Диссертация (1149223), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

(3.31) и (3.32)), то при k больше некоторого k0 ∈ N,имеемf (xk + α0 ∆xk (w(k) )) 6 f (xk ) −84α0ξ(w0 )(k(a∗ , ϕ∗ )kp )p .4Тем более f (xk+1 ) 6 f (xk ) −α0ξ(w0 )(k(a∗ , ϕ∗ )kp )p .4Отсюда следует, что при k → ∞ будетf (xk ) → −∞, а это противоречит предположению inf x∈X f (x) > −∞.Замечание 3.6.5. (i) В случае когда пространство X конечномерно, выполнение одного изусловий:1. множество {x ∈ X | f (x) 6 f (x0 )} ограничено,2. limkxk→∞ f (x) = +∞гарантирует существование предельных точек у последовательности, построенной по методукодифференциального спуска.(ii) Применение метода кодифференциального спуска к решению различных гладкихзадач вариационного исчисления рассматривалось в [14, 18, 48–50, 86, 90].85Глава 4Исчерпывающие семействанеоднородных выпуклых аппроксимацийВ данном разделе изучаются исчерпывающие семейства неоднородных верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций негладкой функции, непосредственно связанные спонятиями коэкзостера и H–гипердифференцируемости в случае, когда множество H состоит из собственных полунепрерывных снизу выпуклых функций.

Мы обсуждаем некоторыевопросы вычисления исчерпывающих семейств данных аппроксимаций, выводим различныенеобходимые, а в некоторых случаях и достаточные, условия экстремума. Также мы описываем и исследуем метод спуска, основанный на неоднородных выпуклых аппроксимациях,и затем при помощи этого метода строим модифицированный метод кодифференциальногоспуска.4.1Определение неоднородных выпуклыхаппроксимацийВерхние выпуклые аппроксимации негладких функций изучались различными авторами (см., например, [16, 34, 43, 93]). Однако, часто при исследовании различных негладкихэкстремальных задач применение отдельных выпуклых аппроксимаций недостаточно дляполноценного исследования задачи.

Поэтому в [23, 24], по аналогии с положительно однородным случаем (см. [16, 17, 43]), было предложено рассматривать исчерпывающие семействанеоднородных верхних выпуклых аппроксимаций.Прежде чем дать определение исчерпывающего семейства неоднородных верхних выпуклых аппроксимаций, напомним определения верхней выпуклой аппроксимации (далее86в.в.а.) и нижней вогнутой аппроксимации (далее н.в.а.).Пусть везде далее X — вещественное нормированное пространство, Ω ⊂ X — открытоемножество, функция f : Ω → R, x ∈ Ω.Определение 4.1.1. Пн сн.

собственную выпуклую функцию ϕ : X → R будем называтьсильной неоднородной в.в.а. функции f в точке x, если выполнены следующие условия:1. 0 ∈ int dom ϕ и ϕ(0) > 0;2. для любого ε > 0 существует r > 0 такое, что O(x, r) ⊂ Ω иf (x + ∆x) 6 f (x) + ϕ(∆x) + εk∆xk ∀∆x ∈ O(0, r).Определение 4.1.2. Пн. сн. собственную выпуклую функцию ϕ : X → R будем называтьслабой неоднородной в.в.а. функции f в точке x, если выполнены следующие условия:1. 0 ∈ int dom ϕ и ϕ(0) > 0;2. для любых ε > 0 и ∆x ∈ X существует α0 > 0 такое, что co{x, x + α0 ∆x} ⊂ Ω иf (x + α∆x) 6 f (x) + ϕ(α∆x) + εαk∆xk ∀α ∈ [0, α0 ).Очевидно, что всякая сильная неоднородная в.в.а., является также и слабой неоднородной в.в.а.. Обратное, в общем случае, неверно.Определение 4.1.3.

Пн. св. собственную вогнутую функцию ψ : X → R будем называтьсильной неоднородной н.в.а. функции f в точке x, если выполнены следующие условия:1. 0 ∈ int dom ψ и ψ(0) 6 0;2. для любого ε > 0 существует r > 0 такое, что O(x, r) ⊂ Ω иf (x + ∆x) > f (x) + ψ(∆x) − εk∆xk ∀∆x ∈ O(0, r).По аналогии с определением слабой неоднородной в.в.а., определяется и слабая неоднородная н.в.а..

