Диссертация (1149159), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Перенормированное выражение для части Юлинга оператора IVP имеет вид√ 2Z ∞ µ2α1t −1αα1µ 2dt1+IUehl (ε, r, r ′) = α|r − r ′ | 3 π 12t2t2p× exp(− (2mt)2 − ε2|r − r ′ |),(2.54)где ε — энергия, передаваемая фотоном от одного электрона к другому.Для потенциала Вичманна-Кролла существует удобная аппроксимационнаяформула [95, 96]. Используя эту формулу, можно вычислить вклад диаграмм(i) и (j), а также оценить вклад экранирующих эффектов в одноэлектроннуюпоправку на вакуумную поляризацию (2.46):apprappr|vC i,|vi − hvC |VWK∆Efscr = hv|VWK(2.55)где |vC i обозначает соответствующее решение уравнения Дирака только с кулоновским потенциалом ядра (без экранирующего потенциала).
Одноэлектронный вклад Вичманна-Кролла в кулоновском поле может быть добавлен, используя, например, данные из работы [97]. Подобный подход позволяет оценить— 63 —поправки, связанные с вкладом Вичманна-Кролла, на достаточном уровне точности. Тем не менее, можно провести более строгое рассмотрение и рассчитатьвклады от диаграмм (f), (i) и (j), используя потенциал Вичманна-Кролла, построенный согласноZ ∞Z ∞Z ∞±∞2α X1|κ|dωVeff (z)VWK (r) =dy y 2dz z 2π κ=±1max(r, y)000×2Xi,k=1ikRe{Fκik (iω, y, z)[Gikκ (iω, y, z) − Fκ (iω, y, z)]},(2.56)где Fκik и Gikκ — радиальные компоненты функции Грина для свободного исвязанного электронов соответственно. Оказывается, что расчет по формуле(2.56) с использованием спектрального разложения (2.39) и базисного набораиз B-сплайнов, достаточно проблематичен. В связи с этим, радиальные функции Грина для всех экранирующих потенциалов были рассчитаны численно,путем решения соответствующей системы дифференциальных уравнений.Завершая обсуждение VP вкладов следует отметить, что вклад ВичманнаКролла в диаграмму (g) относительно мал [91, 92].
В связи с этим мы не учитываем его вместе с вкладом соответствующей контрчленной диаграммы (h).Учет вклада одноэлектронных двухпетлевых диаграмм завершает строгоеКЭД рассмотрение во втором порядке по α. Расчет данных поправок во всехпорядках по αZ представляет собой очень сложную задачу, которая еще небыла решена до конца. Наиболее значительный прогресс в данной областисвязан с работами В.
А. Ерохина с соавторами [98, 99]. В работе [98] дляионов с большими значениями заряда Z был рассчитан полный калибровочноинвариантный набор двухпетлевых собственно-энергетических диаграмм длясостояний с n = 1, 2 (n — главное квантовое число). Для ионов со средними значениями Z данные поправки были оценены для 1s состояния в [100, 101].Остальные двухпетлевые вклады, которым соответствуют диаграммы с замкнутой фермионной петлей, были рассмотрены в [99] (см. также [21] и ссылки внут-— 64 —ри). В тех случаях, когда расчет во всех порядках по αZ был невозможен, применялось так называемое “приближение свободной петли”. В данной работе дляучета одноэлектронных двухпетлевых вкладов были использованы результатыиз работ [22, 98, 99].Все поправки, которые обсуждались до этого момента, соответствовали приближению бесконечной массы ядра. Ядро рассматривалось только как источник сильного электрического поля.
Тем не менее, высокоточные расчеты уровней энергии в многозарядных ионах должны включать поправки на ядернуюотдачу. Полностью релятивистская теория эффекта отдачи может быть сформулирована только в рамках квантовой электродинамики. Подобная теория впервом порядке по m/M (M — масса ядра) и во всех порядках по αZ быларазработана в [102, 103] (см. также [104, 105] и ссылки внутри). В брейтовскомприближении данная теория сводится к следующему многочастичному гамильтониану [102, 103, 106]HM(αi · ri )riαZ1 Xαi +· pj .pi · pj −=2M i,jriri2(2.57)Вычисляя среднее значение от релятивистского оператора (2.57) на волновыхфункциях, полученных методом КВ-ДФШ, можно получить поправку на эффект отдачи к энергии связи некоторого состояния. Чтобы получить даннуюпоправку к потенциалу ионизации, необходимо вычислить среднее для 1s22s2 и1s22s состояний, после чего взять разницу.Эффекты ядерной отдачи за рамками брейтовского приближения, которыеобычно называют КЭД эффектами отдачи, были учтены в данной работе в нулевом порядке по 1/Z.
