Диссертация (1149223), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Линейныйнепрерывный оператор i : X → Y называется изоморфизмом нормированных пространств Xи Y , если существует непрерывный обратный линейный оператор i−1 : X → Y , при этомнормированные пространства X и Y называются изоморфными.Множество A ⊂ X называется строго выпуклым, если для любых x, y ∈ A и α ∈(0, 1) будет αx + (1 − α)y ∈ int A, т. е. если граница множества A не содержит отрезков.Нормированное пространство X называется строго выпуклым (или строго нормированным),если любой непустой шар в нем является строго выпуклым множеством.
Нетрудно показать,что пространство X строго выпукло тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольникадля нормы равенство достигается только на пропорциональных элементах, т. е. для любыхx, y ∈ X равенство kx + yk = kxk + kyk равносильно тому, что существует число λ > 0 такое,что x = λy.1.3Элементы выпуклого анализаПусть R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞} — расширенная вещественная прямая. Для любого α ∈ Rположимα + (−∞) = (−∞) + α = −∞,α + (+∞) = (+∞) + α = +∞,α(+∞) = +∞,α(−∞) = −∞ если α > 0,α(+∞) = −∞,α(−∞) = +∞ если α < 0.Мы не будем рассматривать такие выражения, как +∞ + (−∞) или 0(+∞). Пусть f : X →R — произвольная функция, где X — непустое множество.
Как обычно, будем обозначатьdom f = {x ∈ X | f (x) 6= −∞, f (x) 6= +∞} — эффективное множество функции f и epi f ={(x, µ) ∈ X × R | f (x) 6 µ} — надграфик функции f .Пусть множество X снабжено топологией τ . Функция f называется полунепрерывнойснизу (далее пн.
сн.) в точке x ∈ dom f , если для любого ε > 0 существует окрестность V16точки x такая, что f (x) 6 f (y) + ε для всех y ∈ V . Функция f называется полунепрерывнойсверху (далее пн. св.) в точке x ∈ dom f , если функция −f пн. сн. в точке x. Функция fназывается пн. сн. (пн. св.), если она пн.
сн. (пн. св.) в каждой точке из dom f .Пусть X — вещественное линейное пространство. Напомним, что производной функцииf в точке x ∈ dom f по направлению g ∈ X называется пределf (x + αg) − f (x),α→+0αf 0 (x, g) = limесли данный предел существует. Функция f называется дифференцируемой по направлениямв точке x, если f 0 (x, g) существует для любого g ∈ X.
Заметим, что отображение g → f 0 (x, g)является положительно однородным. Функция f называется дифференцируемой по Гато вточке x, если она дифференцируема по направлениям в данной точке и отображение g →f 0 (x, g) есть линейный непрерывный функционал, который обозначается f 0 [x] и называетсяпроизводной Гато функции f в точке x.Замечание 1.3.1. Везде далее будем писать α ↓ 0, вместо α → +0.Нетрудно проверить, что пересечение любого числа выпуклых подмножеств пространства X является выпуклым подмножеством. Следовательно, для произвольного множестваA ⊂ X существует наименьшее (по включению) выпуклое множество, содержащее множествоA, которое называется выпуклой оболочкой множества A и обозначается co A.Теорема 1.3.1.
Пусть X — топологическое векторное пространство, A, B ⊂ X — выпуклые компактные множества. Тогдая для любого λ ∈ R множества A + B, λA и co(A ∪ B)выпуклы и компактны.Перейдём к основному определению.Определение 1.3.1. Функция f : X → R называется выпуклой, если множество epi f выпукло.Легко видеть, что функция f выпукла тогда и только тогда, когда для любых x1 , x2 ∈X и α ∈ [0, 1] выполняется неравенствоf (αx1 + (1 − α)x2 ) 6 αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ).Функция f : X → R называется вогнутой, если функция −f выпукла. Выпуклая функцияf : X → R называется собственной, если она не принимает значения −∞ и не равна тождественно +∞. Аналогично вогнутая функция f называется собственной, если она не принимает значения +∞ и не равна тождественно −∞.Пусть везде далее X — вещественное нормированное пространство.17Теорема 1.3.2.
Пусть f : X → R — собственная выпуклая функция. Тогда f пн. сн. тогдаи только тогда, когда f пн. сн. в слабой топологии.Теорема 1.3.3. Пусть f : X → R — выпуклая собственная функция. Тогда f ограничена сверху на некотором открытом множестве тогда и только тогда, когда f являетсялокально липшицевой на множестве int dom f .Теорема 1.3.4. Пусть X — банахово пространство, f : X → R — пн. сн. собственная выпуклая функция, причём int dom f 6= ∅. Тогда функция f локально липшицева на int dom f .Определение 1.3.2. Линейный функционал p ∈ X ∗ называется субградиентом собственнойвыпуклой функции f : X → R в точке x ∈ dom f , если для любого y ∈ X справедливонеравенство f (y) − f (x) > p(y) − p(x).
Субдифференциалом функции f в точке x называетсямножество (обозначаемое ∂f (x)), состоящее из всех субградиентов функции f в точке x, т.е.∂f (x) = {p ∈ X ∗ | f (y) − f (x) > p(y) − p(x) ∀y ∈ X}.Определение 1.3.3. Линейный функционал p ∈ X ∗ называется суперградиентом собственной вогнутой функции f : X → R в точке x ∈ dom f , если для любого y ∈ X справедливонеравенство f (y)−f (x) 6 p(y)−p(x). Супердифференциалом функции f в точке x называетсямножество (обозначаемое ∂f (x)), состоящее из всех суперградиентов функции f в точке x,т.е.∂f (x) = {p ∈ X ∗ | f (y) − f (x) 6 p(y) − p(x) ∀y ∈ X}.Теорема 1.3.5. Пусть функция f : X → R выпукла и непрерывна в точке x ∈ dom f .
