Диссертация (1149233), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Легко видеть, что отношение28 -совместимости (аналитической совместимости) атласов является отношени­ем эквивалентности. -гладкий (аналитический) атлас A размерности намногообразии ℳ называется максимальным -гладким (аналитическим) атла­сом для -мерного -гладкого (аналитического) атласа A на многообразии ℳ,если любая -мерная -совместимая (аналитически совместимая) с A картапринадлежит A . Можно легко показать, что такой атлас будет единствен­ным. Пара (ℳ, A ) называется -мерным -гладким (аналитическим)многообразием. Семейство множеств τ = {()| ∈ A } может рассмат­риваться как база топологии. Топология на ℳ, порожденная τ, называетсяканонической топологией ℳ и обозначается как τcan . Максимальный атлас —конструкция, удобная для некоторых определений, но на практике при работе смногообразиями чаще пользуются обычными атласами.

В частности, посколькупо заданному атласу A максимальный атлас A определяется однозначно,для того чтобы определить многообразие, достаточно указать A, а не A .Определение 2.3. Подмножество ℳ -гладкого, > 1, (аналитического)-мерного многообразия называется -мерным, 6 , -гладким (ана­литическим) подмногообразием , если оно является -мерным -гладким(аналитическим) многообразием с индуцированной канонической топологией.В этой работе мы будем рассматривать только хаусдорфовы многообра­зия.Определение 2.4.

Многообразие ℳ называется хаусдорфовым, если любыедве точки , из ℳ имеют непересекающиеся окрестности.Далее считаем, что ℳ — -мерное хаусдорфово многообразие.В этой главе мы будем рассматривать динамические системы, кото­рые порождены дифференциальными уравнениями, поэтому вкратце приведемнекоторую информацию относительного того, когда такое порождение воз­можно. Для начала введем понятие касательного вектора.

Пусть ∈ ℳ ипусть , – карты такие, что ∈ () ∩ (). Тогда будем говорить, что(, , ) ∼ (, , ), где , ∈ R , если = ( ∘ −1 )′ (()). Отношение ∼является отношением эквивалентности. Класс эквивалентности [, , ] назы­вается касательным вектором к ℳ в точке . Множество всех касательныхвекторов в точке является -мерным векторным пространством с операци­ей сложения, определенной как [, , ] + [, , ] = [, , + ], и операцией29умножения на скаляр, определенной как [, , ] = [, , ], ∈ R.

Данноепространство называется касательным и обозначается через ℳ. Дизъюнкт­ное объединение таких пространств называется касательным расслоением иобозначается как ℳ:⋃︁ ℳ. ℳ :=∈ℳКаноническая проекция из ℳ в ℳ обозначается через π ℳ и любомуэлементу из ℳ сопоставляет точку на ℳ. Если ℳ — -гладкое, > 1, (ана­литическое) многообразие, то можно показать, что ℳ является 2-мерным −1 -гладким (аналитическим) хаусдорфовым многообразием.Теперь введем еще одно важное понятие – понятие дифференциала. Дляначала определим дифференцируемость и заодно понятие аналитичностиотображения между многообразиями, поскольку оно опирается на те же объ­екты, что и дифференцируемость, и понадобится нам дальше.

Пусть , ℳ – -гладкие, > 1, (аналитические) и -мерные многообразия соответственно.Тогда отображение ϕ : ℳ → называется -дифференцируемым, 1 6 6 ,(аналитическим), если для любой точки ∈ ℳ верно, что для любых карт и , заданных в окрестности и ϕ() соответственно отображение ∘ ϕ ∘ −1 : (() ∩ ϕ−1 (())) → ℛ()является -дифференцируемым (аналитическим) как отображение из откры­того подмножества R в открытое подмножество R .

Пусть ϕ : ℳ → —отображение класса 1 . Дифференциалом ϕ в точке называется линейноеотображениеd ϕ([, , ]) = [ϕ(), , ( ∘ ϕ ∘ −1 )′ (())],где – карта многообразия ℳ вблизи , – карта многообразия вблизиϕ() (можно показать, что данное определение не зависит от выбора карт).В частности, если ℐ ⊂ R – некий открытый интервал и ϕ : ℐ → ℳ, то че­рез ϕ̇() мы будем обозначать d ϕ(). В данном случае ℐ рассматривается какодномерное аналитическое многообразие, атлас которого состоит из одной кар­ты: A = {idℐ }. Ясно, что такое многообразие будет аналитическим, посколькуединственное отображение перехода в этом атласе это idℐ ∘ id−1ℐ = idℐ , которое,очевидно, аналитическое.

