Диссертация (1145356), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

< ;(6.5.43)Глава 6.Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания225Для простоты будем далее обозначать характеристическую функцию (0 , )как {}. Нетрудно доказать, что построенная характеристическая функцияявляется выпуклой, т.е. для нее выполнено неравенство (5.1.12).Например, предположим, что 1 = {1, 2}, 2 = {1, 3}. (Если множества 1 ,2 не пересекаются, то неравенство (5.1.12) соответствует супераддитивности,которая в любом случае имеет место для определенной нами характеристической функции.) Поскольку {1, 2} ∪ {1, 3} = {1, 2, 3}, то с учетом формул(6.5.42) и (6.5.43) неравенство (5.1.12) может быть переписано как√︁3 2123 + 2123 + ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 ≥√︁√︁√︁2222≥ 12 + 12 + ℎ1 + ℎ2 + 13 + 13 + ℎ1 + ℎ3 + 21 + 21 − ℎ1 . (6.5.44)Это означает, что необходимо проверить неравенство√︁√︁√︁√︁2222223 123 + 123 ≥ 12 + 12 + 13 + 13 + 21 + 21 .(6.5.45)Однако (6.5.45) очевидно следует из неравенств 123 > 12 > 1 и 123 >12 > 1 .

Аналогично можно показать, что неравенство (5.1.12) справедливодля любого подмножества из . Таким образом, мы доказали выпуклость характеристической функции (0 , ). Это означает, что С–ядро, определенноедля характеристической функции (0 , ), ⊆ в игре Γ (0 ) не пусто исодержит в себе вектор Шепли [284].Вычислим значение вектора Шепли (5.1.11) в игре Γ (0 ).

Подставляя вы-Глава 6.226Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончанияражение для () согласно формуле (6.5.43), мы имеем√︁√︁√︁√︁11112222221 + 1 +2 + 2 +3 + 3 +212 + 212 +ℎ1 = −3 √︁6 √︁6 √︁611+213 + 213 −223 + 223 + 2123 + 2123 + ℎ1 (0 );6 √︁3√︁√︁√︁1111222222ℎ2 = −2 + 2 +1 + 1 +3 + 3 +212 + 212 +3 √︁6 √︁6 √︁611+2 + 223 −213 + 213 + 2123 + 2123 + ℎ2 (0 );6 √︁ 233√︁√︁√︁1111222222ℎ3 = −3 + 3 +1 + 1 +2 + 2 +213 + 213 +3 √︁6 √︁6 √︁611+223 + 223 −212 + 212 + 2123 + 2123 + ℎ3 (0 ).63(6.5.46)Аналогичным образом можно получить выражение для характеристической функции в подыгре Γ( * ()) начинающейся в момент (см. (2.2.8)):3√︁∑︁22ℎ ( * ()); ( (), ) = 3 123 + 123 +*(6.5.47)=1√︁* ( (), {, }) = 2 + 2 + ℎ ( * ()) + ℎ ( * ()),√︁* ( (), {}) = − 2 + 2 + ℎ ( * ()),, = 1, 2, 3; = 1, 2, 3.(6.5.48)Вектор Шепли в подыгре Γ ( * ()) имеет вид:√︁√︁√︁√︁1111222222 + 1 + + 2 + + 3 +212 + 212 +=−3 √︁ 16 √︁26 √︁3611+213 + 213 −223 + 223 + 2123 + 2123 + ℎ1 ( * ()),6 √︁3√︁√︁√︁1111222222ℎ2 = −2 + 2 +1 + 1 +3 + 3 +212 + 212 +3 √︁6 √︁6 √︁611+223 + 223 −213 + 213 + 2123 + 2123 + ℎ2 ( * ()),6 √︁3√︁√︁√︁1111222222ℎ3 = −3 + 3 +1 + 1 +2 + 2 +213 + 213 +3 √︁6 √︁6 √︁611+223 + 223 −212 + 212 + 2123 + 2123 + ℎ3 ( * ()).63ℎ1Проверим выполнение условия динамической устойчивости для полученного вектора Шепли.

