Диссертация (1149233)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиМалых Артем ЕвгеньевичАлгебраическая аппроксимация глобальныхаттракторов динамических систем на многообразиии некоторые вопросы ее стратификацииСпециальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель — докторфизико-математических наук,профессор Ф.РайтманнСанкт-Петербург — 20182ОглавлениеСтр.Введение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1. Аппроксимация глобальных ℬ-аттракторовдинамических систем в конечномерном линейномпространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Основные понятия теории динамических систем . . . . . .1.2 Оригинальная теорема Фояша-Темама . . . . . . .
. . . .1.3 Система Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Метод Фояша-Темама для дискретных систем . . . . . . ................3.....7791517.....2727333741.52..5858.62.71Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .73Список литературы74Глава 2. Аппроксимация глобальных ℬ-аттракторов длясистем на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Основные понятия, связанные с многообразиями . . . . . . . . .2.2 Существование глобального ℬ-аттрактора на плоском цилиндре2.3 Определение проективного многообразия . . . . . . . .
. . . . .2.4 Динамические сиcтемы на проективном многообразии . . . . . .2.5 Об аппроксимации для аттрактора, расположенного внутрикарты с нормальными координатами . . . . . . . . . . . . . . .Глава 3. Некоторые вопросы стратификации алгебраическихмножеств . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Стратификация Уитни в пространстве R2 . . . . . . . . . . . . .3.2 Алгоритм стратификации Уитни алгебраического множества вдвумерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Стратификация Уитни полуаналитических множеств намногообразиях . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3ВведениеАктуальность темы. Данная работа посвящена изучению аппроксимаций глобальных ℬ-аттракторов динамических систем с помощью алгебраических множеств.Динамические системы являются распространенной математической моделью в различных областях науки и техники, в том числе в физике,промышленности, метеорологии.
При этом важную роль играет существованиеглобальных аттракторов и их аппроксимация. В данной работе рассматривается аппроксимация алгебраическими множествами. Важным преимуществомалгебраических множеств является легкость их представления для компьютерных вычислений (как символьных, так и численных).Часто встречается ситуация, когда динамическую систему, моделирующую, например, механический процесс или систему управления, удобнорассматривать не в евклидовом пространстве R , а на общем многообразии.Среди многообразий, на которых заданы такие системы, часто встречаютсяплоский цилиндр и проективное многообразие.
Рассмотрение систем на многообразии, в частности, позволяет получить локализацию глобального аттрактора.Кроме аппроксимации глобального аттрактора часто возникает необходимость получить дополнительную информацию о его структуре.
Одним изинструментов для этого является стратификация Уитни.Степень разработанности темы. Для аппроксимации глобальных аттракторов динамических систем имеются разные подходы. Один из них —применение функций Ляпунова и поверхностей без контакта с векторным полем(см. [6, 27]). Этот метод в применении к динамическим системам на цилиндре изложен в [29]. При использовании такой аппроксимации и локализацииаттрактора можно получить оценки различных размерностных характеристикданного аттрактора (см. [9,11]). Для аттракторов диссипативных динамическихсистем в бесконечномерном фазовом пространстве можно построить конечномерные проекторы на конечномерные пространства (см.
[37]). Нередко такимиаттракторами являются глобально устойчивые периодические или почти периодические решения системы (см. [7, 21]).Второй подход при аппроксимации аттракторов заключается в построении инерциальных многообразий (см. [12]). Для некоторых классов аттракторов4существование инерциальных многообразий доказано.
Недостаток данного подхода заключается в том, что аппроксимирующие множества являются гладкимимногообразиями, тогда как аттракторы могут быть фрактальнымии множествами. Поэтому в работах [13, 14, 30] изложен новый подход аппроксимацииалгебраическими и аналитическими множествами. Такие множества в общемслучае уже не являются гладкими многообразиями и могут содержать сингулярные точки.В работах [13, 14] и в других работах тех же авторов рассмотреныэволюционные системы в линейных (конечномерных и бесконечномерных) пространствах.Первые результаты распространения этих результатов на системы, заданные на многообразиях, изложены в [28, 34].