Векторным полем на ℳ называется отображение30 : ℳ → ℳ такое, что π ℳ ∘ = idℳ . 1 -гладкая кривая ϕ : (,) → ℳ на­зывается интегральной кривой векторного поля с началом при = 0, еслиϕ̇() = (ϕ())для любого ∈ (, ), 0 ∈ (, ) и ϕ(0) = .Теорема Пикара-Линделефа утверждает, что если является -гладким(аналитическим), то для любого ∈ ℳ существует некий интервал ℐ, 0 ∈ℐ, для которого существует единственная +1 -гладкая (аналитическая) инте­гральная кривая ϕ с начальным условием ϕ(0) = . Обозначим максимальныйпо включению из таких интервалов через ℐ () и положим := {(, ) ∈R × ℳ| ∈ ℐ ()}.

Обозначим через ϕ(, ) значение интегральной кривойϕ в момент с начальным условием . Отображение ϕ(·, ) : ℐ () → ℳназывают максимальным решением задачи Кошиϕ̇() = (ϕ()),ϕ(0) = .Если ℐ () = R, то говорят, что ϕ – поток. Нетрудно видеть, что в случаеℐ () = R ∀ ∈ ℳ данное отображание соответствует отображению из опре­деления 1.1 при T = R.

Любое 1 векторное поле на компактном аналитическомхаусдорфовом многообразии порождает поток.Важным классом многообразий являются римановы многообразия – этотакие многообразия, на которых задан метрический тензор, что позволяетвводить на них метрику. Более подробно, пусть на -гладком, > 2, (ана­литическом) -мерном связном многообразии ℳ задано отображение, котороепаре каждой (, ), где – точка многообразия, а – карта, сопоставляет сим­метричный положительно определенный оператор такой, что:1. отображение : () → ℒ(R , R ) является -гладким (аналити­ческим), где ℒ(R , R ) – пространство линейных операторов из R вR ;2.

[( ∘ −1 )′ (())] ()[( ∘ −1 )′ (())] = () для любых двух карт, в окрестности .Если данные условия выполнены, говорят, что на многообразии задан метриче­ский тензор , а (·) – реализация данного тензора в карте . Многообразиеℳ оснащенное называется -гладким (аналитическим) римановым мно­гообразием. Теперь определим внутреннее произведение двух касательных31векторов [, , ], [, , ] из ℳ:⟨[, , ], [, , ]⟩ ℳ := ⟨ (), ⟩R ,где ⟨·, ·⟩R – скалярное произведение из R .

Норма касательного вектора[, , ] ∈ ℳ определяется аналогично стандартной норме в R :1/2‖[, , ]‖ ℳ := ⟨[, , ], [, , ]⟩ ℳ .Можно показать, что это определение не зависит от выбора карты , где ∈(). Введем длину гладкой кривой на ℳ. Если : [, ] → ℳ – 1 -гладкаякривая на ℳ, то ее длиной называется величина∫︁ () :=‖()‖˙ ℳ .Далее, кусочно-гладкой кривой называется непрерывное отображение : [,] →ℳ, для которого существует конечный такой набор точек = 1 < 2 < ... < = , что отображение |( ,+1 ) ( = 1,..., − 1) является 1 -гладким.

Длинойкусочно-гладкой кривой называется величина() :=−1∑︁(|( ,+1 ) ).=1Теперь для любых , ∈ ℳ обозначим через множество кусочно-гладкихкривых из точки в точку . Можно показать, что если ℳ– -гладкое, > 1(аналитическое) связное многообразие, такое множество непусто. Тогда пустьρ(,) := inf ()(2.1)∈Можно показать, что ρ является метрикой на ℳ. Такая метрика называется гео­дезической. Топология τρ , порожденная метрикой ρ, эквивалентна τcan . Итак,мы вкратце напомнили каким образом векторное поле на римановом многооб­разии задает динамическую систему. Ниже мы дадим определение функцииЛяпунова на многообразии – конструкции, которая часто позволяет установитьсуществование глобального ℬ-аттрактора динамической системы.

