Автореферат (1137408), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Результаты диссертацииносят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшегоизучения теории представлений алгебр Ли, геометрии многообразий флагов, атакже комбинаторики выпуклых многогранников и алгебраической комбинаторики.Методология и методы исследования. В работе использованы различные методы теории представлений полупростых и аффинных алгебр, а такжеметоды теории решеточных многогранников.Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:∙«Пятая летняя школа-конференция по алгебрам Ли, алгебраическим группам и теории инвариантов», июнь 2015, Самара.9∙“25-th British Combinatorial Conference”, июль 2015, Уорикский университет.∙На семинаре «Выпуклая и алгебраическая геометрия» в НИУ ВШЭ (неоднократно).Публикации.
Материалы диссертации опубликованы в 3 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах [1, 2] и 1 препринт [3].Личный вклад автора. Работа [2] подготовлена в соавторстве с Б. Л. Фейгиным. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту,отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4глав с 17 разделами, библиографии и 1 приложения.
Общий объем диссертации102 страницы. Библиография включает 27 наименований.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанатеоретическая значимость полученных результатов.В первой главе приводятся предварительные сведения, использованныев диссертации. Она составлена из пяти разделов, в которых последовательновведены:∙формула Каца–Вейля для неприводимого характера и определение функций Холла–Литтлвуда,∙определение многогранников Гельфанда–Цетлина и комбинаторная формула для многочленов Шура,∙комбинаторная формула для классических многочленов Холла–Литтлвуда,10∙определения подпространств Фейгина–Стояновского и мономиальных базисов в интегрируемых неприводимых представлениях алгебры∙̂︀ ,slпонятие валюации и теорема Бриона для выпуклых рациональных многогранников.Во второй главе формулируются основные результаты диссертации.
Онасоставлена из четырех разделов следующего содержания.В первом разделе формулируется обобщение теоремы Бриона (взвешеннаятеорема Бриона). Оно представляет сумму экспонент целых точек в выпукломрациональном многограннике с весами, зависящими от минимальной грани, содержащей точку, в виде суммы по вершинам многогранника.Во втором разделе приводятся результаты для финитного случая. Показывается, что теорема Бриона для многогранника Гельфанда–Цетлинаопределенной специализациихарактера.
Вкладыпоследает формулу для характера неприводимого (( )) вершин описаны нижеследующей теоремой, из которой следует формула Вейля для характера.Теорема 1. У множества вершин многогранникамножество, параметризованное орбитой ∈ ,⎛ (( )) ==а для всех остальных вершин⎜⎝есть выделенное подгруппы Вейля. Для вершиныэтого подмножества, соответствующей∑︁изимеем⎞⎟⎠,(1 − / )∏︀1≤<≤ (( )) = 0.При этом для регулярного весавыделенное подмножество вершин совпадает с множеством простых вершин.В том же разделе показывается, что вес целой точки многогранника Гельфанда–Цетлина в комбинаторной формуле для многочленов Холла–Литтлвуда определяется минимальной гранью, содержащей точку. Это означает, чтоможно применить взвешенную теорему Бриона к многогранникуи данной11системе весов и получить тем самым формулу для многочленов Холла–Литтлвуда.
Результат этой процедуры описывается аналогом теоремы 1.В третьем разделе представлена новая комбинаторная формула для аффинной функции Холла–Литтлвуданого множестваΠ ,определяется вес .Для каждого элементакомбинаторпараметризующего мономиальный базис из раздела 1.4,() ∈ Z[].Тогда центральный, в определенном смысле, результат работы имеет такой вид.Теорема 2. Для целочисленного доминантного ненулевого̂︀ -веса slвыполнено тождество =∑︁() ,∈Πгде— вес соответствующего элементубазисного вектора.В четвертом разделе вводится бесконечномерный многогранникточки которого параметризуются множествомΠ .Π,целыеДля этого многогранникаформулируется определенный аналог теоремы Бриона.
Затем объясняется, каким образом для этого случая можно написать аналог теоремы 1, из которогопоследует формула Каца–Вейля для характера. Далее, для многогранникаи определенных в предыдущем разделе весовшенной теоремы Бриона. Вклады вершин()Πформулируется аналог взвеописываются очередным аналогомтеоремы 1, из которого вытекает справедливость теоремы 2:Теорема 3. В множестве вершин многогранниказанумерованное орбитойa) Если вершинает ∈ , ,Π выделяется подмножество,со следующими свойствами.принадлежит выделенному подмножеству и соответствуто−1 ∑︁ = ()=(︂(︂∏︀− (1 − ∈Φ+∏︀∈Φ+(1 −− )))︂)︂.12b) Для всех остальных вершинимеет место = 0.(Здесь использованы некоторые стандартные обозначения, которые вводятся в главе 1.)В третьей главе разрабатывается комбинаторный арсенал, необходимыйдля доказательства теорем о вкладах вершин из предыдущей главы.В первом разделе доказывается взвешенная теорема Бриона и несколькосвязанных с ней вспомогательных фактов.Во втором разделе определяется и обсуждается понятие вырождения многогранника и его взаимодействие с теоремой Бриона и взвешенной теоремойБриона.В третьем разделе вводятся обобщенные многогранники Гельфанда–Цетлина.
