Диссертация (1149223), страница 5
Текст из файла (страница 5)
H + H ⊂ H). Такжебудем говорить, что множество H замкнуто относительно вертикальных сдвигов, если длялюбых c ∈ R и h ∈ H будет c + h ∈ H. Обозначим (−H) = {−h | h ∈ H}.20Определение 1.4.1. Функция f : X → R называется абстрактно выпуклой по отношениюк множеству H (или H–выпуклой), если существует непустое множество U ⊂ H такое, чтоf (x) = sup h(x) ∀x ∈ X.h∈UПри этом будем говорить, что H–выпуклая функция f порождена множеством U .Определение 1.4.2. Функция f : X → R называется абстрактно вогнутой по отношениюк множеству H (или H–вогнутой), если существует непустое множество V ⊂ H такое, чтоf (x) = inf h(x) ∀x ∈ X.h∈VПри этом будем говорить, что H–вогнутая функция f порождена множеством V .Предложение 1.4.1.
Справедливы следующие утверждения:1. Пусть множество H замкнуто относительно сложения, а функции f , g : X → Rявляются H–выпуклыми. Тогда функция f + g также является H–выпуклой.2. Пусть множество H замкнуто относительно вертикальных сдвигов. Тогда для любой H–выпуклой функции f : X → R и c ∈ R функция c + f также H–выпукла.3. Пусть множество H является конусом (т. е. для любых t > 0 и h ∈ H будет th ∈ H),а функция f : X → R является H–выпуклой.
Тогда для любого λ > 0 функция λfявляется H–выпуклой, а для любого λ < 0 функция λf является (−H)–вогнутой.Пусть f : X → R — произвольная функция. Множество supp+ (f, H) = {h ∈ H | f 6 h}называется верхним опорным множеством функции f по отношению к множеству H, амножество supp− (f, H) = {h ∈ H | h 6 f } называется нижним опорным множествомфункции f по отношению к множеству H. Нетрудно проверить, что функция f являетсяH–выпуклой тогда и только тогда, когдаf (x) =h(x) ∀x ∈ X.suph∈supp− (f,H)Аналогичное утверждение справедливо для H–вогнутых функций.Множество ∂ ∗H f (x)={h∈supp− (f, H)|f (x)=h(x)} называется H–субдифференциалом функции f в точке x, а множество ∂ ∗H f (x) = {h ∈ supp+ (f, H) | f (x) =h(x)} называется H–супердифференциалом функции f в точке x.Отметим очевидное необходимое и достаточное условие минимума (максимума), выражаемое в терминах абстрактной выпуклости.
Пусть множество H содержит все постоянные21функции h ≡ c, c ∈ R. Тогда для того чтобы точка x∗ ∈ X была точкой глобального минимума (максимума) функции f необходимо и достаточно, чтобы∗f (x∗ ) ∈ ∂ ∗H f (x) (f (x∗ ) ∈ ∂ H f (x)).Следующие теоремы, указывающие связь между выпуклым анализом и теорией абстрактной выпуклости, послужили основной мотивацией к развитию абстрактного выпуклого анализа.Теорема 1.4.1. Пусть X — нормированное пространство, H = X ∗ .
Тогда функция f : X →R, не равная тождественно +∞ является H–выпуклой тогда и только тогда, когда fявляется пн. сн. сублинейной функцией.Теорема 1.4.2. Пусть X — нормированное пространство, множество H состоит из всехнепрерывных аффинных функций, т. е.H = {h(·) = l(·) + c | l ∈ X ∗ , c ∈ R}.Тогда функция f : X → R, не равная тождественно +∞, является H–выпуклой тогда итолько тогда, когда f является собственной пн. сн. выпуклой функцией.Укажем ещё одну общую теорему об H–выпуклых функциях.Теорема 1.4.3.
Пусть X — компактное метрическое пространство. Предположим, чтомножество H удовлетворяет следующим условиям:1. каждая функция h ∈ H непрерывна на X;2. H является конусом;3. для любых h ∈ H и c < 0 будет h + c ∈ H;4. для каждого z ∈ X существует функция h ∈ H такая, что h(z) = 0, h(x) < 0 длявсех x 6= z и h + δ ∈ H для всех достаточно малых δ > 0.Тогда функция f : X → R ∪ {+∞} является H–выпуклой тогда и только тогда, когдаf полунепрерывна снизу на X.221.5Элементы негладкого анализа и теориимногозначных отображенийПусть X, Y — нормированные пространства, Ω ⊂ X — открытое множество. Пусть S ⊂X — произвольное множество.
Напомним, что отображение F , сопоставляющее каждой точкеx ∈ S некоторое, возможно пустое, подмножество пространства Y называется многозначнымотображением и обозначается F : S ⇒ Y .При исследовании многозначных отображений важную роль играет понятие метрикиХаусдорфа.Определение 1.5.1. Пусть A, B ⊂ X — ограниченые подмножества. ВеличинаρH (A, B) = sup inf kx − yk + sup inf kx − ykx∈A y∈By∈B x∈Aназывается расстоянием Хаусдорфа между множествами A и B. Расстояние Хаусдорфа является метрикой на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства X.Многозначное отображение F : Ω ⇒ Y с ограниченными значениями (т.