В частности, в [26] описанавозможность стратификации алгебраических множеств. В данной работе этиисследования продолжаются.Цель и задачи работы. Целью работы является расширение результатов, полученных Фояшем и Темамом (см. [13]), в двух направлениях. Первоенаправление — получение аппроксимационной теоремы для динамическихсистем с дискретным временем на R , второе направление — получение результатов, позволяющих аппроксимировать динамические системы, заданныена многообразии.Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертационнойработе, являются новыми.Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные аппроксимационные результаты могут бытьиспользованы для изучения аттракторов, возникающих при моделировании различных физических систем.Методология и методы исследования. В работе применяются:– элементы теории аналитических и алгебраических функций и множеств;– аппарат проективной геометрии для аппроксимации аттрактора;– цилиндрическая алгебраическая декомпозиция как метод стратификации;– численные аппроксимации, а также символьные вычисления, выполненые в пакете Wolfram Mathematica.5Положения, выносимые на защиту.1. Получена адаптация для систем с дискретным временем аппроксимационной теоремы Фояша-Темама (см.
[13]).2. Получено интегральное представление точки, лежащей на глобальноматтракторе динамической системы, заданной на проективном многообразии.3. Предложен алгоритм построения стратификации алгебраического множества в двумерном евклидовом пространстве на основе цилиндрической алгебраической аппроксимации.Степень достоверности и апробация результатов. Правильностьадаптации для динамических систем с дискретным временем аппроксимационной теоремы Фояша-Темама подтверждается численным экспериментом,проведенным для аппроксимации глобального аттрактора системы Хенона(см. [19]).
Правильность работы алгоритма стратификации алгебраическогомножества подтверждается экспериментом, в ходе которого реализация предложенного алгоритма на языке Wolfram Mathematica применяется к двумалгебраическим множествам, в том числе к алгебраической аппроксимации аттрактора системы Хенона.Публикации на тему диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах (см. [24, 26, 33, 34]), в том числе вдвух статьях.
Статьи [24, 34] опубликованы в изданиях, индексируемых системой Scopus.Вклад диссертанта в совместные работы. В работе [26] соавторампринадлежит постановка задачи, а также текст, диссертанту принадлежаттеоретические результаты. В работе [34] первому соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, второму соавтору принадлежитчисленное моделирование, а также изложение оригинальной теоремы ФояшаТемама, диссертанту принадлежат теоретические результаты. В работе [24]первому соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи,второму соавтору принадлежат результаты, касающиеся оценки размерности,диссертанту принадлежит алгоритм стратификации.Структура работы.
В первой главе мы даем основные определения изтеории динамических систем в метрических пространствах. Далее в этой главеизложено доказательство теоремы Фояша-Темама для того, чтобы в дальнейших ее модификациях ссылаться на данное доказательство. Также приведен6пример применения данной теоремы к системе Лоренца. Основным результатомпервой главы является модификация теоремы Фояша-Темама для динамических систем с дискретным временем, а также применение данной модификациик аппроксимации глобального ℬ-аттрактора системы Хенона (см.
[19]).Вторая глава посвящена рассмотрению динамических систем на многообразиях. В начале главы мы напоминаем вкратце основные определения,связанные с этой темой, после чего рассматриваем один из простейших случаевмногообразия – плоский цилиндр для того, чтобы дать конкретный примермногообразия, которое может выступать в качестве фазового пространства.Далее мы приводим основные определения, связанные с проективным многообразием, а также приводим пример доопределения динамической системы,заданной на R до системы, заданной на проективном многообразии. Основнымрезультатом данной главы является интегральное представление точки, лежащей на аттракторе аналогичное тому, что встречается в оригинальной теоремеФояша-Темама.
Также во второй главе мы рассматриваем модификацию теоремы Фояша-Темама для случая, когда аттрактор находится на многообразиивнутри области определения единственной карты.В третьей главе мы рассматриваем некоторые вопросы, связанные состратификацией: даем основные определения, рассматриваем примеры стратификации. Основной результат данной главы – алгоритм стратификации дляслучая алгебраического множества, лежащего в R2 .Объем и структура работы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