Итак, мы рас­сматриваем динамическую систему({ϕ }∈T , (ℳ, ρ)),(2.2)32где ℳ – гладкое риманово многообразие (класс гладкости здесь не важен) сметрикой ρ, индуцированной геодезическим расстоянием. Поскольку конструк­ции, которые мы хотим здесь привести, не сильно отличаются для дискретногои непрерывного времени, положим T ∈ {R, R+ , Z, Z+ } и при необходимостибудем уточнять, какое именно время мы используем.Для функции : ℳ → R и системы (2.2) введем следующее обозначение:Δ () := (ϕ1 ()) − () ∀ ∈ ℳ,(2.3)если T ∈ {Z, Z+ }, а —непрерывная функция и (ϕ ()) ⃒⃒Δ () :=⃒ ,=0(2.4)если T ∈ {R, R+ }, а —гладкая функция.

Величина, стоящая в правой частичасто называется первой разностью в силу системы (2.2) при T ∈ {Z, Z+ } (вслучае (2.3)) и производной в силу системы (2.2) при T ∈ {R, R+ } (в слу­чае (2.4)).Определение 2.5. Функция : ℳ → R, непрерывная в случае T ∈ {Z, Z+ }и гладкая в случае T ∈ {R, R+ }, называется функцией Ляпунова для системы(2.2), если выполнено:1. Для любого компактного множества ⊂ R множество −1 () ⊂ℳ компактно, а также ограничено снизу на ℳ;2. Существует > 0 такое, что Δ () 6 0 для ∈/ ℬ (0);3.

Динамическая система (2.2) не имеет движений ϕ(·) () таких, чтоϕ () ∈/ ℬ (0) и Δ (ϕ ()) = 0 ∀ > 0 , ∈ T.Теорема 2.1. Если для динамической системы (2.2) существует функцияЛяпунова, то она ℬ-диссипативна.Теорема 2.2. Если динамическая системы (2.2) ℬ-диссипативна, то у нееимеется глобальный ℬ-аттрактор.Доказательство. См.

[9]332.2Существование глобального ℬ-аттрактора на плоскомцилиндреПусть {1 , ..., } — набор линейно независимых векторов из R ,∑︀ ∈ N, 6 . Рассмотрим дискретную группу := { =1 , ∈ Z},состоящую из классов эквивалентности по отношениюξ ∼ η ⇔ ξ − η ∈ , ξ, η ∈ R .(2.5)Договоримся обозначать класс эквивалентности для ξ ∈ R как [ξ] (буква" "в индексе от слова "flat").Пусть π - каноническая проекция из R в R / (т.е. π сопоставляет вектору ξиз R его класс эквивалентности [ξ] ).Тогда A = {π−1 | : π() → , открыто в R , π : → R / инъективно}является аналитическим атласом для R /.Определение 2.6.

Фактормножество R /, снабженное атласом A, назы­вается плоским цилиндром.Метрический тензор на R / можно ввести так: для любой карты ∈ Aположим = id. Тогда метрика индуцированная геодезическим расстояниемна плоском цилиндре выглядит следующим образом:ρ (, ) =infξ∈R ,=[ξ]η∈R ,=[η]‖ξ − η‖,(2.6)где , ∈ R /, ‖ξ‖ задается через скалярное произведение в R , т.е. ‖ξ‖ =(ξ,ξ)1/2 . Далее мы покажем, как некоторые системы, заданные на R , могутбыть рассмотрены на плоском цилиндре. Рассмотрим динамическую систему,заданную уравнениемξ̇ = ˜ (ξ),(2.7)где отображение ˜ : R → R и ˜ является -гладким, > 0. Пусть длянекоторой аддитивной группы ⊂ R выполняется следующее свойство: ˜ (ξ +) = ˜ (ξ) ∀ ∈ . Тогда можно определить отображение : R / → (R /)следующим образом: ([ξ] ) = [[ξ] , , ˜ (ξ)], ξ ∈ R , ∈ A,(2.8)34где выражение справа обозначает касательный вектор к многообразию в точке.Определение отображения в (2.8) корректно, т.к.

Характеристики

Список файлов диссертации