Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Дисперсия оз при этом предполагается из- са а вестной. Как отмечалось в п. 13.5.4, оптимальный алгоритм (!3,71), (13.87) прп условии а,>ас несмещенный и не зависит от альтернативы. Пгэтому алгоритм, определяемый неравенствами ! я т' ока у„(х) = — ~ х; ~ а, + и является несмещенным равномерно наиболее мощным алгоритмом относительно сложной альтернативы К: а= аа. Однако, если проверяется гипотеза а=аз против сложной альтернативы ачьае, причем а может принимать любые действительные значения, то равномерно наиболее мощного правила не существует. Функция мощности для правила (13.95) имеет вид' 1 — В(а) = 1 — Р (х„— о пе '~/и ), о где Г(г) — интеграл Лапласа.
При а)ае, 1 — р(а) )а функция мощности монотонно возрастает при увеличении а и 1 — р(ас) =а. Но если а с.ае, то 1 — 8(а) (а, причем функция мощности убывает при уменьшении а (рис. 13.7). Таким образом, если не ограничивать значения параметра а, то правило (13.95) смещенное.
Если а(ае, равномерно несмещенный наиболее мощный алгоритм принятия решения при сложной альтернативе определяется неравенствами 1 т1 о» у„(к) = — ~ х, ~ а,— — ". тч )/и Можно показать (6), что для альтернативы, включающей все действительные значения параметра а, несмещенный равномерно наиболее мощный алгоритм определяется следующим образом: принимается решение т~ (отклоняется гипотеза Оа), если ! — ~„'х, — а, э — ~ (13.98) я ' Заметим, что при а=а1 формула (13.96) не отличается от (13.88а), так как о« вЂ” — (а~ — ао) )/п(о.
В рассматриваемом случае альтернатива включает все действительные значения параметра а и поэтому функция мощности совпадает с фуикпиеа вероятности правильного принятия альтернативы. В отличие от алгоритмов (13.95) и (13.97) алгоритм (13.98) двусторонний, так как критическая область определяется двумя поРогами аю~ох !2/)л и (пРи этом кРитическаЯ область двУсвазная). Функция мощности, соответствующая правилу (13.98) (штриховая линия на рис. 13.7), имеет вид 1 — р(а) = 1 — Г(Хам — ' ~/И вЂ” Г' — Ха!2 — ' )ЛП ) а ), а (13.99) ю !пах (Р' (х [а) = (2по') — ю!2 ехр [ — — ~', (хю — а)' ю ю где а= — 2; хс, то в соответствии с (13.62) а с=! юююх ((Г (х 1 а) Л(х) = = ехр 1 — — ч [аю — 2хд(а — сю) — аю]~ = 22 (х)аю) =ехр п или лс !- ~! [ — ", (-''2 *. —.,) ].
(13.100) Из (13.98) и (13.100) следует, что алгоритм максимального правдоподобия, определяемый неравенствами а /1 л Хсс/2 1и Л (х) = — ~ — 2; хю — а, [ (13.101) 2аю(~ а ю с,[ тс 2 является несмещенным РНМ алгоритмом при проверке простой гипотезы а=аю против сложной альтернативы аФаю. 13.5.8. Несмещеиный РНМ алгоритм проверки простой гипотезы о среднем против сложной альтернативы при неизвестной дисперсии. Необходимо проверить гипотезу Н о том, что выборка 350 и достигает минимума при а=аю 1 — !л (аю) = 2 [1 — Р (ха!2 ) ] = а.
При всех а)аю функция (13.96) превышает (13.99), так как для произвольного с~О г'(х !2 — с) — г (х„— с) )Р( — х !2 — с). При а=а, обе функции совпадают, но при а(аю мощность правила (13.95) меньше мощности правила (13.98).
Теперь в рассматриваемой задаче используем критерий максимального правдоподобия (13.62) и покажем, что статистика максимального правдоподобия [левая часть (13.62) ] представляет монотонную функцию статистики, определяющей алгоритм (13.98). Так как х„..., х„принадлежит нормальному распределению со средним и, и неизвестной дисперсией о', против сложной альтернативы К, что эта выборка принадлежит нормальному распределению со средним аида, и неизвестной дисперсией о'.
В этой задаче неизвестная дисперсия является мешающим параметром. Рассмотрим статистику ((х(а,) = 1(х„..., х„!аа) = л г ! ° . ч-!и = — 2; (х! — а,) ~ — ~, '(хд — а)'~~, п)!. (13.102) 'г' л с=! Для гипотезы Н, т. е. при независимых нормально распределенных выборочных значениях х! с параметрами (а„о'), эта статистика распределена по закону Стьюдента с п — 1 степенью свободы. Плотность вероятности для распределения Стьюдента 5„~ (!) = ~~ ) ( 1+ — ~, п) 1.
(13.103) Г((л — 1)/2] ''Г'л (л — 1) 1 л — ! / Обозначения 1 и 3„~(1) приняты в статистике для случайной величины (13.102) и ее плотности вероятности. Можно показать (см., например, [4Ц. гл. 3), что при а)а, несмещенным равномерно наиболее мощным является такое правило, при котором критическая область определяется неравенством (~~!а~ (13.104) где Ä— а-процентная точка распределения Стьюдента, т. е.
