Автореферат (1137412), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Д. А Новиков),Институт проблем управления им. Трапезникова РАН, Москва, 13 ноября 2008г., доклад "Доминирующее, слабоустойчивое и непокрытое множества:свойства и обобщения";6.Научный семинар отдела "Математическое моделирование экономическихсистем" Вычислительного центра РАН (научный руководитель академик РАНА.А. Петров), Москва, 19 ноября 2008г., доклад"Доминирующее,слабоустойчивое и непокрытое множества: свойства и обобщения";7.IV Международная конференция по проблемам управления, Институтпроблем управления им.
Трапезникова РАН, Москва, 26-30 января 2009 г.,доклад "Доминирующее, слабоустойчивое и непокрытое множества: свойства иобобщения";8.Научный семинар лаборатории теории игр и принятия решения Санкт-петербургскогоэкономико-математическогоинститутаРАН(научныйруководитель д.ф.-м.н. Е.Б. Яновская, Санкт-Петербург), 27 мая 2009 г., доклад"Концепции решений задачи коллективного выбора";9.Научный семинар кафедры теории управления факультета прикладнойматематики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного7университета (научный руководитель д.ф.-м.н. В.Д. Ногин), Петергоф, 28 мая2009 г., доклад "Концепции решений в задаче коллективного выбора.Доминирующее, слабоустойчивое и непокрытое множества";10. Международная конференция ADRES (Association pour le Développementde la Recherche en Economie et Statistiques) в честь Мориса Салля, университет г.Кан (University of Caen), Кан, Франция, 11 июня 2009 г., доклад "StableSolutions on Majority Relation", соавтор - Ф.Т.
Алескеров;11. Международная конференция Association of Southern European EconomicTheorists (ASSET) Annual Meeting 2009, Босфорский Университет, Стамбул,Турция, 31 октября 2009 г., доклад "Stable Solutions to the Social Choice Problem:Dominant, Weakly Stable, Uncovered Sets and their Extensions", соавтор - Ф.Т.Алескеров;12. Публичная лекция в университете Bilgi, Стамбул, Турция, 5 ноября 2009г.Тема лекции "Solutions on Majority Preference Relation";13. Научный семинар кафедры алгебры механико-математического факультетаМосковского государственного университета, Москва, 17 ноября 2009 г.,доклад "Устойчивые решения в задаче коллективного выбора и их матричновекторное представление", соавтор - Ф.Т. Алескеров;Результаты исследования также опубликованы в 5 работах, список,которых приводится в конце автореферата.Структура и объем диссертации.
Диссертационная работа состоит извведения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 72наименований. Основная часть работы изложена на 95 страницах, содержит 7рисунков и 4 таблицы и 1 приложение.8II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо Введении содержится краткое обоснование актуальности выбраннойтемыисследования,формулируютсяцельизадачидиссертационногоисследования, приводится краткое описание структуры диссертации.Первая глава диссертации содержит постановку задачи, определения иобозначения основных понятий и концепций, историю их возникновения иобзор состояния исследований в данной области. Поскольку отправной точкойисследования является то обстоятельство, что ядро в общем случае может бытьпусто, основное внимание в обзоре уделяется работам конца 70-х - начала 80-хгг. прошлого века, где и были введены основные решения, которыепредлагалось использовать вместо ядра.В разделе 1.1 строится математическая модель ситуации коллективноговыбора,определяютсяотношениемажоритарногодоминирования,моделирующее предпочтения коллектива, и отношение равенства голосов .Отношение мажоритарного доминирования есть бинарное отношение µ намножестве альтернатив A, µAA, строящееся следующим образом: xy тогдаи только тогда, когда альтернатива x является (строго) более предпочтительнойчем y для большинства (каким угодно образом определенного) субъектовпроцесса принятия коллективных решений.
Показывается, как отношениеможет быть представлено ориентированным графом. Вводятся понятия шага,пути,нижнегоальтернативойконтураx),L(x)верхнего(множестваконтураальтернатив,D(x)(множествадоминируемыхальтернатив,доминирующих над x) и горизонта H(x) (множества альтернатив, находящихсяс x в отношении равенства голосов).
Также вводится понятие турнира - важногочастного случая, когда отношение мажоритарного доминирования являетсяполным, то есть когда для любой пары альтернатив можно сказать, какая из нихболее предпочтительна для большинства.В разделе 1.2 даются определения таких решений как победительКондорсе CW (альтернатива, доминирующая над всеми другими при парном9сравнении), ядро Cr (множество недоминируемых альтернатив, то естьмножествомаксимальныхэлементовотношениямажоритарногодоминирования), доминирующее множество D (множество, в котором любаяпринадлежащая ему альтернатива доминирует над любой не принадлежащейемуальтернативой,доминирующееконцепциямножествоMDвведенаБ.Уордом),(доминирующееминимальноемножество,ниоднособственное подмножество которого не является доминирующим, концепциявведена Дж.Смитом, Н.Миллером, Т.Шварцем), недоминируемое множество U(множество, в котором любая принадлежащая ему альтернатива недоминируеманикакой не принадлежащей ему альтернативой, концепция введена Б.Уордом),минимальное недоминируемое множество MU (концепция введена Т.Шварцем).Вводится запирающее отношение (альтернатива a запирает альтернативу b,если a доминирует над b, и не существует пути от b до a) и такое решение какнезапертое множество UT (множество максимальных элементов запирающегоотношения, концепция введена Дж.Дугганом).
Также в этом разделе строятсяобобщенияминимальногодоминирующегомножества-минимальныедоминирующие множества высших порядков MD(i).В разделе 1.3 приводятся пять версий определения отношения покрытия .Например, третья версия определения - альтернатива a покрывает альтернативуb, если ab и D(a)D(b). Соответственно, вводится пять версий такого решениякакнепокрытоемножествоUC(множествомаксимальныхэлементовотношения покрытия, концепция введена Н.Миллером и П.Фишберном).