Для краткости будем далее писать неодн. в.в.а. и неодн. н.в.а.. Очевидно,что неодн. в.в.а. (неодн. н.в.а.) является верхней H–выпуклой (нижней H–вогнутой) аппроксимацией для множества H, состоящего из всех непрерывных аффинных функций.Укажем простой критерий существования сильной неоднородной в.в.а. негладкойфункции.87Предложение 4.1.1. Для того чтобы существовала сильная неодн. в.в.а. ϕ функции f вточке x такая, что ϕ(0) = 0 достаточно, а в случае когда пространство X банахово инеобходимо, чтобы существовали L > 0 и r > 0 такие, чтоf (x + ∆x) − f (x) 6 Lk∆xk∀∆x ∈ B(0, r).Доказательство. Необходимость. Пусть ϕ является сильной неодн. в.в.а.

функции f в точкеx и ϕ(0) = 0. Тогда существует r1 > 0 такое, чтоf (x + ∆x) − f (x) 6 ϕ(∆x) + k∆xk ∀∆x ∈ B(0, r1 ).По теореме 1.3.4 функция ϕ локально липшицева на int dom ϕ. Следовательно, существуютL > 0 и r2 > 0 такие, что|ϕ(∆x) − ϕ(0)| = |ϕ(∆x)| 6 Lk∆xk ∀∆x ∈ B(0, r2 ),откудаf (x + ∆x) − f (x) 6 (L + 1)k∆xk ∀∆x ∈ B(0, min{r1 , r2 }).Достаточность. В качестве сильной неодн. в.в.а. функции f в точке x можно взятьфункцию ϕ(·) = Lk · k для которой выполнено условие ϕ(0) = 0.Перейдём теперь к основному определению.Определение 4.1.4. Семейство сильных (слабых) неодн. в.в.а.

{ϕλ }, λ ∈ Λ, функции f вточке x будем называть исчерпывающим, если для любого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) = f (x) + inf ϕλ (∆x) + o(∆x)λ∈Λгде inf λ∈Λ ϕλ (0) = 0 иo(∆x)→ 0 при ∆x → 0k∆xko(α∆x)→ 0 при α ↓ 0 .α(4.1)Определение 4.1.5. Семейство сильных (слабых) неодн. н.в.а. {ψλ }, λ ∈ Λ, функции f вточке x будем называть исчерпывающим, если для любого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) = f (x) + sup ψλ (∆x) + o(∆x)λ∈Λгде supλ∈Λ ψλ (0) = 0 и выполнено (4.1).Наконец, если исчерпывающее семейство в.в.а. (н.в.а.) состоит из одной функции, тоеё мы назовём исчерпывающей неодн. в.в.а. (н.в.а.) функции f в точке x.

Будем говорить,88что функция f допускает сильную (слабую) неодн. в.в.а. (н.в.а.) в точке x, если существуетисчерпывающее семейство сильных (слабых) неодн. в.в.а. (н.в.а.) функции f в точке x.Понятие исчерпывающего семейства неодн. в.в.а тесно связано с понятием H–гипердифферецируемости. Следующее утверждение непосредственно вытекает из определений.Предложение 4.1.2. Пусть f : Ω → R — произвольная функция, x ∈ Ω. Для того чтобыфункция f была H–гипердифференцируема в точке x по отношению к множеству H, состоящему из всех собственных пн.

сн. выпуклых функций h : X → R таких, что 0 ∈ int dom hнеобходимо и достаточно, чтобы существовало исчерпывающее семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ,слабых неодн. в.в.а. функции f в точке x, такое, что0 ∈ int dom inf ϕλ .λ∈ΛЗамечание 4.1.1. Таким образом, результаты данного раздела являются непосредственнымобобщением примера 2.6.3.Отметим очевидный пример функции, допускающей сильную неодн в.в.а. (сильнуюнеодн. н.в.а.).Предложение 4.1.3. Пусть x ∈ Ω, функции f, g : X → R имеют видf = inf ϕλ ,g = sup ψγ ,λ∈Λγ∈Γгде все ϕλ : X → R — пн.

сн. собственные выпуклые функции, ψγ : X → R — пн. св. собственные вогнутые функции. Тогда, если x ∈ int dom ϕλ для всех λ ∈ Λ, то семейство{ϕbλ (·) = ϕλ (x + ·) − f (x) | λ ∈ Λ} является исчерпывающим семейством сильных неодн.в.в.а. функции f в точке x ∈ Ω, а если x ∈ int dom ψγ для всех γ ∈ Γ, то семейство{ψbγ (·) = ψγ (x + ·) − g(x) | γ ∈ Γ} является исчерпывающим семейством сильных неодн.н.в.а. функции g в точке x ∈ Ω.4.2Исчисление неоднородных верхних выпуклых инижних вогнутых аппроксимацийВ этом параграфе мы рассмотрим вопрос вычисления исчерпывающих семейств неодн.в.в.а. (н.в.а.) некоторых функций. Все утверждения в этом параграфе будут сформулированыдля семейств сильных в.в.а.