Поскольку в нашем примере функция распределенияГлава 6.227Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончанияимеет вид () = 1 − − , формула (6.2.7) для ПРД имеет вид () = ℎ − (ℎ )′ .(6.5.49)Для = 1 получаем√︁√︁11 123 + 1 123221 () = ℎ1 (0 ) −1 + 1 + 2123 + 2123 + 3 √︀ 2( − 1) +23123 + 123√︁√︁√︁111 23 + 1 231212 + 212 +213 + 213 −223 + 223 + √︀ 2(6.5.50)+6636 1 + 21Очевидно, что нельзя гарантировать неотрицательность функции () из(6.5.50). Следовательно, вектор Шепли в нашем примере является динамически неустойчивым.Поскольку вектор Шепли состоит из единственного дележа, динамическаяустойчивость для него эквивалентна сильной динамической устойчивости. Следовательно, приведенная ниже регуляризация позволяет построить регуляризованный вектор Шепли, который будет сильно динамически устойчивым.Рассмотрим новую ПРД¯ () = ℎ∑︀3√︀*ℎ()+32123 + 2123ℎ(())1230=1√︀=ℎ. ( * (), )ℎ123 (0 ) + 3( + 1) 2123 + 2123(6.5.51)Определим регуляризованный вектор Шепли как∫︁ℎ =∞− ¯ ().(6.5.52)0Регуляризованный вектор Шепли является динамически устойчивым согласноТеореме 6.5.3.Введем следующие обозначения:0 =3∑︁ℎ (0 ),√︁ = 2123 + 2123 ,=1ℎ = + ℎ (()),Глава 6.228Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончаниягде – константы, зависящие от коэффициентов , и , и 123 + 123.ℎ (()) = ℎ (0 ) + 3 √︀ 2123 + 2123Тогда формула (6.5.52) эквивалентна следующей∫︁ℎ =0∞(︂)︂ 123 + 1230 + 3 + ℎ (0 ) +.0 + 3( + 1)−(6.5.53)Нетрудно проверить, что регуляризованный вектор Шепли (6.5.53) удовлетворяет необходимому условию:√︁¯ℎ1 +ℎ2 +ℎ3 = (0 , ) = (0 , ) = 3 2123 + 2123 +123 ·0 +123 ·0 +123 .Таким образом, вычисленный регуляризованный вектор Шепли (6.5.53) действительно является распределением общего выигрыша в игре Γ (0 ) с характеристической функцией ¯ (0 , ), ⊆ .Итак, мы построили сильно динамически устойчивый принцип оптимальности на основе классического вектора Шепли, т.е.

выбирая такой принцип,игроки не будут иметь оснований для нарушения соглашения в течение всейигры.6.6Сильно динамически устойчивое С–ядро в игреΓ (0, 0, )В данном разделе приводятся результаты из § 5.2, адаптированные для задачисо случайным моментом окончания.Рассмотрим игру Γ (0 , 0 , ). Предположим, что перед началом игры игроки договорились об использовании ими С–ядра (0 , 0 ) в качестве принципа оптимальности (0 , 0 ). В определении ПРД (6.2.2) не будем требоватьнеотрицательность () ≥ 0, ∀ ∈ [0 , ∞).Глава 6.Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания229Определение 6.6.1.

[27] Будем говорить, что C–ядро (0 , 0 ) является сильнодинамически устойчивым кооперативным решением в игре Γ (0 , 0 , ), если1. (* (), ) ̸= ∅, ∀ ∈ [0 , ∞);¯ )(0 , 0 ) и такая ПРД (∫︁ ∞(¯1 ( ), . . . , ¯ ( )), ∈ [0 , ∞), что ¯ =(1 − ( ))¯ ( ) и2. существует такой дележ ¯∈=0{︂^ =∫︁(1 − ())¯ () + (1 −0 ())^}︂∈ (0 , 0 ),∈∀{^ }∈ ∈ (* (), ), ∀ ∈ [0 , ∞). (6.6.54)Определение 6.6.1 означает, что среди дележей из C–ядра существует такойдележ ¯ , что отклонение от этого дележа в пользу любого другого дележаиз С–ядра в подыгре, приведет к суммарным выплатам в игре Γ (0 , 0 , ),которые все равно будут являться некоторым дележом из С–ядра.Определение 6.6.2. [223] Дележ ¯ ∈ (0 , 0 ), гарантирующий сильно динамическую устойчивость C–ядра, будем называть опорным решением.Сформулируем необходимые условия, гарантирующие (сильно) динамическую устойчивость С–ядра.Теорема 6.6.1.

Пусть (* (), ) ̸= ∅ , ∀ ∈ [0 , ]. Пусть C–ядро (0 , 0 )сильно динамически устойчиво в игре Γ (0 , 0 , ). Тогда существует множество дележей (0 , 0 ) ⊆ (0 , 0 ), т.ч. для любого ∈ (0 , ) ПРД (),Глава 6.230Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончаниявычисленная по формуле (6.2.2), удовлетворяет следующим условиям: (0 , 0 ; ) − (0 , 0 ; ∖ ) − (1 − ()) (* (), ; ) ≥∑︁ ∫︁ ( )(1 − ( )) ≥∈0 (0 , 0 ; ) − (1 − ())[ (* (), ; ) − (* (), ; ∖ )],(6.6.55)∀ ⊂ ,∑︁ ∫︁∈ ( )(1 − ( )) = (0 , 0 ; ) − (1 − ()) (* (), ; ). (6.6.56)0Доказательство. Доказательство Теоремы аналогично доказательству Теоремы 5.2.2.Заметим, что согласно Замечанию 1.4.1 для детерминированного случая () = 0, ∈ [0 , ).

