Диссертация (1149223), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

А именно,A = v ∈ C 1 (Ω) v|∂Ω = u0 |∂Ω122(здесь ∂Ω — граница множества Ω ), т. е. множество A состоит из всех функций v ∈ C 1 (Ω),имеющих заданное значение на границе множества Ω.Покажем, что функционал I допускает слабую неодн. в.в.а. в каждой точке u ∈ C 1 (Ω).Действительно, зафиксируем произвольные u, h ∈ C 1 (Ω). Для любого α > 0 имеемI(u + αh) = I(u) + max (Ik (u) − I(u) + Ik (u + αh) − Ik (u)) .k∈MВоспользовавшись теоремой о дифференцировании интеграла по параметру, для любого k ∈M получимIk (u + αh) − Ik (u) = αIk0 [u](h) + ok (α),где ok (α)/α → 0 при α → 0 иIk0 [u](h) =ZΩ!dX∂fk∂fk∂h(x, u(x), ∇u(x))h(x) +(x, u(x), ∇u(x))(x) dx.∂u∂ξ∂xiii=1Отметим, что Ik0 [u] — это производная Гато функционала Ik в точке u.

Отсюда имеем, чтоI(u + αh) = I(u) + max(Ik (u) − I(u) + αIk0 [u](h)) + o(α),k∈Mгде o(α)/α → 0 при α → 0. Положимϕ(h, u) = max(Ik (u) − I(u) + Ik0 [u](h)) ∀u, h ∈ C 1 (Ω).k∈MЯсно, что функция ϕ(·, u) является исчерпывающей слабой неодн. в.в.а. функционала I вточке u.Выведем необходимое условие локального минимума функционала I на множестве A.Пусть u∗ ∈ A — точка локального минимума функционала I на множестве A. Нетруднопонять, чтоN (A, u∗ ) = p ∈ (C 1 (Ω))∗ p(h) = 0 ∀h ∈ C01 (Ω)и (см. теоремы 1.3.7 и 1.3.9)∂ϕ(0, u∗ ) = co{Ik0 [u∗ ] | k ∈ M : Ik (u∗ ) = I(u∗ )}.Из теоремы 4.3.1 получаем, что ∂ϕ(0, u∗ )∩(−N (A, u∗ )) 6= ∅, т.е. существуют числа αk ∈ [0, 1],k ∈ M , такие, что α1 + . .

. + αn = 1, αk (Ik (u∗ ) − I(u∗ )) = 0 иnXαk Ik0 [u∗ ](h) = 0 ∀h ∈ C01 (Ω).k=1Проинтегрировав по частям, получим что для любого h ∈ C01 (Ω)Z XnΩ k=1αk!dX∂fk∂∂fk(x, u∗ (x), ∇u∗ (x)) −(x, u∗ (x), ∇u∗ (x)) h(x) dx = 0.∂u∂xi ∂ξii=1123Откуда, воспользовавшись основной леммой вариационного исчисления (см. [76], теорема3.40), имеем, что для любого x ∈ Ω.nXαkk=1!dX∂f∂fk∂k(x, u∗ (x), ∇u∗ (x)) −(x, u∗ (x), ∇u∗ (x)) = 0.∂u∂xi ∂ξii=1В итоге получаем следующее необходимое условие минимума функционала I на множестве A.Предложение 5.3.1. Пусть u∗ является точкой локального минимума функционала I намножестве A.

Тогда существуют числа αk ∈ [0, 1], k ∈ M , такие, чтоα1 + . . . + αn = 1,αk (Ik (u∗ ) − I(u∗ )) = 0и для любого x ∈ Ω.nXk=1αk!dX∂fk∂∂fk(x, u∗ (x), ∇u∗ (x)) −(x, u∗ (x), ∇u∗ (x)) = 0.∂u∂x∂ξiii=1124ЗаключениеПриведём краткий обзор результатов, полученных в данной работе.Во введении даётся обзор литературы по теме работы, обсуждается актуальности исследования, его теоретическая и практическая значимость.В первой главе приводятся основные определения и утверждения из топологии, функционального анализа, выпуклого анализа, абстрактного выпуклого анализа, негладкого анализа и теории многозначных отображений, используемые в следующих главах.ВовторойглаверассматриваютсяпонятияH–кодифференцируемости,аб-страктной выпуклой аппроксимации негладкой функции и некоторые свойства H–кодифференцируемых функций.

Далее строится исчисление H–кодифференцируемыхфункций, выводятся необходимые условия экстремума в негладкой задаче с ограничениямив терминах абстрактных выпуклых аппроксимаций и H–кодифференциалов. Здесь жеисследуются два конкретных класса H–кодифференцируемых функций, а именно класскодифференцируемых функций и класс функций, обладающих верхним коэкзостером.В третьей главе вводится понятие кодифференцируемости для функции, определённойна нормированном пространстве, приводятся различные характеризации кодифференцируемости и строится исчисление непрерывно кодифференцируемых функций.