Тогда∂f (x) есть непустое замкнутое выпуклое ограниченное и слабо∗ компактное множество.Следствие 1.3.1. Пусть X — банахово пространство, f : X → R — собственная выпуклаяпн. сн. функция такая, что int dom f 6= ∅. Тогда для любого x ∈ int dom f субдифференциал∂f (x) есть непустое замкнутое выпуклое ограниченное и слабо∗ компактное множество.Теорема 1.3.6. Пусть f : X → R — собственная выпуклая функция и точка x ∈ int dom f .Тогда для любого g ∈ X существует конечная производная функции f по направлению g,причём справедливо равенствоf (x + αg) − f (x).α>0αf 0 (x, g) = infЕсли, кроме того, функция f непрерывна в точке x, то f 0 (x, ·) = supp∈∂f (x) p(·).Справедливы следующие правила вычисления субдифференциалов выпуклых функций.18Теорема 1.3.7.
Пусть функция f : X → R выпукла и непрерывна в точке x ∈ dom f . Функция f дифференцируема по Гато в точке x тогда и только тогда, когда субдифференциал∂f (x) состоит из единственного элемента, причём ∂f (x) = {f 0 [x]}.Теорема 1.3.8 (Моро–Рокафеллар). Пусть собственные пн. сн. выпуклые функции f1 ,f2 : X → R непрерывны в точке x ∈ dom f1 ∩ dom f2 . Тогда∂(f1 + f2 )(x) = ∂f1 (x) + ∂f1 (x).Теорема 1.3.9 (Дубовицкий–Милютин). Пусть собственные пн. сн.
выпуклые функцииTfi : X → R, i ∈ I = {1, . . . , n}, непрерывны в точке x ∈ i∈I dom fi . Положим f = maxi∈I fiи R(x) = {i ∈ I | f (x) = fi (x)}. Тогда∂f (x) = co{∂fi (x) | i ∈ R(x)}.Теорема 1.3.10 (Иоффе–Тихомиров). Пусть S — компактное топологическое пространство.
Пусть функция f : S × X → R такова, что отображение f (s, ·) : X → R выпуклодля каждого s ∈ S, а отображение f (·, x) : S → R пн. св. для каждого x ∈ X. Определимфункции fs (x) = f (s, x) и T (x) = sups∈S f (s, x) и множество R(x) = {s ∈ S | f (s, x) = T (x)}.Тогда для любого x ∈ dom T справедливо включениеcl co [∂fs (x) ⊆ ∂T (x).(1.1)s∈R(x)Здесь замыкание берётся в слабой∗ топологии. Если, кроме того, для каждого s ∈ S функция f (s, ·) непрерывна в некоторой точке x0 ∈ dom T , то включение (1.1) выполняется какравенство.Справедливо следующее необходимое и достаточное условие минимума выпуклойфункции на выпуклом множестве.Теорема 1.3.11. Пусть f : X → R — собственная выпуклая функция и A ⊂ X — замкнутоевыпуклое множество. Предположим, что функция f непрерывна на множестве A.
Тогдадля того чтобы точка x∗ была точкой минимума функции f на множестве A необходимои достаточно, чтобы∂f (x∗ ) ∩ (−N (A, x∗ )) 6= ∅,где N (A, x∗ ) = {p ∈ X ∗ | p(a − x∗ ) 6 0 ∀a ∈ A} — нормальный конус ко множеству A вточке x∗19Следующая теорема указывается важное представление выпуклой функции, определённой на конечномерном пространстве.Теорема 1.3.12. Пусть f : Rd → R — собственная пн. сн. выпуклая функция, Ω ⊂ Rd — выпуклое открытое ограниченное множество такое, что cl Ω ⊂ int dom f . Тогда существуетвыпуклый компакт C ⊂ Rd+1 такой, чтоf (x) = max (a + hv, xi) ∀x ∈ Ω.(a,v)∈CЗамечание 1.3.2. Здесь и далее h·, ·i — скалярное произведение в Rd .Напомним, что выпуклая положительно однородная функция называется сублинейной,а вогнутая положительно однородная функция называется суперлинейной. Справедлива следующая теорема полностью описывающая класс пн.
сн. сублинейных функций.Теорема 1.3.13. Пусть X — вещественное нормированное пространство. Для того чтобы пн. сн. (соотв. непрерывная в нуле) функция f : X → R была сублинейной необходимои достаточно, чтобы существовало выпуклое слабо∗ замкнутое (соотв. компактное) множество C ⊂ X ∗ такое, чтоf (x) = sup p(x) ∀x ∈ X.p∈CКроме того, еслиf (x) = sup p(x) ∀x ∈ X,p∈C∗для некоторого множества C ⊂ X , то ∂f (0) = cl co C. Здесь замыкание берётся в слабой∗топологии.1.4Элементы абстрактного выпуклого анализаПусть X — непустое множество, H — непустое множество функций h : X → R. Длялюбых функций f , g : X → R мы будем писать f 6 g (либо g > f ), если для любого x ∈ Xбудет f (x) 6 g(x).
Будем говорить, что сумма r = f +g функций f и g корректно определена,если f −1 (e) ∩ g −1 (−e) = ∅, когда e ∈ {+∞, −∞}. Здесь, как обычно, f −1 (e) — это полныйпрообраз элемента e при отображении f .Будем говорить, что множество H замкнуто относительно сложения, если для любыхh1 , h2 ∈ H сумма h1 + h2 корректно определена и принадлежит H (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
