Диссертация (1149223), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

существует a > 0 такое, чтоΦ(p) > a > 0 ∀p ∈ cl co[∂ϕλ (0).(4.12)λ∈ΛПоскольку функционал Φ слабо∗ непрерывен, то по предложению 1.2.4 существует ∆x0 ∈ X,∆x0 6= 0, такое, что Φ(p) = p(∆x0 ) для всех p ∈ X ∗ , откуда, с учётом (4.12), имеем, что длялюбого λ ∈ Λ выполяется неравенствоp(∆x0 ) > a > 0 ∀p ∈ ∂ϕλ (0).(4.13)Поскольку для всех λ ∈ Λ функция ϕλ выпукла пн.

сн. и 0 ∈ int dom ϕλ , тоϕλ (α∆x0 ) − ϕλ (0)= sup p(∆x0 ).α>0αp∈∂ϕλ (0)ϕ0λ (0, ∆x0 ) = infТогда, с учётом (4.13), получаемϕλ (α∆x0 ) > αa + ϕλ (0) > αa ∀α > 0, ∀λ ∈ Λ.96(4.14)По определению исчерпывающего семейства слабых неодн. в.в.а., существует α > 0 такое,что для любого α ∈ (0, α) выполняетсяaf (x∗ + α∆x0 ) > f (x∗ ) + inf ϕλ (α∆x0 ) − α,λ∈Λ2откуда, учитывая (4.14), имеемaaf (x∗ + α∆x0 ) > f (x∗ ) + aα − α = f (x∗ ) + α ∀α ∈ (0, α),22а это противоречит тому, что x∗ является точкой локального максимума функции f .Следствие 4.3.3.

Предположим, что семейство {ψλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающимсемейством слабых неодн. н.в.а. функции f в точке x∗ , и пусть x∗ является точкой локального минимума функции f . Тогда0 ∈ cl co[∂ψλ (0).λ∈ΛЗдесь замыкание берётся в слабой∗ топологии.Из доказательства теоремы 4.3.3 нетрудно усмотреть следующее необходимое условиемаксимума.Теорема 4.3.4. Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством слабых неодн. в.в.а. функции f в точке x∗ и предположим, что x∗ — точка локального максимума функции f . Тогда для любого ∆x ∈ X и для любого ε > 0 существует λ ∈ Λ такое,чтоp(∆x) 6 ε ∀p ∈ ∂ϕλ (0).(4.15)Доказательство.

От противного. Предположим, что существуют ∆x0 ∈ E и ε0 > 0 такие,что для любого λ ∈ Λ существует p ∈ ∂ϕλ (∆x0 ) такое, что p(∆x0 ) > ε0 . Рассуждая как придоказательстве теоремы 4.3.3, заключаем, чтоϕλ (α∆x0 ) > αε0∀α > 0, ∀λ ∈ Λ.Тогда, воспользовавшись определением исчерпывающего семейство слабых неодн. в.в.а., получим, что существует α > 0 такое, чтоf (x∗ + α∆x0 ) > f (x∗ ) + inf ϕλ (α∆x0 ) −λ∈Λε0ε0α ≥ f (x∗ ) + α ∀α ∈ (0, α),22а это противоречит тому, что x∗ является точкой локального максимума функции f .97Следствие 4.3.4. Пусть семейство {ψλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семействомслабых неодн. н.в.а. функции f в точке x∗ , и предположим, что x∗ — точка локальногоминимума функции f . Тогда для любых ∆x ∈ E и ε > 0 существует λ ∈ Λ такое, чтоp(∆x) > −ε для всех p ∈ ∂ψλ (0).Замечание 4.3.2. В случае когда множество Λ конечно, необходимым условиям максимумав терминах неодн.

в.в.а можно придать геометрически наглядную форму. А именно, пустьконечное семейство {ϕk }, k ∈ {1, . . . , n}, является исчерпывающим семейством слабых неодн.в.в.а. функции f в точке x∗ и предположим, что x∗ — точка локального максимума функцииf . Тогда для любого x ∈ X существуют k, m ∈ {1, . . . , n} такие, чтоp(x) 6 0 6 q(x) ∀p ∈ ∂ϕk (0), ∀q ∈ ∂ϕm (0),т. е. для любого линейного непрерывного функционала Φ ∈ X ∗∗ , входящего в образ канонического вложения X в X ∗∗ , существуют k, m ∈ Λ такие, что Φ разделяет выпуклые множества∂ϕk (0) и ∂ϕm (0). Отметим, что данное условие максимума, по существу, совпадает с необходимым условием максимума, выраженным в терминах несобственного экзостера, котороевпервые было получено М. Э.

