Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(13.18) и (13.19)) тхе= лтт (1и !(х)!Н) = ( !р~ (г!Н)!п((г) с(г, (13.46а) б (13,436) пс =тх(1п1(х)(Нт) = ) В'1 (г!Н,) 1п((г) с(г, о (13,466) причем т~о(0, ты О, что непосредственно следует из формулы (14) задачи 13.6. 335 13.2.4. Усеченный последовательный алгоритм. Средние значения объема выборки, определяемые по формулам (13,45а и б), являются минимально возможными, если рассматривать любые другие правила выбора решений (в том числе и непоследовательные), гарантирующие ограничения вероятностей ошибок заданнымн значениями. Однако оговорка, что эта экономия длительности эксперимента достигается в среднем, весьма существенна.
Так как размер выборки и — величина случайная и ее возможные значения могут быть значительно больше среднего значения, то в конкретном эксперименте может оказаться, что оптимальный последовательный алгоритм принятия решения приведет к чрезмерно большому размеру выборки и окажется более длительным, чем непоследовательный. Естественно, приходит мысль о способе устранения этого недостатка, который заключается в том, что заранее устанавливается максимальный размер выборки пв,х, прв достижении которого последовательная процедура заканчивается и принимается одно из решений уо или у, в соответствии с одношаговым алгоритмом. Таким образом, можно обезопасить себя от случаев, когда л>лиоо.
Указанный алгоритм проверки гипотез называется усеченным последовательным. Для всех л(гьоох устанавливаются (как и для неусеченного алгоритма) два порога, с которым сравнивается отношение правдоподобия. Если размер выборки л=лмоо, то отношение правдоподобия сравнивается только с одним порогом согласно одношаговому алгоритму.
Чем меньше лмоо т. е. чем сильнее усечение, тем меньшим будет выигрыш в среднем времени, получаемом от последовательной процедуры. Усеченный последовательный алгоритм принятия решения формулируется следующим образом: если при размерах выборки лсл „алгоритм (13.39а — в) не пРиводит к выбоРУ одного из Решений (уо илв У,), то гипотеза Но отклоняется (принимается решение у,), если оюая 1п ! (к!) > !п с, 1 (13 47а) и принимается гипотеза Но (решение !го), есин ошах У 1и! (х!) с 1и с, 1=! (!3.47б) — <сс— 1 — а а (13.47в) При использовании этого правила вероятности ошибок аг„ ()то первого и второго рода могут оказаться большими заданных а, 3, так как принимаемые при этом ошибочные решения, возможно, не появились бы при продолжении испытаний (л>л „). Так как 3/(1 — а)<1, (1 — 8)/а>1, то из (13.47в) следует, что порог с= 1 прн использовании усеченного последовательного алгоритма всегда приемлем.
13.2.5. Байесовскнй последовательный алгоритм. Рассмотрим критерий качества последовательного алгоритма, учятывающий на каждом шаге стоимость эксперимента, пропорциональную средней его длительности, и потери, связанные с принятием ошибочных решений. Тогда условные риски при П„=Пи 4 й (см. (13.7) и (13.8)] го = По1а+ сот1(л) Но), г, = П,об+с,т,(л) НД, Первые два члена з (13.48) представляют средний риск без учета стоимости эксперимента, а последний член учитывает затраты, связанные с наблюдениями.
Оптимальными в смысле байесовского последовательного критерия качества будут правила остановки наблюдения и выбора решения после остановки, которые минимизируют полный средний риск (13.48). 338 где с — стоимость каждого наблюдения. Если известны априорные вероятности ро и р, гипотезы и альтернативы, то можно записать величину среднего риска (ом. (13.8)) )!=рого+р1г, или Н=роПо~а+р,П,ой+со(рот1(л(Но)+р,тАи)Нд.
(13.48) Доказано (см. [Зб), $ 4.2), что приведенное вальдовское последовательное правило остановки наблюдения и выбора решения, состоящее в сравнении отношения правдоподобия с двумя фиксировзннымн порогами, является оптимальным и для байесовского последовательного критерия. Для полного описания байесовского последовательного алгоритма необходимо определить неизвестные пороги сз и с, [см. (13.39а) — (13.39в)]. Можно показать, что эти пороги с, = р, (1 — а) Л ран), с, = р, (1 — Ь) /(р,Ь), (13.49к) (!3.496) где константы а и Ь находятся из системы трансцендентных уравнений йз(а) =аП,з, Яз(Ь) =ЬПм, (13.49в) где Йе(с) — байесовский риск при р,=с.
Примеры байесовских последовательных алгоритмов приведены в [39!. 13.3. МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНАЯ ЗАДАЧА ПРОВЕРКИ 1 ИПОТЕЗ 337 13.3.1. Постановка задачи и априорные данные. Выдвигаются пт+! гипотез Нс, Н,, ..., Н об исследуемом процессе. Задача со. стоит в том, чтобы по результату наблюдения реализации этого процесса, представленному в форме выборки х=. (х„..., х„) фиксированного размера и принять одну из гипотез и отклонить остальные. Иа выборочном пространстве, которое представляет и-мерное евклидовое пространство Х", заданы функции правдоподобия )йг(х(На), )с=О, и.