е. для любогоx ∈ Ω множество F (x) ограничено) называется непрерывным по Хаусдорфу в точке x ∈ Ω,если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого y ∈ Ω, ky − xk < δ будетρH (F (y), F (x)) < ε. Многозначное отображение F : Ω ⇒ Y называется полунепрерывнымсверху в точке x ∈ Ω, если для любого открытого множества V такого, что F (x) ⊂ Vсуществует окрестность U точки x такая, что для любого y ∈ U будет F (y) ⊂ V .Определение 1.5.2. Пусть F : Ω ⇒ Y — произвольное многозначное отображение с непустыми значениями. Верхним пределом отображения F в точке x называется множествоlim sup F (y) = v ∈ Y lim inf inf kv − zk = 0 .y→xy→xz∈F (y)Напомним, что в случае X = Rn , функция f : Ω → R называется квазидифференцируемой в точке x ∈ Ω, если функция f дифференцируема по направлениям в этой точке исуществует пара выпуклых компактных множеств A, B ⊂ Rd таких, чтоf 0 (x, g) = maxhv, gi + minhw, gi ∀g ∈ Xv∈Aw∈Bили, что эквивалентно, производная по направлениям функции f в точке x представима ввиде разности сублинейных функций.
Пара множеств Df (x) = [A, B] называется квазидифференциалом функции f в точке x. Ясно, что квазидифференциал функции f в точке x неединственен.23Существует несколько неэквивалентных подходов к определению квазидифференцируемости функции, заданной на нормированном пространстве (см. [16, 31, 85, 113, 126]).
Мыбудем использовать следующее определение квазидифференцируемости, являющееся естественным обобщением определения квазидифференцируемости в конечномерном случае.Определение 1.5.3. Функция f : Ω → R называется квазидифферецируемой в точке x ∈Ω, если функция f дифференцируема по направлениям в данной точке и существует паравыпуклых слабо∗ компактных множеств A, B ⊂ X ∗ таких, чтоf 0 (x, g) = max p(g) + min q(g) ∀g ∈ X.p∈Aq∈BПара множеств Df (x) = [A, B] называется квазидифференциалом функции f в точке x.Квазидифференциал является удобным средством для описания необходимых условийэкстремума.Теорема 1.5.1. Пусть функция f : Ω → R квазидифференцируема в точке x∗ ∈ Ω, и пустьx∗ — точка локального минимума (максимума) функции f .
Тогда0 ∈ ∂f (x∗ ) + {q}∀q ∈ ∂f (x∗ )0 ∈ ∂f (x∗ ) + {p}∀p ∈ ∂f (x∗ ) .Замечание 1.5.1. Отметим, что дальнейшим обобщением понятия квазидифференцируемости является понятие экзостера. А именно, говорят, что существует верхний (нижний) экзостер функции f : Ω → R в точке x ∈ Ω, если f дифференцируема по направлениям в точке xи существует семейство E ∗ f (x) (E∗ f (x)) выпуклых компактных подмножеств Rn таких, чтодля любого g ∈ X будетf 0 (x, g) =infmaxhv, gi (f 0 (x, g) =C∈E ∗ f (x) v∈Csupminhw, gi).C∈E∗ f (x) w∈CПроизводная по направлениям (и её обобщения) является одним из основных инструментов исследования негладких экстремальных задач. Однако, в негладком случае производная по направлениям обладает некоторыми существенными недостатками, затрудняющимипостроение эффективных численных методов решения негладких экстремальных задач.
Одним из основных недостатков производной по направлениям является её разрывность, какфункции точки, в негладком случае.Теорема 1.5.2. Пусть X = Rn и функция f : Ω → R дифференцируема по направлениямв некоторой окрестности точки x0 ∈ Ω и предположим, что отображение x → f 0 (x, g)непрерывно в некоторой окрестности точки x0 . Тогда функция f непрерывно дифференцируема в точке x0 .24Очевидным следствием из предыдущей теоремы является тот факт, что квазидифференциальное отображение x → Df (x) не является непрерывным по Хаусдорфу в негладкомслучае.
Для того чтобы добиться непрерывности приходится рассматривать неоднороднородные аппроксимации негладких функций. Одной из самых удобных неоднородных аппроксимаций функции в конечномерном случае, является аппроксимация основанная на кодифференциале.Пусть далее X = Rn .Определение 1.5.4. Функция f : Ω → R называется кодифференцируемой в точке x ∈ Ω,если существует пара выпуклых компактных множеств df (x), df (x) ⊂ Rn+1 таких, что длялюбого допустимого приращения ∆x ∈ Rn (т.
е. co{x, x + ∆x} ⊂ Ω) будетmax (a + hv, ∆xi) +f (x + ∆x) − f (x) =(a,v)∈df (x)min(b + hw, ∆xi) + o(∆x, x),(v,w)∈df (x)где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0. Пара множеств Df (x) = [df (x), df (x)] называется кодифференциалом функции f в точке x, множество df (x) называется гиподифференциалом, амножество df (x) — гипердифференциалом.Очевидно, что кодифференциал функции f в точке x не единственен. В случае кодифференцируемых функций можно выделить содержательный класс функций для которыхкодифференциальное отображение x → Df (x) является непрерывным.Определение 1.5.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