Далее рассматриваются необходимые условия экстремума в терминах кодифференцируемых функций и ихприложения, изучаются свойства квазидифференцируемости кодифференцируемых функций, инвариантности необходимых условий экстремума кодифференцируемых функций, атакже выводится теорема о среднем для кодифференцируемых функций и доказываетсятеорема о локальной липшицевости кодифференцируемой функции с ограниченным кодифференциалом. Здесь же строится и подробно исследуется метод кодифференциального спуска.В главе 4 изучаются исчерпывающие семейства неоднородных верхних выпуклых инижних вогнутых аппроксимаций негладких функций, строится исчисление данных семействи выводятся различные условия экстремума в терминах данных аппроксимаций. Далее стро-125ится и исследуется метод спуска, основанный на неоднородных верхних выпуклых аппроксимациях.

Затем данный метод используется для того, чтобы построить модифицированныйметод кодифференциального спуска.В главе 5 рассматриваются приложения разработанной теории к одной негладкой классической задаче вариационного исчисления, негладкой задаче Больца и минимаксной задачевариационного исчисления.Дальнейшие исследования могут вестись в направлении развития метода кодифференциального спуска и его приложений к задачам вариационного исчисления и оптимальногоуправления. Необходимо более детальное изучение сходимости данного метода в бесконечномерном случае и поведения метода кодифференциального спуска при различных правилахвыбора величины шага, а также требуется усовершенствование метода в случае, когда гиподифференциал и гипердифференциал исследуемой функции не являются выпуклыми многогранниками.

Представляет интерес введение новых содержательных классов негладкихфункций на основе абстрактных выпуклых аппроксимаций в соответствии с особенностямиразличных оптимизационных задач.126Список обозначенийint A — внутренность множества X;cl A — замыкание множества X;(X × Y, τ × σ) — прямое произведение топологических пространств (X, τ ) и (Y, σ);R — множество вещественных чисел;C — множество комплексных чисел;lin A — линейная оболочка множества A;п.

о. — положительно однородная;pU — калибровочная функция Минковского множества U ;∀ — квантор всеобщности;k · k — норма;B(x, r) — замкнутый шар радиуса r с центром в точке x;O(x, r) — открытый шар радиуса r с центром в точке x;SX — единичная сфера с центром в нуле в нормированном пространстве X;w — слабая топология в нормированном пространстве;σ(X, X ∗ ) — слабая топология в нормированном пространстве X;w∗ — слабая∗ топология в пространстве, сопряжённом к нормированному;σ(X ∗ , X) — слабая∗ топология в пространстве, сопряжённом к нормированномупространству X;R — расширенная вещественная прямая;dom f — эффективное множество функции f ;epi f — надграфик функции f ;пн.

св. — полунепрерывная сверху;пн. сн. — полунепрерывная снизу;f 0 (x, g) — производная функции f в точке x по направлению g;f 0 [x] — производная Гато функции f в точке x;∂f (x) — субдифференциал функции f в точке x;127∂f (x) — супердифференциал функции f в точке x;N (A, x) — нормальный конус ко множеству A в точке x;h·, ·i — скалярное произведение в Rn ;supp+ (f, H) — верхнее опорное множество функции f по отношению к множеству H;supp− (f, H) — нижнее опорное множество функции f по отношению к множеству H;∂ ∗H f (x) — H–субдифференциал функции f в точке x;∗∂ H f (x) — H–супердифференциал функции f в точке x;ρH (A, B) — расстояние Хаусдорфа между множествами A и B;Df (x) — квазидифференциал функции f в точке x;E ∗ f (x) — верхний экзостер функции f в точке x;E∗ f (x) — нижний экзостер функции f в точке x;Df (x) — кодифференциал функции f в точке x;df (x) — гиподифференциал функции f в точке x;df (x) — гипердифференциал функции f в точке x;Ef (x) — верхний коэкзостер функции f в точке x;Ef (x) — нижний коэкзостер функции f в точке x;∂p f (x) — проксимальный субдифференциал функции f в точке x;∂f (x) — предельный проксимальный субдифференциал функции f в точке x;↓fCl(x, g) — производная Кларка функции f в точке x по направлению g;∂Cl f (x) — субдифференциал Кларка функции f в точке x;P F (X, H) — множество пар (Φ, Ψ), состоящих из H–выпуклой и H–вогнутой функций,таких, что 0 ∈ int dom Φ ∩ int dom Ψ;EP F (X, H) — множество классов эквивалентности пар (Φ, Ψ) ∈ P F (X, H);[Φ, Ψ] — класс эквивалентности элемента (Φ, Ψ) ∈ P F (X, H);P S(H) — множество пар подмножеств множества H, соответствующих элементаммножества P F (X, H);EP F (H) — множество классов эквивалентности элементов множества P S(H);[U, V ] — класс эквивалентности элемента (U, V ) ∈ P S(H);δH f (x) — H–производная функции f в точке x;DH f (x) — H–кодифференциал функции f в точке x;| · | — произвольная норма в Rn ;k · kp — норма в пространстве R × X ∗ (1 6 p < +∞);a(f, x) = max[a,ϕ]∈df (x) a — максимум по всем первым компонентам элементов гиподифференциала функции f в точке x;128b(f, x) = min[b,ψ]∈df (x) b — минимум по всем первым компонентам элементов гипердифференциала функции f в точке x;dµ f (x) — множество всех элементов [b, ψ] гипердифференциала функции f в точке xтаких, что b 6 µ.sign α — знак числа α;в.в.а.

Характеристики

Список файлов диссертации