В этомразделе также определяется отношение захвата (в турнире альтернатива aзахватывает альтернативу b, если ab, и не существует пути от b до a длиныменее четырех шагов). Вводится незахваченное множество UCp (множествомаксимальныхэлементовотношениязахвата,концепциявведенаДж.Дугганом).
Обсуждаются история введения данных концепций и ихинтерпретация.10В разделе 1.4 вводится понятие слабоустойчивого множества WS (онообладает следующим свойством: если x принадлежит WS, и какая-тоальтернатива y, не принадлежащая WS, доминирует над х, то в WS обязательнонайдетсяальтернативаФ.Алескеровымиz,доминирующаяЕ.Курбановым).надОпределяетсяy,концепциятакоевведенарешениекакминимальное слабоустойчивое множество (слабоустойчивое множество, ниодно собственное подмножество которого не является слабоустойчивыммножеством).Предметом второй главы диссертации является сравнительный анализосновных множеств, построенных с помощью отношения мажоритарногодоминирования.
Сравниваются ядро, пять версий непокрытого множества, двеверсии минимального слабоустойчивого множества, незахваченное, незапертое,минимальное недоминируемое и минимальное доминирующее множества. Вкачестве задачи рассматривается вопрос о наличии или отсутствии логическойсвязи между всеми этими множествами-решениями.Связи между доминирующими и минимальными доминирующимимножествами разных порядков устанавливается Леммами 2.1, 2.2 и 2.3.Лемма 2.1. Если D1 и D2 - доминирующие множества, то имеет местолибо D1D2, либо D2D1.Лемма 2.2.
Минимальное доминирующее множество единственно ивсегда непусто.Лемма 2.3. Если D - доминирующее множество, тогда D есть прямаясумма некоторого числа i минимальных доминирующих множеств первых iпорядков (начиная с первого и заканчивая i-ым, без пропусков),D=MD+MD(2)+…+MD(j-1)+MD(j)+…+MD(i).Согласно Леммам 2.1, 2.2 и 2.3 множество всех доминирующих множествв A для любого µ может быть представлено как последовательность некоторогочисла s множеств D(i), 1is, строго вложенных друг в друга:MDD(2)…D(i-1)D(i)…D(s)=A,D(i)=MD+MD(2)+…+MD(j-1)+MD(j)+…+MD(i), D(i)\D(i-1)=MD(i).11По построению минимальные доминирующие множества различныхпорядков не пересекаются, а объединение всех таких множеств совпадает с A.Следовательно, любая альтернатива из А принадлежит к одному и толькоодному множеству MD(i).
Таким образом, иерархию доминирующих множествможно рассматривать как макроструктуру множества A, в которой всеэлементы(тоестьальтернативы)распределеныпо"вертикально"упорядоченным уровням {MD(i)}.Во-вторых, в данной главе локализуется определение минимальногослабоустойчивого множества, то есть формулируется критерий, с помощьюкоторого проверяется принадлежность любой альтернативы какому-либоминимальному слабоустойчивому множеству.
В случае турнира данныйкритерий дается Теоремой 2.1.Теорема 2.1. Если µ является турниром, то альтернатива x принадлежитобъединению минимальных слабоустойчивых множеств MWS тогда и толькотогда, когда 1) либо сама x - непокрыта, 2) либо какая-то из альтернатив,принадлежащих нижнему контуру x, непокрыта.С помощью этого критерия устанавливается, что непокрытое множествоявляетсяподмножествомобъединенияминимальныхслабоустойчивыхмножеств. Попутно предлагается новое определение слабой устойчивостимножеств (множество B слабоустойчиво тогда и только тогда, когда существуетпуть в один шаг от какой-либо альтернативы из B до любой альтернативы, непринадлежащей B), которое совпадает со старым определением в случае, если - турнир, и, соответственно, предлагается новая версия такого решения, какобъединение минимальных слабоустойчивых множеств- MWSII.
Теорема 2.1обобщается на случай произвольного отношения .Теорема 2.1a. Для отношения мажоритарного доминирования µпроизвольного вида альтернатива x принадлежит объединению минимальныхслабоустойчивых множеств MWSII тогда и только тогда, когда 1) либо xнепокрыта согласно третьей версии определения отношения покрытия, 2) либо12какая-то из альтернатив, принадлежащих нижнему контуру x, непокрытасогласно третьей версии определения отношения покрытия.Наконец, для всех рассматриваемых множеств-решений устанавливаетсяналичие или отсутствие отношения вложения, как в общем случае, так и длятурниров.
Полученные результаты приводятся в таблицах 1 и 2.Таблица 1. Соотношение множеств-решений. Общий случай.UCI UCII UCIII UCIV UCV MWSI MWSII UCp MU UTMDCrUCIn.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. n.n.n.n.n.n. n.n.n.n.n.n.n.n. n.n.n.n.n.n.n.n.n.n. n.n.n.n.n.n.n.n. n.n.n.n. n.n.UCIIUCIIIUCIVUCVMWSIMWSIIUCpMUUTТаблица 2. Соотношение множеств-решений. Турниры.UCI UCII UCIII UCIV UCV MWSI MWSII UCp MUUT MDCrUCI=========UCIIUCIIIUCIVUCVMWSIMWSIIUCpMU=UT13Втретьейрассматриваетсяглавепонятиерассматриваютсятурниры.обобщенно-устойчивойДлятурнировальтернативы(введеноФ.Алескеровым) и вводится понятие обобщенно-устойчивого множестваальтернатив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