В этом порядке, ненулевой вклад происходит только отодноэлектронной части. Двухэлектронная часть обращается в ноль, посколькувсе электроны в основном состоянии бериллиеподобных ионов имеют одинаковую четность [107]. Для точечного ядра в первом порядке по m/M и во всехпорядках по αZ КЭД эффект отдачи для электрона в состоянии v дается вы-— 65 —ражением∞ [p,V]dω v D(ω) −ω + i0−∞ [p, V ] ×G(ω + εv ) D(ω) +v .ω + i0 i∆E =2πMZ(2.58)Здесь p — оператор импульса, Dm (ω) = −4παZαl Dlm (ω), где Dlm — поперечная часть фотонного пропагатора в кулоновской калибровке. Можно частичноучесть поправку на конечный размер ядра в КЭД эффекте отдачи, если в формуле (2.58) заменить потенциал V , дираковскую энергию εv , волновую функцию |vi и функцию Грина G на соответствующие величины для протяженногоядра [104].
Подобные расчеты были проведены для водородоподобных ионовв [108, 109]. Более того, можно попытаться учесть экранирующие эффекты, если проводить вычисления в эффективном потенциале (1.6).Наконец, необходимо принять во внимание эффекты ядерной поляризации.Данные эффекты связаны с внутриядерной динамикой и описываются диаграммами электрон-ядерного взаимодействия, в которых ядро в промежуточных состояниях возбуждено. В данной работе мы учитываем эту поправку, используярезультаты работ [46–50], а также соответствующие предписания из работы [22].Следует отметить, что численные процедуры проверялись путем сравнениярезультатов расчетов, проведенных в двух разных калибровках: фейнмановской и кулоновской.
Было обнаружено прекрасное согласие. В качестве демонстрации рассмотрим два примера расчета калибровочно инвариантных наборов двухэлектронных диаграмм. В обоих случаях один из входящих электронов относится к оболочке 1s2, другой — к оболочке 2s2. По проекциям обоихэлектронов произведено суммирование, что позволяет интерпретировать рассматриваемые поправки как дающие вклад в энергию взаимодействия междуоболочками. Расчет проводился для бериллиеподобного иона урана и выполненс применением экранирующего потенциала VLDF4 (см.
§2.2). Вклад соответству-— 66 —Таблица 1: Отдельные вклады в двухфотонный обмен для взаимодействия между 1s2 - и 2s2 оболочками для бериллиеподобного урана (в эВ). Сравнение расчетов в фейнмановской икулоновской калибровках.Обменный вкладПрямой вкладВкладdirEirrdirEreddirEtotФейнманКулонВкладФейнманКулонexcEirr0.9313501.3795990.3747411.306091−0.073510−15.633232−15.5627620.001686excEred−15.561079−15.561076excEtot0.0721531.306089ющих контрчленных диаграмм был опущен.Первый пример — это диаграммы двухфотонного обмена, показанные наРис.
2. В работе [27] было замечено, что прямая и обменная части калибровочно инвариантны независимо друг от друга. В связи с этим в Таблице 1 данные части поправки на двухфотонный обмен рассмотрены по отдельности. ИзТаблицы 1 видно, что приводимый и неприводимый вклады могут достаточно сильно отличаться между разными калибровками, в то время как их сумманаходится в хорошем согласии.В Таблице 2 проведено сравнение вкладов от диаграмм экранированной собственной энергии (см. Рис. 8), рассчитанных в фейнмановской и кулоновскойкалибровках.
Как уже отмечалось выше, калибровка меняется только у фотона,соединяющего две разные электронные линии. Фотон, образующий петлю, всегда рассматривается в фейнмановской калибровке. Отдельные строки в таблицеимеют следующий смысл. Поправки E 0pot , E 1pot и E mp обозначают соответственно 0-, 1- и много- потенциальные вклады для неприводимой части (1.94) иA-приводимой части (1.98), которые рассчитывались вместе. Данные поправкиудобно разбить на сумму двух слагаемых в зависимости от того, какая энергиястоит внутри собственно-энергетического оператора Σ, индексы 1s и 2s различают два этих слагаемых. Поправки E redB0 и E vert0 обозначают свободные ча-— 67 —Таблица 2: Отдельные вклады в экранированную собственную энергию для взаимодействиямежду 1s2 - и 2s2 -оболочками для бериллиеподобного урана (в эВ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