Известны, кроме того, априорные вероятности гипотез рл=Р(Нк), й=О, и, к рд=1. Пространство решений а=о Г состоит из т+! элементов уа, й=О, т, где уз — решение принять гипотезу На. Рассматривается класс 0 дискретно-аналоговых одношаговых алгоритмов принятия решения. Каждый алгоритм $~0 предписывает разделение пространства Х" на па+1 непересекающихся областей Хь, А=О, гп, [) Ха=Ха. Если наблюдаеа=о мая выборка попала в область Хь, то принимается решение 7з.
Элемент П;а)О матрицы потерь размером (т+1) Х (пг+1) представляет плату за решение Тю когда истинной была гипотеза Нь Вероятность Р (П = Пуа) = рг Р (х ~ Хь ! Ну) = ру ~ Н7 (х [ Ну) Йх. х 13.3.2. Байесовский алгоритм. Используя указанный комплект априорных данных, запишем выражение среднего риска [см. (12.12) 1 ж зг Н= 2', ~, 'Пзкр1 ) ((7(х(Н1) дх. (1З.ОО) 1 за=о ха Обобщая подход, использованный при выводе неравенств (13.12), можно доказать, что минимальное значение среднего риска (13.50) достигается в том случае, если к области Хо принятия решения уд, й= 1, т, относят точки х выборочного пространства Х", удовлетворяющие системе неравенств (байесовский алгоритм) 2~ (Пм Пгх) ' ~) Поо — Пап 1=0, т, Е'Фй, й= 1, т. Ро ГР(х1 На) (13.51) Область Хо принятия решения уо определяется из условия Х =Х" — () Х.
о=! Введем вектор отношений правдоподобия 1(х) = 11г(х), ... ..., Е (х)), где Ео(х) =!(Р(х!Но)/Я7(х! Н,), 1=1, т. (13.52) Тогда систему неравенств (13.51) можно (Пм Пго) Р Е (х))П о Пот 1 =0, т, г-г Ра переписать в виде Е уь й, Ег = 1, т. (13.53) Таким образом, для реализации байссовского алгоритма про- верки т+1 гипотез достаточно вычислить компоненты т-мерного вектора отношений правдоподобия. Иными словами, вектор отно- шений правдоподобия несет всю информацию о проверяемых ги- потезах, которая содержится в выборке заданного размера и яв- ляется в этом случае достаточной статистикой.
13.3.3. Проверка трех простых гипотез. Проиллюстрируем бай- есовский алгоритм (13.53) принятия решений на примере провер- ки трех простых гипотез Но, Нь Нг. Обозначая уг=(Р Еро)Е (х), запишем оптимальное байесовское правило выбора решения сле- дующим образом; 1) принимается решение Тг о том, что верна гипотеза Нь если (П1а — Пп)91+ (Пго — Пм)уг)~Па1 — Поо, (Пм — П|г)д~+ (П» — Пм)уг~)Паг — Пог, (13.54а) 2) принимается решение уг о том, что верна гипотеза Нг, если (П~а — Пгг)у1+ (Пго — Пгг) рг) >Поз — Поо, (Пм — П~г)уг+ (Пм — Пгг)Уг~>Пог — Па~', (13.546) 3) принимается решение уо о том, что верна гипотеза Но, если (П1а — П1г) у~+ (Пго — Пгг) уг(Пог — Поо. (Пго — Пгг) уг+ (Пго — Пгг) Уг (Пог — Поо, (13.54в) 338 (13.55) (13.57) 339 Переменные У~ У1 = (Руро ) 1~ (х), Уо (Ро!Ро)!о (х) Ро+Р~+Ро = 1 Уо «7 представляют функциональное преобразование п-мерного случайного вектора х с компонентами (хь ..., х„) в ут-т случайный вектор с неотрицательными у<у,< ! Ут -уо компонентами (уь у,).
В зависимости у -у <г от того, в какую из трех непересекаюшихся областей первой четверти плоскости, определяемых приведенными Уг системами двух неравенств, попадает рос !ХК Орласто оронятоо ооуказанный вектор, принимается одно монов из трех возможных решений. На рис. 13.3 показаны области принятия трех решений для частного случая, когда платы за правильные решения равны нулю, а платы за ошибочные решения равны между собой. 13.3.4. Алгоритм максимальной апостериорной вероятности.
Предположим, что матрица потерь неизвестна. Тогда можно синтезировать оптимальный алгоритм проверки т+1 гипотез Н,, Н„..., Н по критерию максимальной апостериорной вероятности '(см. п. 12.4.4). По формуле Байеса находим апостериорные вероятности гипотез, если в результате наблюдения получена выбор. ка х размером и, Р (Нд ! х) = ро В' (х ! Но) / 2„р; !У (х ) Н ), й = О, т, / о-о Из (12.25) и (13.55) получаем следующий оптимальный алгоритм по критерию максимальной апостериорной вероятности: принимается решение тд, если ро Чт (х!Но) = шах р !У (х!Нз). ов</ ха Вводя статистики отношения правдоподобия [см. (13.52)], запишем это правило выбора решения так: принимается решение 4!о, й=1, т, если ро!о (х) = шах р, 1;(х), (р~!Ро) 1~ (х) ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
