Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1, 1= 1, т, они<а и решение то, если (Роро)1;(х)< 1, 1'=1, т. (13.57а) Алгоритм максимального правдоподобия является частным случаем алгоритма максимальной апостериорной вероятности при равновероятных гипотезах Н,, Н„ ..., Н . Многоальтернативная задача проверки гипотез при других критериях качества (минимаксном, Неймана — Пирсона) рассмат- ривалась в 135, 40]. 13.4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 13.4.1. Проверка простой гипотезы против сложной альтернативы.
По принятой в 3 12.6 терминологии априорная неопределенность относится только к неполному знанию функций правдоподобия выборки. Предположим, что функции правдоподобия представляют однопараметрическое семейство функций й7(х!д), депОн при гипотезе Н и )Р(х!д), д=Ок прн альтернативе К. Если интервалы Он и Ок вырождаются в точку, т. е. Он=до н Он=до то приходим к рассмотренному случаю проверки простой гипотезы Но.
д=до против простой альтернативы Н,: д=д1 (случай полной априорной информации). В этом случае алгоритм, предписывающий сравнение с порогом достаточной статистики отношения правдоподобия !(х) = В'(х!д,)/%'(х(до), является оптимальяым по критерию Неймана — Пирсона: при заданной вероятности а ошибки первого рода (уровня значимости) минимизнруется вероятность () ошибки второго рода (достигается в терминах статистики максимальная мощность).
Когда гипотеза Н простая д=до, а альтернатива К сложная депОк, то р=р(д), депОк и можно попытаться найти такое правило выбора решения (т. е. разбиение пространства выборок на две области Хо и Х~), которое при заданной верхней границе вероятности а ошибок первого рода минимизирует вероятность ошибки второго рода р(д) (илн максимнзирует мощность 1 — (! (д) ! для всех простых гипотез, содержащихся в сложной альтернативе К. Такое правило называют равномерно наиболее мощным (РНМ). Если существует равномерно наиболее мощное правило выбора решения при проверке простой гипотезы против сложной альтернативы, то оно, по существу, не отличается от такого же правила, соответствующего простой альтернативе, так как при этом неоднозначность, возникающая из-за того, что Ок представляет множество значений параметра д, не имеет значения, так как критическая область Х, одна и та же для всех значений депОк.
Существование равномерно наиболее мощного правила выбора решения при проверке простой гипотезы против сложной альтернативы является скорее исключением, нежели правилом. Можно попытаться сузить класс правил и искать в этом меньшем классе правил равномерно наиболее мощное. К одному из таких суженных классов принадлежат так называемые неемещенные правила. Эти правила должны удовлетворять следующему условию: вероятность отвергнуть ложную гипотезу не меньше вероятности отвергнуть правильную. Иначе говоря, вероятность а ошибки первого рода является нижней границей значений функций мощности 1 — р(д) для всех значений д, т.
е. Р(хяХ,!де=Он) =1 — (!(д) >а=Р(хяХ1(д=до). (13.58у 340 Если р(б) — непрерывная функция, то минимальное значение 1 — р(б) достигается при 6=да и в точности равно а, так как 1 — р (до) = Р(хенХ~ (0= ба) =а. (13.58а) Равномерно наиболее мощное правило всегда является несме- щенным. Если же такого правила нет, то все же может сущест- вовать несмещенное равномерно наиболее мощное правило.
Заметим, что оптимальное по критерию Неймана — Пирсона правило выбора решения при проверке простой гипотезы против сложной альтернативы не имеет, вообще говоря, структуры бай.- есовского правила, как это имело место при простой альтернативе. 13.4.2. Проверка сложной гипотезы против сложной альтерна- тивы. Когда и гипотеза Н сложная, то вероятность ошибки пер- вого рода зависит от параметра д, принадлежащего некоторому множеству Оп (области неопределенности), Можно попытаться найти так называемый класс подобных правил выбора решения, удовлетворяющий условию Р (х е= Хд(0) = )г )г' (х(6 е= 6л) дх = а.
(13.59) х, Если критическая область Х~ удовлетворяет условию (13.59), то ее называют подобной пространству выборок, так как интеграл по всему выборочному пространству ) (г' (х(0 ~ Ол ) дх = 1, хл т. е. также не зависит от неизвестного параметра О. Теперь зада- ча состоит в том, чтобы в классе подобных правил найти такое, которое является равномерно наиболее мощным для всех значе- ний бенОх. Конечно, как и в рассмотренной в п.