Аббасовым [2, 62].Покажем на примере, что условия экстремума, полученные с помощью неодн. в.в.а.лучше, чем хорошо известное условие экстремума, выражаемое в терминах субдифференциала Кларка (теорема 1.5.6).Пример 4.3.4. Пусть Ω = X = R2 , x0 = (0, 0), f (x) = |x1 | − |x2 |, где x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .Нетрудно проверить, что функция f является дифференцируемой по Кларку в точке x0 и еёсубдифференциал Кларка в этой точке имеет вид∂Cl f (x0 ) = co{(1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1)}.Откуда получаем, что 0 ∈ ∂Cl f (x0 ), т.е. в точке x0 выполнено необходимое условие экстремума (теорема 1.5.6), при этом x0 не является ни точкой минимума, ни точкой максимумафункции f .Положим ϕ1 (x) = −x2 + |x1 |, ϕ2 (x) = x2 + |x1 |. Ясно, что семейство {ϕ1 , ϕ2 } являетсяисчерпывающим семейством сильных неодн.

в.в.а. функции f в точке x0 . Имеем ∂ϕ1 (0) =co{(−1, −1), (1, −1)} и ∂ϕ2 (0) = co{(−1, 1), (1, 1)}. Поскольку ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 0 и 0 ∈/ ∂ϕi (0),i ∈ {1, 2}, то в точке x0 не выполнено необходимое условие минимума, указанное в теореме4.3.1. Так как 0 ∈ cl co(∂ϕ1 (0) ∪ ∂ϕ2 (0)), то выполнено условие максимума (4.11). Однако,98для ∆x = (1, 0) не выполнено необходимое условие максимума (4.15). Значит, условие (4.11)является более грубым, чем необходимое условия максимума (4.15).Отметим, что функция f является квазидифференцируемой и в точке x0 не выполненынеобходимые условия максимума и минимума квазидифференцируемой функции (теорема1.5.1).ppПример 4.3.5. Пусть Ω = X = R2 , x0 = (0, 0), f (x) = ( |x1 | + |x2 |)2 , где x = (x1 , x2 ) ∈R2 . Нетрудно убедиться, что функция f не удовлетворяет условию Липшица ни в какойокрестности точки x0 и не является квазидифференцируемой в этой точке.

Покажем, чтофункция f допускает сильную неодн. в.в.а. и проверим условия экстремума.Можно показать (см. [103]), что функция f представима в виде11f (x) = min|x1 | +|x2 | , где Λ = (0, 1).λ∈Λλ1−λПоложим, ϕλ (x) = λ1 |x1 | +1|x |,1−λ 2λ ∈ Λ. Семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающимсемейством сильных неодн. в.в.а. функции f в точке x0 . Для любого λ ∈ Λ имеем 11111111,,−∂ϕλ (0) = co, − ,,, − ,−.λ 1−λλ 1−λλ 1−λλ 1−λДля всех λ ∈ Λ будет ϕλ (0) = 0 и 0 ∈ ∂ϕλ (0), т.е.

в точке x0 выполнено необходимое условиеминимума (теорема 4.3.1). Поскольку11+> maxλ 1−λ11,λ 1−λ> 2 ∀λ ∈ (0, 1),то необходимое условие максимума (4.15) не выполнено, например, для ∆x = (1, 1). При этомясно, что точка x0 является точкой строго глобального минимума функции f . (По поводуданного примера см. также [80], пример 12.1).Пусть A ⊂ Ω — замкнутое выпуклое множество.

Предположим, что функция f : Ω → Rдопускает неоднородную в.в.а. в точке x∗ ∈ A и рассмотрим задачу максимизации функцииf на множестве A. Рассмотрим множествоγ(A, x∗ ) = {v = α(x − x∗ ) | α > 0, x ∈ A}.Нетрудно понять, что γ(A, x∗ ) — выпуклый конус, причём 0 ∈ γ(A, x∗ ). Замыкание конусаγ(A, x∗ ) называется конусом возможных направлений множества A в точке x∗ и обозначаетсяΓ(A, x∗ ). Ясно, что Γ(A, x∗ ) — замкнутый выпуклый конус, содержащий точку 0.Справедлива следующая теорема, схожая с теоремой 4.3.4.99Теорема 4.3.5.

Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством слабых неодн. в.в.а. функции f в точке x∗ ∈ A и предположим, что точка x∗ является точкоймаксимума функции f на множестве A. Тогда для любых v ∈ γ(A, x∗ ) и ε > 0 существуетλ ∈ Λ такое, чтоp(v) 6 ε ∀p ∈ ∂ϕλ (0).(4.16)Доказательство. От противного.

Предположим, что существуют v ∈ γ(A, x∗ ) и ε0 > 0 такие,что для любого λ ∈ Λ существует pλ ∈ ∂ϕλ (0) такое, чтоpλ (v) > ε0 .(4.17)Тогда, по определению конуса γ(A, x∗ ), существуют α0 > 0 и x0 ∈ A такие, что v = α0 (x0 −x∗ ).Поскольку субградиент pλ ∈ X ∗ является линейным непрерывным функционалом, то из(4.17) получаемpλ (x0 − x∗ ) >ε0= a > 0 ∀λ ∈ Λ.α0Рассуждая далее как и при доказательстве теоремы 4.3.4, нетрудно получить противоречиес тем, что точка x∗ является точкой максимума функции f на множестве A.Замечание 4.3.3. Нетрудно показать, что если множество Λ конечно, то справедливо болеесильное утверждение.

А именно, для любого v ∈ Γ(A, x∗ ) существует λ ∈ Λ такое, что p(v) 6 0для всех p ∈ ∂ϕλ (0).Следствие 4.3.5. Пусть семейство {ψλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семействомслабых неодн. н.в.а. функции f в точке x∗ ∈ A и предположим, что x∗ является точкойминимума функции f на множестве A. Тогда для любых v ∈ γ(A, x∗ ) и ε > 0 существуетλ ∈ Λ такое, что p(v) > −ε для всех p ∈ ∂ψλ (0).4.4Метод спускаВ данном разделе мы изучим метод спуска, основанный на неоднородных верних выпуклых аппроксимациях исследуемой функции. Данный метод представляет собой обобщение метода кодифференциального спуска, изложенного в предыдущей главе. Отметим также,что аналогичным образом можно построить метод подъёма, основанный на неоднородныхнижних вогнутых аппроксимациях.Укажем очевидную связь между направлениями спуска исследуемой функции и еёнеоднородной верхней выпуклой аппроксимации.100Предложение 4.4.1. Пусть функция f : Ω → R дифференцируема по направлениям в точкеx ∈ Ω, а функция ϕ является слабой неодн.

в.в.а. функции f в точке x, причём ϕ(0) = 0.Тогда для любого ∆x ∈ X будет f 0 (x, ∆x) 6 ϕ0 (0, ∆x) и, в частности, если ∆x ∈ X являетсянаправлением спуска функции ϕ, то ∆x является направлением спуска функции f .Доказательство. Зафиксируем произвольное ∆x ∈ X. По определению слабой неодн. в.в.а.,для любого ε > 0 существует α0 > 0 такое, что11(f (x + α∆x) − f (x)) 6 ϕ(α∆x) + ε ∀α ∈ (0, α0 ).αα(4.18)По теореме 1.3.6 функция ϕ дифференцируема по направлениям в нуле. Следовательно,переходя к пределу при α ↓ 0 в (4.18) и учитывая, что ϕ(0) = 0, получимf 0 (x, ∆x) 6 ϕ0 (0, ∆x) + ε.Ввиду произвольности ε > 0 получаем требуемое неравенство.4.4.1Описание метода спускаОпишем теперь теоретическую схему метода спуска. Пусть функция f : X → R произвольна.

Предположим, что существует семейство функций ϕλ : X × X → R, λ ∈ Λ, такое,что выполнены следующие условия:1. для любых λ ∈ Λ и x ∈ X функция ϕλ (x, ·) является слабой неодн. в.в.а. функции f вточке x;2. для любого λ ∈ Λ существует непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображениеCλ : X ⇒ R × X ∗ такое, что для любого x ∈ X множество Cλ (x) выпукло, ограниченои компактно в топологии τ × w∗ иϕλ (x, y) =max (a + ϕ(y)) ∀y ∈ X,(a,p)∈Cλ (x)где, как и выше, τ — стандартная топология на R, w∗ — слабая∗ топология на X ∗ ;3.

Характеристики

Список файлов диссертации