Диссертация (1149223)
Текст из файла
САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиУДК 519.7Долгополик Максим ВладимировичАбстрактное кодифференциальное исчислениев нормированных пространствах и его приложенияк негладкой оптимизацииДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукпо специальности 01.01.09 — дискретная математикаи математическая кибернетикаНаучный руководительдоктор физ.–мат. наук, профессорВ.Ф. ДемьяновСанкт–Петербург 2014ОглавлениеВведение41 Предварительные сведения91.1Элементы топологии. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2Элементы функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.3Элементы выпуклого анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.4Элементы абстрактного выпуклого анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.5Элементы негладкого анализа и теории многозначных отображений . .
. . . .232 Абстрактные выпуклые аппроксимации негладких функций282.1Вспомогательные построения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282.2Абстрактно кодифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.3Абстрактно выпуклые аппроксимации . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .342.4Исчисление абстрактно кодифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . .352.5Необходимые условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.6Примеры H–кодифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433 Кодифференцируемые функции513.1Предварительные сведения . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513.2Определение кодифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543.3Исчисление непрерывно кодифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . .603.4Необходимые условия экстремума кодифференцируемых функций . . . . . . .653.5Некоторые свойства кодифференцируемых функций . . . . . .
. . . . . . . . .693.6Метод кодифференциального спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .743.6.1Формулировка метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753.6.2Вспомогательные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .763.6.3Исследование метода кодифференциального спуска . . . . . . . . . . . .8023.6.4Сходимость метода кодифференциального спуска . .
. . . . . . . . . . .4 Исчерпывающие семейства неоднородных выпуклых аппроксимаций4.1Определение неоднородных выпуклых аппроксимаций . . . . . . . . . . . . . .4.2Исчисление неоднородных верхних выпуклых и838686нижних вогнутых аппроксимаций . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .894.3Условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .934.4Метод спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.1Описание метода спуска . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.2Исследование метода спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.3Сходимость метода спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4.4Метод спуска и метод кодифференциального спуска . . . . . . . . . . . 1065 Приложения к задачам вариационного исчисления1105.1Одна негладкая классическая задача вариационного исчисления . .
. . . . . . 1105.2Негладкая задача Больца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.3Минимаксная задача вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Заключение125Список обозначений127Литература1303ВведениеС появлением интегрального и дифференциального исчисления в трудах Ньютона иЛейбница, математика более чем на два столетия обеспечила себя аппаратом достаточным,как для теоретического исследования в различных областях науки, так и для бесчисленных приложений. Однако, постепенно потребности самой математики и, в первую очередь,различных приложений привели к исследованию недифференцируемых функций. Так, например, естественным образом возникающая в теории приближений задача о наилучшемравномерном приближении непрерывной функции является существенно негладкой.
Всё более и более часто возникающие примеры недифференцируемых функций и задачи связанныес ними возбудили интерес математиков к изучению данных функций. Основным результатомэтих исследований стало появление новой, богатой приложениями математической дисциплины — негладкого анализа, а также становление нового понимания того, что недифференцируемые функции являются не патологией, а нормой и достойным объектом исследования.Наиболее яркой иллюстрацией этого факта является теорема С.
Банаха [66], утверждающая,что множество непрерывных функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке интервала[0, 1], является тощим (или, что тоже самое, множеством первой категории) в пространственепрерывных функций (по этому вопросу см. также [98]).Негладкие задачи впервые были поставлены и успешно исследованы российским математиком П.Л. Чебышёвым [55]. Однако, П.Л. Чебёшыв использовал в своём исследованиитолько классические, хотя и очень оригинальные методы. Первые “негладкие” методы исследования недифференцируемых функций появились в рамках выпуклого анализа [27, 30–32, 35, 41, 43, 45, 60, 94, 95, 128], который, наряду с теорией минимакса [8, 11, 15, 36, 37, 52],послужил основой для формирования негладкого анализа.
В настоящее время, выпуклыйанализ является хорошо развитой областью математики, имеющей многочисленные приложения [13, 33, 38–40, 46, 51, 110].Негладкий анализ, как раздел математики, изучающий недифференцируемые функции, в первую очередь в связи с теорией негладких экстремальных задач, сформировался4во второй половине XX века под влияние работ В.Ф. Демьянова [13, 15], Н.З.