Тогда из (6.6.55) имеем необходимые условия (5.2.38)для (сильной) динамической устойчивости для игры с предписанной продолжительностью.Теорема 6.6.2. Пусть (* (), ; ), ⊆ — непрерывно дифференцируемая функция по ∈ [0 ; ∞). Пусть (* (), ) ̸= ∅, ∀ ∈ [0 , ∞). Если существует дележ ∈ (0 , 0 ) и соответствующая ему ПРД (), ∈ [0 , ∞),такая что ∀ ⊂ справедливо∑︁ () ≥ () (* (), ; ) −∈∑︁∈ (* (), ; ), () = () (* (), , ) − (* (), , ; ), (6.6.57)то дележ ∈ (0 , 0 ) является опорным решением ¯ , а С–ядро (0 , 0 )является сильно динамически устойчивым кооперативным решением в игреΓ (0 , 0 , ).Доказательство. Доказательство аналогично доказательству Теоремы 5.2.1.Глава 6.Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания231Следствие 6.6.1.

Пусть (* (), ; ), ⊆ — непрерывно дифференцируемая функция по ∈ [0 ; ∞). Пусть (* (), ) ̸= ∅, ∀ ∈ [0 , ∞). Пустьсуществует дележ ∈ (0 , 0 ) и соответствующая ему ПРД (), ∈[0 , ∞), такая что ∀ ⊂ выполняется условие (6.6.57) Теоремы 6.6.2. Тогда ПРД () удовлетворяет неравенству()[ (* (), ; ) − (* (), ; ∖ )]−−[ (* (), ; ) − (* (), ; ∖ )] ≥∑︁≥ ().(6.6.58)∈Заметим, что достаточные условия (6.6.57) гарантируют выполнение «усиленных» условий Янга (6.3.18).

Таким образом, игроки будут защищены и ототклонений от соглашений в рамках кооперативного договора, и от иррационального отклонения от кооперативного в пользу некооперативного поведения.Пусть (0 , 0 , ) ⊆ (0 , 0 ) — множество опорных решений в С–ядре (0 , 0 ).Тогда справедливо следующее Следствие 6.6.2 из Теоремы 6.6.2.Следствие 6.6.2. Пусть характеристическая функция (* (), , ) непрерывно дифференцируема по ∈ [0 , ∞) и удовлетворяет следующему условиюдля ∀ ⊂ ,∀ ∈ [0 , ∞):( (* (), , ) − [ (* (), , ∖ ) + (* (), , )]) ≤≤ ()( (* (), , ) − [ (* (), , ∖ ) + (* (), , )]). (6.6.59)Тогда множество опорных решений (0 , 0 ) непусто.Заметим, что согласно Замечанию 1.4.1 для детерминированной задачи(() = 0) из (6.6.59) следует (5.2.37).Таким образом, алгоритм построения сильно динамически устойчивого C–Глава 6.Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания232ядра, описанный для задачи с предписанной продолжительностью в 5.2.1, может быть адаптирован для задачи со случайным моментом окончания.6.6.1Пример.

Проверка достаточных условий для сильно динамической устойчивости С–ядраРассмотрим пример, изученный в 6.5.1. Несложно показать, что построеннаяклассическим образом характеристическая функция (6.5.43) удовлетворяетдостаточным условиям (6.6.59) и, следовательно, множество опорных решений (см. Определение 6.6.2) в данной игре не пусто.Действительно,[︂]︂ (·, )− (·, {1, 2})− (·, {3}) −( (·, )− (·, {1, 2})− (·, {3})) =√︁√︁(1 3 + 1 3 )22− 3 123 + 123 + 212 + 212 − √︀ 2< 0. (6.6.60)1 + 21Таким образом, С–ядро непусто (см. 5.1.12) и является сильно динамическиустойчивым.В примере из § 6.4 достаточное условие для построенной характеристической функции (6.6.59) также выполнено, что непосредственно следует извыполнения неравенства (6.4.20))Глава 7Устойчивая кооперация вкооперативных дифференциальныхиграх со случайным моментомокончания.

Характеристики

Список файлов диссертации