13.4.1 более про- стой ситуации, решение указанной задачи может и не существо- вать, Тогда следует попытаться найти его в более узком классе правил, вводя дополнительные предположения. Одним из таких предположений является несмещенность, которая ограничивает класс функций мощностей, равных для любого 0 вероятности по- падания выборки в критическую область 1(д) =Р(хенХ~(0).
(13.60) Ясно, что при таком определении функции мощности она равна вероятности правильного принятия альтернативы К, когда 0~Ох, я вероятности ошибки первого рода, когда бенОп Условие не- смещенности правила выбора решения при проверке сложной ги- потезы Н против сложной альтернативы К формулируется следу- ющим образом: при заданном значении а >а, бяОк, 1(0) (13.61а) (а, дяОл. (13.61б) Отметим, что иногда при синтезе правила выбора решения в рас- сматриваемом случае класс правил ограничивают дополнитель- ным условием инвариантности правила относительно некоторой группы преобразования координат выборочного пространства.
34$ (13.63а) 13.4.3. Алгоритм максимального правдоподобия. При проверке сложной гипотезы Н о том, что параметр бездн, против сложной альтернативы К о том, что бен6к, можно использовать алгоритм максимального правдоподобия. В этом случае принимается решение у~ (отвергается гипотеза Н), если для наблюдаемой выборки х выполняется неравенство шах 1г'(х~б)/ шах 77 (х~б)) с, (13.62) вявк бевн и решение уа (принимается гипотеза Н) в противном случае. Заметим, что структура правила максимального правдоподобия не совпадает с байесовской при некоторых частных значениях порога, как это было при проверке простой гипотезы против простой альтернативы.
13.4.4. Проверка гипотез о векторном параметре функции правдоподобия. Понятие равномерно наиболее мощного правила и несмещенного РНМ правила непосредственно обобщаются на случай неизвестного векторного параметра функций правдоподобия. Однако отыскание таких правил представляет, в общем, достаточно трудную задачу (см. (35)). Достаточно просто в этом случае обобщается принцип максимального правдоподобия. Алгоритм максимального правдоподобия при проверке гипотезы Н: денйп против альтернативы К: бенах совпадает с (13.62), если скалярные величины заменить векторными.
Иногда по условию задачи неизвестные компоненты векторного параметра функции правдоподобия классифицируют как информационные и мешающие параметры. Предположим, что при гипотезе Н информационный параметр задан д=дш а мешающий тге=Вн, и при альтернативе К информационный параметр также задан д=дь а мешающий 6~8к. Если мешающие параметры случайны и известны их совместные плотности вероятности ~вы(Ф) и шк(д), то их можно исключить усреднением функций правдоподобия В'(х~д, 60), дайн и %'(х~д, Ф~), де=61к.' в(х16,) = ) шн(д)%'(х16, Ф,) Йд, ен в (х16,) = ~ шк (6) Я7 (х16, Ю,) ЙФ. (13.636) вк Тогда задача сводится к проверке простой гипотезы против простой альтернативы об информационном параметре. Оптимальное по любому критерию правило выбора решения предписывает сравнение с порогом достаточной статистики отношения усредненных функций правдоподобия 1(х) =и(х)д~)/гв(х1до).
(13.64) Если гипотеза н/или альтернатива об информационном параметре сложная, то после усреднения функций правдоподобия по мешающим параметрам приходим к задачам, рассмотренным в п.п.13.4.1 и 13.4.2. 342 13.3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ГАУССОВСКОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (13.656) 343. 13.5.1. Постановка задачи и априорные данные. Выдвигается.
гипотеза Но, что среднее значение гауссовской случайной вели- чины я равно ао, против альтернативы Н!, что этот параметр рас- пределения $ равен а!. Имеется случайная выборка х= (х! ..., х„) заданного размера и, представляющая возможные значения Задача состоит в том, чтобы, используя эту выборку, принять нли отклонить гипотезу Но. Так как элементы выборки независимы и подчиняются нормальному закону распределения, то на выбороч- ном пространстве Х" функции правдоподобия (см. (266)1 %'(х(Но)= Ц(2ло') — Поехр[ " о 1= о=! 2ао л = (2ло') — "1о ехр — — 2'„(хд — ао)', (13.65а) 2ао о Ят(х(Но) = П(2лоо) — Поехр ~ о=! [ 2ао л =- (2ло') — "1о ехр — — ч' (х„— а!)о, 2ао !, где оо — дисперсия гауссовской случайной величины. Возможными решениями являются 'уо!а=т!Д)Но)=ао, т!: а=то($)Н!)=а!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