Шора [57, 58],Б.Н. Пшеничного [42–44], Ф. Кларка [29], Дж. Варги [9] и многих других авторов. В настоящее время имеется огромное число работ, посвящённых различным аспектам негладкогоанализа [12, 16, 67, 75, 87, 92, 99, 100, 108, 109, 114, 117, 122]. Отличительной особенностьюнегладкого анализа, по сравнению с классическим дифференциальным исчислением, является его тесная связь с теорией многозначных отображений [7, 53, 64, 65, 96, 97].Основными инструментами исследования в негладком анализе являются производнаяпо направлениям и субдифференциал, а также их многочисленные обобщения [16, 29, 80, 81,91, 99, 104, 108, 114, 117, 122, 126].
Одним из наиболее продуктивных методов исследованияпроизводных по направлениям негладких функций является метод, основанный на понятииэкзостера [2, 4, 62, 79, 83, 84, 125], поскольку данный метод позволяет выражать удобнымобразом условия экстремума негладкой функции, а также строить направления спуска иподъёма данной функции. Однако, в негладком случае производная по направлениям, как иеё обобщения, не является непрерывной функцией точки (см.
[16], глава II, параграф 1), чтосущественно затрудняет построение эффективных численных методов решения негладкихоптимизационных задач. Поэтому В.Ф. Демьянов в [77, 78] ввёл понятие кодифференцируемой функции и кодифференциала (см. также [14, 21, 127]). Для очень широкого классанегладких функций кодифференциальное отображение является непрерывным в метрикеХаусдорфа [16], что позволяет строить эффективные методы недифференцируемой оптимизации на основе понятия кодифференциала [5, 16, 69, 70, 82]. Отметим здесь замечательноесвойство метода кодифференциального спуска “обходить” некоторые точки локального минимума [82], существенно отличающее данный метод от других методов гладкой и негладкойоптимизации.
Общая теория непрерывных аппроксимаций негладких функций рассматривалась в [121, 127]. Ещё одним преимуществом подхода, основанного на кодифференцируемости, является наличие удобного исчисления кодифференцируемых функций [16, 21], в товремя как не существует полноценного исчисления различных субдифференциалов негладких функций (ср. формулы для вычисления субдифференциала Кларка [29] или “нечёткое”исчисление субдифференциалов в [100]).
В качестве дальнейшего обобщения понятия кодифференциала А.Е. Абанькин в [1] предложил рассматривать H–гипердифференциал, которыйпозднее в работах В.Ф. Демьянова и М.Э. Аббасова получил называние коэкзостера [4, 80].Субдифференциал выпуклой функции, описывает как локальные, так и глобальныесвойства данной функции. С одной стороны, с помощью субдифференциала можно вычислять производную по направлениям и направления спуска выпуклой функции, а с другойстороны, субдифференциал описывает множество линейных функций, опорных к данной вы5пуклой функции, которое даёт глобальную информацию о поведении рассматриваемой функции. Негладкий анализ пошёл по пути обобщения субдифференциала выпуклой функции, наоснове его локальных свойств, т.
е. как инструмента, описывающего локальные свойствафункции. В то время как другой подход, основанный на обобщении глобальных свойств субдифференциала, выпуклых функций и выпуклых множеств, привёл к появлению нового раздела математики — абстрактного выпуклого анализа [47, 73, 106, 123]. Отметим, что первойкнигой по абстрактному выпуклому анализу была работа С.С.
Кутателадзе и А.М. Рубинова[32]. Основные результаты абстрактного выпуклого анализа, подробную библиографию и исторические комментарии по данному предмету можно найти в работах [111, 119, 124]. Идеиабстрактного выпуклого анализа оказались очень плодотворными и нашли своё применениев различных приложениях, в том числе и внутри негладкого анализа [101, 111, 118, 120].Одной из актуальных задач, изучаемых в данной диссертации, является построениеобщей теории неоднородных аппроксимаций негладких функций на основе идей абстрактного выпуклого анализа.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
