎜ 0 ...... 0 ⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜ 0 ......0⎠⎝−0 ...... 0′где −1 – единичная матрица ( − 1) × ( − 1); ,– ( − ) × ( − + 1) матрицас единицами на позициях (, + 1), = 1,2,...,( − ) и нулями на остальныхпозициях; − – единичная матрица ( − ) × ( − ).Для > имеет место представление⎛⎞0 ...... 0⎜ −1⎟⎜⎟0......0⎜⎟⎜⎟⎜ 0 ...... 0 ⎟⎜⎟⎜⎟˜, = ⎜ 0 ... 0⎟,0...0⎜⎟′′⎜⎟,⎜ 0 ... 0⎟0...0⎜⎟⎜⎟⎜ 0 ...⎟...0⎝− ⎠0 ...... 0′′где −1 – единичная ( − 1) × ( − 1) матрица; ,– ( − − 1) × ( − )матрица с единицами на позициях (,), = 1,2,...,( − ); − – единичная( − + 1) × ( − + 1) матрица.Доказательство. Прямое вычисление показывает, что правая часть ра­венства (2.22) равна правой части равенства (2.21).Пример 2.1.

Рассмотрим две карты из атласа R 5 : карту 2 и 4 . Рассмотримточку [ξ] ∈ R 5 , ξ = (ξ1 , ξ2 ,ξ3 , ξ4 , ξ5 , ξ6 ) ∈ R6 . Пусть [ξ] ∈ (2 ) ∩ (4 ), тогдаξ1 ξ 3 ξ4 ξ5 ξ62 (ξ) = ( 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ) =: ,ξ ξ ξ ξ ξξ1 ξ 2 ξ3 ξ5 ξ64 (ξ) = ( 4 , 4 , 4 , 4 , 2 ) =: .ξ ξ ξ ξ ξ40Рассмотрим, как выглядит отображение перехода ψ2,4 :1 1 2 4 5ψ2,4 () = ( 3 , 3 , 3 , 3 , 3 ) ⎛ 1 0 0 0 0⎜⎜0 0 0 0 01 ⎜= 3 (⎜0 1 0 0 0 ⎜⎜⎝0 0 0 1 00 0 0 0 1⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎠⎝12345⎞⎛⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟+⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎠ ⎝01000⎞⎟⎟⎟⎟).⎟⎟⎠Следующие два утверждения известны, приведем их для полноты.Утверждение 2.4. Многообразие R является хаусдорфововым.Доказательство. Действительно, пусть две точки [ξ̃], [η̃], ξ̃ =(ξ1 , ξ2 , ..., ξ+1 ), η̃ = (η1 , η2 , ..., η+1 ) находятся в области определения однойкарты, и пусть, не теряя общности, это карта 1 .

Тогда возьмем за окрестности223+13+1[ξ̃], [η̃] множества {[ξ] = [(ξ1 , ξ2 ,...,ξ+1 )]|( ξξ1 − ξ̃ξ̃1 )2 +( ξξ1 − ξ̃ξ̃1 )2 +...+( ξξ1 − ξ̃ξ̃1 )2 <2323+1+1ε}, {[η] = [(η1 , η2 ,...,η+1 )]|( ηη1 − η̃η̃1 )2 + ( ηη1 − η̃η̃1 )2 + ... + ( ηη1 − η̃η̃1 )2 < ε}соответственно. Можно подобрать ε таким образом, чтобы окрестности не пере­секались. Если [ξ̃], [η̃] находятся в разных картах, то они, очевидно, разделенынепересекающимися окрестностями.Утверждение 2.5. Многообразие R является компактным.Доказательство.

Рассмотрим множества12( )ε := {[(ξ , ξ ,...,ξ(+1))]|+1∑︁ξ = 1, |ξ | > ε}, = 1,2... + 1,(2.23)=1где ε > 0 – достаточно мало. Ясно, чтоR =+1⋃︁( ),(2.24)=1то есть R является объединением конечного количества компактных мно­жеств.Опишемважное соотношение между R и . Каждой точке ξ ∈ соответствуеткласс эквивалентности [ξ] ∈ R . Обозначим отображение, задающее это со­ответствие через π. Отображение π не биективно, поскольку для любой точки41[ξ] ∈ R , ξ ∈ , верно π−1 ([ξ]) = {ξ, −ξ}. Отсюда можно заключить, чтосуществует биективное аналитическое соответствие между / ∼, здесь через∼ обозначено новое соотношение эквивалентностиξ ∼ η ⇔ ξ = η, ∈ {1, −1}.Это соответствие можно использовать для того, чтобы ввести метрику на R .Введем на R метрический тензор.

Введем следующее обозначение:(︀)︀−1(︀)︀−1⟨, ⟩[ξ] R := ⟨ dξ π (), dξ π ()⟩R .(2.25)Необходимо проверить (это достаточно легко, мы не будем здесь приводитьдетали), что(︀)︀−1(︀)︀−1(︀)︀−1(︀)︀−1⟨ dξ π (), dξ π ()⟩R = ⟨ d−ξ π (), d−ξ π ()⟩R .С помощью соотношения (2.25) можно задать реализацию метрического тензо­ра во всех картах R . Метрика же на R задается как стандартная метрикана :ρR ([ξ], [η]) = ρ (ξ, η).(2.26)Итак, R с метрикой ρR является аналитическим -мерным мет­рическим многообразием, и, следовательно, для него определены понятиядинамической системы и аттрактора.2.4Динамические сиcтемы на проективном многообразииРассмотрение динамической системы на проективном многообразии вчастности дает возможность удобного анализа локализации аттракторов ис­ходной системы.

Характеристики

Список файлов диссертации