(н.в.а.), однако, все они справедливы и для семейств слабых в.в.а.(н.в.а.).89Пусть везде далее, x ∈ Ω, а также предположим, что все рассматриваемые функции(за исключением неодн. в.в.а. и неодн. н.в.а.) определены на множестве Ω и принимаютвещественные значения.Рассуждая как и при выводе формул для вычисления H–кодифференциалов, легко получить справедливость следующих правил для вычисления исчерпывающих семейств неодн.в.в.а. и неодн. н.в.а..Предложение 4.2.1. Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а.

(н.в.а.) функции f в точке x, число c ∈ R. Тогда семейство{ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. (н.в.а.) функцииf + c в точке x.Предложение 4.2.2. Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. (н.в.а.) функции f в точке x, число c ∈ R. Тогда, если c > 0,то семейство {cϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а.(н.в.а.) функции cf в точке x, если же c < 0, то семейство {cϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн.

н.в.а. (в.в.а.) функции cf в точке x.Предложение 4.2.3. Пусть семейство {ϕλβ }, λβ ∈ Λβ , является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. функции fβ в точке x, β ∈ B (B — произвольное множество),т.е. для всех β ∈ B и для любого допустимого ∆x ∈ X выполняетсяfβ (x0 + ∆x) = fβ (x0 ) + inf ϕλβ (∆x) + oβ (∆x),λβ ∈Λβгдеoβ (∆x)→ 0 при ∆x → 0.(4.2)k∆xkТогда, если f (y) = inf β∈B fβ (y) > −∞ для всех y ∈ Ω и соотношение (4.2) выполняетсяравномерно по β ∈ B, то семейство {ϕλβ + fβ (x) − f (x) | λβ ∈ Λβ , β ∈ B} являетсяисчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. функции f в точке x.Замечание 4.2.1. Справедливо аналогичное утверждение о вычислении исчерпывающего семейства сильных неодн.

н.в.а. точной верхней грани множества функций, допускающих сильную неодн. н.в.а..Предложение 4.2.4. Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. (н.в.а.) функции f1 в точке x, а семейство {ψγ }, γ ∈ Γ, является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. (н.в.а.) функции f2 в точке x.Тогда семейство {χλ,γ | χλ,γ = ϕλ + ψγ , λ ∈ Λ, γ ∈ Γ} является исчерпывающим семействомсильных неодн. в.в.а. (н.в.а.) функции f1 + f2 в точке x.90В рассматриваемом случае можно установить результат эквивалентный H–гипердифференцируемости супремума бесконечного семейства H–гипердифференцируемыхфункций.Теорема 4.2.1. Пусть семейство {ϕλβ }, λβ ∈ Λβ , является исчерпывающим семействомсильных неодн. в.в.а.

функции fβ в точке x, β ∈ B (B — произвольное множество), т.е.для всех β ∈ B и для любого допустимого ∆x ∈ Xfβ (x + ∆x) = fβ (x) + inf ϕλβ (∆x) + oβ (∆x),λβ ∈Λβгдеoβ (∆x)→ 0 при ∆x → 0.k∆xk(4.3)Пусть f (y) = supβ∈B fβ (y) < +∞ для всех y ∈ Ω. Предположим, что соотношение (4.3)Qвыполняется равномерно по β ∈ B и для всех p ∈ β∈B Λβ 1 , выполняется(4.4)0 ∈ int dom(sup ϕp(β) ).β∈BТогда семействоnY oΛβχp | χp = sup(ϕp(β) + fβ (x) − f (x)), p ∈β∈Bβ∈Bявляется исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. функции f в точке x.Доказательство. Зафиксируем произвольное допустимое ∆x ∈ X.

Из определения исчерпывающего семейства сильных неодн. в.в.а. имеемf (x + ∆x) = sup fβ (x + ∆x) = f (x) + sup[fβ (x) − f (x) + inf ϕλβ (∆x) + oβ (∆x)].β∈Bβ∈Bλβ ∈ΛβПоскольку соотношение (4.3) выполняется равномерно по β ∈ B, тоf (x + ∆x) = f (x) + sup inf (ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)) + o(∆x),β∈B λβ ∈Λβгде o(∆x)/k∆xk → 0 при ∆x → 0.

Характеристики

Список файлов диссертации