отклоняется гипотеза Н о том, что среднее равно ао при неизвестной дисперсии, если л Г ! л )пг — 2; х; — а,) ~ —;Я (хь — а)') (13.105) л!, ~л — 1~ Сравнивая правило (13.105) с аналогичным правилом (13.95) для проверки простой гипотезы о среднем против сложной альтернативы, когда дисперсия известна, замечаем: в (13.105) неизвестная дисперсия представлена выражением в квадратных скобках, а процентная точка х„ нормального распределения заменена процентной точкой („ распределения Стьюдеита. Если выборочные значения хь 1= 1, и, независимы, распределены нормально, но аФа,, то статистика г(х~па) подчиняется не- центральному распределению Стьюдента Я -!((, 5,) =(2лпГ ~ ])lп(п — 1)) х л х 7д' р ( —, (д+(! )/ — ", — 5„) (пр, а где б = (а — аю) ~/ п7о (13.105) (13.107) 351 (13.109) (13.
Ш) (13,П3) 352 — параметр нецентральности, при а=аь совпадающий с пара- метром а, определенным согласно (13.77). Используя (13.106), запишем выражение вероятности ошибки второго рода при использовании правила (13.105): ~(5„)= ~" Я„,(1, 5„)51. (13.108) Если а(ао, то равномерно наиболее мощное правило провер- ки сложной гипотезы о том, что среднее равно аю при неизвестной дисперсии, определяет критическую область неравенством (ср. с (13.97) 1 и ( 1 л 1 па — 2„'х; — а,( — ~ —;Е (хь — а) ~ а л ° 1 л 1 )lл В этом случае, когда альтернатива содержит все действитель- ные значения а, равномерно наиболее мощного правила не суще- ствует.
Но аналогично (13.98) правило, согласно которому гипо- теза Н отвергается, если ! — ~х; — ао~) ~ Х(хь — а)'~ (13.110) является наиболее мощным несмещенным правилом с заданной вероятностью а ошибки первого рода. При этом вероятность ошиб- ки второго рода ~вы () (бл) = ( 3., (1, 5„) 51. ам 13.5.9. Алгоритм максимального правдоподобия проверки ги- потез о среднем значении прн неизвестной дисперсии.
Рассмот- рим ту же задачу, что и в п. 13.5.8, но используем критерий мак- симального правдоподобия. Покажем, что в рассматриваемом слу- чае статистика максимального правдоподобия (см. левую часть (13.62) ] представляет, монотонную функцию статистики Стьюден- та (13.102). Максимум функции л ЧУ (х ~ а, о') = (2паз) — иа ехр — — 2: (х, — а)з (13.112) 2ол по двум переменным а и о' достигается при значениях этих пара- метров, удовлетворяющих системе уравнений п л л — ~'„(хь — а) = О, — ~„'(хь — а)з — — = О, о л лз л=1 лл откуда находим экстремальные значения параметров а и а'.
л а= — ~', х„, л о'= — 2; (х„— а)з. (13.114) л а Подставляя (13.113), (13.114) в (13.112), находим ГнаХ ((7 (Х(а, О') = (2ЛО') — л7г ЕХр ( — И!2). о,а' Аналогично (13.116) игах((7 (х(а„оо) = (2лоог)-и1г ехр ( — и/2), а' (13.116) где и йг = — 2„(х, — а,)'. о и и=! Тогда в соответствии с (13.62) игах%'(х(а, ао) 7 "г 1и7г ооах (Р (х(ао аг) „о а' Но из (13.102), следует, что )(13.117) (13.116) 1+ — оо(х(а„) = 1+ 1 (а — а,) ' и — 1 а о 1(хд — а)о + (а — ао)о) Х (хо — ао)о и=! аг о ао 13.6.
ПРОВЕРКА ПРОСТОИ ГИПОТЕЗЫ О ВЕКТОРЕ СРЕДНИХ МНОГОМЕРНОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРГДЕЛЕНИЯ ПРОТИВ ПРОСТОИ АЛЬТЕРНАТИВЫ 13.6.1. Постановка задачи н априорные данные. Имеется неоднородная зависимая выборка х= (х!, ..., х„) заданного размера и. Выдвигается простая гипотеза Но о том, что эта выборка подчиняется и-мерному нормальному распределению с вектором средних иг!(х(Но) =ао= (аоь ..., ао ), ао =!и!(хо(Но), 1=1, и, (13.121а) 353 12 — 87 У (хо — а)' ,)о и=! и=! т. е. Л(х) =-.
( 1+ — 1г(х!ао)1 (13.119) л — 1 Из (13.110) и (13.119) следует, что алгоритм максимального правдоподобия, определяемый неравенством Л (х) ( 1+ — (л1г) (13.120) л — 1 является несмещенным РНМ алгоритмом проверки простой гипотезы а=ао против сложной альтернативы а~ао при неизвестной дисперсии а'. против простой альтернативы Н! о том, что т!(х)Н!) =а!=(ап,, а,„), аи —— т!(хг(Н!), !=1, и. (13. 1216) При этом предполагается, что ковариационная матрица К=(К!!), К!;=соч(х!х(), (, (=1, п (13.121в) известна и одинакова как при гипотезе, так и при альтернативе. Функции правдоподобия выборки х на выборочном пространстве Х" (см. (2.64)) Я7(х(Но) =,.„., ехо à — — (х — ао)'К ' (х — а„)~, (13 122а) 1(7(х(Н,)= „,, ехр( — — (х-а,)'К '(х — а!)~.
(13. 1226) Задача состоит в установлении оптимального (по заданному критерию) правила выбора одного из двух решений уо ' т!(х) =а„у,: т,(х) =аь (13.123) 13.6.2. Достаточная статистика. Как и для независимой однородной выборки (см. п. 13.5.2), достаточной статистикой в рассматриваемой задаче является логарифм отношения правдоподобия. Из (13.122а) и (13.1226) находим 1и Цх) = 1и яг (х ~ Н!) =(а,— а,) К х— Вг (х)На) — — (а„+а,)'К ' (а„— а,). (13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