Для них доказывается некоторая теорема о занулении, близкая по природек феноменам зануления, отмеченным в теоремах 1 и 3.В четвертом разделе доказывается лемма, описывающая вырождения обобщенных многогранников Гельфанда–Цетлина.Четвертая глава посвящена доказательству теорем о вкладах вершин изглавы 2.В первом разделе этой главы доказываются результаты из раздела 2.1 омногогранниках Гельфанда–Цетлина. Для этого непосредственно применяетсятехника из предыдущей главы.Дальнейшие разделы посвящены аффинному случаю. Во втором разделеисследуется структура бесконечномерного многогранникаΠ и при помощи предельного перехода доказывается аналог взвешенной теоремы Бриона для этогомногогранника.В третьем разделе обсуждается некоторый комбинаторный подход к многогранникуΠ и его атрибутам, который обнаруживает связь между Π и многогранниками из предыдущей главы.В четвертом разделе подход из предыдущего раздела используется для13представления касательного конуса кΠв виде индуктивного предела последовательности обобщенных многогранников Гельфанда–Цетлина.
Это дает возможность вычислить вклады вершин при помощи результатов из предыдущейглавы и предельного перехода и доказать тем самым теорему 3.Список публикаций1. Махлин И. Ю. Характеры подпространств Фейгина–Стояновского и теоремаБриона // Функц. анализ и его прил. 2015. Т. 49. С. 18–30.2. Feigin B., Makhlin I. A combinatorial formula for affine Hall–Littlewood functionsvia a weighted Brion theorem // Selecta Mathematica.2016.URL:http://link.springer.com/article/10.1007/s00029-016-0223-4.3.
Makhlin I. Weyl’s Formula as the Brion Theorem for Gelfand-Tsetlin Polytopes // Working papers by Cornell University.2014.«Функциональный анализ и его приложения». URL:В печати в журналеhttp://arxiv.org/abs/1409.7996.Цитированная литература4. Гельфанд И. М., Цетлин М. Л. Конечномерные представления группы унимодулярных матриц // Доклады Академии наук.
1950. Т. 71. С. 1017–1020.5. Molev A. Weight bases of Gelfand-Tsetlin type for representations of classicalLie algebras // J. Phys. A. 2000. Vol. 33. P. 4143–4168.6. Littelmann P. Cones, crystals, and patterns // Transform. Groups. 1998. Vol. 3.P. 145–179.7. Berenstein A., Zelevinsky A. Tensor product multiplicities, canonical bases andtotally positive varieties // Invent. Math.
2001. Vol. 143. P. 77–128.8. Feigin E., Fourier G., Littelmann P. PBW filtration and bases for irreduciblemodules in type// Transformation Groups. 2011. Vol. 16. P. 71–89.149. Feigin E., Fourier G., Littelmann P. PBW filtration and bases for symplecticLie algebras // Int. Math. Res. Not. 2011. Vol. 24. P. 5760–5784.10.
Macdonald I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. 2nd edition. NewYork: Oxford University Press, 1995.11. Стояновский А. В., Фейгин Б. Л. Функциональные модели представленийалгебр токов и полубесконечные клетки Шуберта // Функц. анализ и егоприл. 1994. Т.
28. С. 68–90.12. Feigin B., Stoyanovsky A. Quasi-particles models for the representations of Liealgebras and geometry of flag manifold. 1993. URL:http://arxiv.org/abs/hep-th/9308079.13. Primc M. Vertex operator construction of standard modules for(1)// PacificJ. Math. 1994. Vol. 162. P. 143–187.14. Feigin B., Jimbo M., Loktev S. et al. Bosonic formulas for (k,l)-admissible partitions // Ramanujan J. 2003. Vol. 7. P.
485–517.15. Feigin B., Jimbo M., Loktev S. et al. Addendum to “Bosonic Formulas for (k,l)-Admissible Partitions” // Ramanujan J. 2003. Vol. 7. P. 519–530.16. Cherednik I. A New Take on Spherical, Whittaker and Bessel Functions. 2009.URL:http://arxiv.org/abs/0904.4324.17. Fishel S., Grojnowski I., Teleman C. The strong Macdonald conjecture andHodge theory on the Loop Grassmannian // Ann.
of Math.2008.Vol. 168.P. 175–220.18. Локтев С. А., Фейгин. Б. Л. О финитизации тождеств Гордона // Функц.анализ и его прил. 2001. Т. 35. С. 53–61..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
