Автореферат (1137332)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиМутафян Георгий СеменовичХарактеры представлений квантовой̂︁̂︁1тороидальной алгебры gl01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чиселАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2014Работа выполнена на факультете математики Национальногоисследовательского университета «Высшая школа экономики».Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессорБорис Львович ФейгинОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,старший научный сотрудник Институтатеоретической физики им.

Л.Д.ЛандауЯрослав Петрович Пугайдоктор физико-математических наук,ведущий научный сотрудник Институтатеоретической и экспериментальной фи­зикиЮрий Александрович НеретинВедущая организация:Федеральное государственное бюджетноеучреждение науки Математический ин­ститут им. В.А. Стеклова РАНЗащита состоится 28 октября 2014 г. в 16:00 на заседании диссертационного сове­та Д002.077.03 при Институте проблем передачи информации им.

А.А.ХаркевичаРАН, расположенном по адресу: 127994, г.Москва, ГСП-4, Большой Каретныйпереулок, 19, стр.1.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачиинформации им. А.А.Харкевича РАН.Автореферат разослан «»2014 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,кандидат физико-математических наукА. Н.

СоболевскийОбщая характеристика работыАктуальность темы исследования. -алгебры активно изучаютсяв последние десятилетия в связи с их широким применением во многих фи­зических и геометрических вопросах. Возникли они изначально как попыткипостроить достаточно широкий класс примеров конформных теорий поля.

Насовременном языке большая часть структуры конформных теорий поля задаёт­ся т.н. вертекс-операторной алгеброй, т.е. алгеброй, снабжённой операторнымпроизведением, и -алгебры, будучи частным случаем вертекс-операторныхалгебр, позволяют такие теории строить.Первоначально -алгебры возникли как результат редукции аффиной ал­гебры Ли по подалгебре нильпотентных токов. Большинство известных на се­годняшний день -алгебр построены именно так. Самый изученный случай — -алгебры, ассоциированные с gl или sl ([1], [2], [3]).̂︁̂︁1 , характеры которой вычисляются вКвантовая тороидальная алгебра glнастоящей работе, может рассматриваться как деформация таких -алгебр.̂︁̂︁1 является очень сложной задачей.

ВКлассификация представлений алгебры gl2011 г. Б.Л. Фейгину с соавторами в работе [4] удалось выделить класс представ­лений (названных представлениями Мак-Магона), которые можно явно опи­сать в терминах комбинаторных объектов, известных как плоские разбиения.По сути конструкция этих представлений напоминает реализацию представле­ний алгебры gl в терминах базиса Гельфанда-Цетлина. В дальнейшем [5] эта̂︀̂︀ и её представления. Возникла есте­конструкция была обобщена на алгебру glственная задача – вычислить характеры этих представлений как производящиефункции соответствующих плоских разбиений.

Отметим, что вычисление ха­рактеров является первым и важным шагом в изучении представлений в кон­формной теории поля. Знание характеров позволяет сравнивать конформныетеории с теориями, построенными другими способами (скажем, с решётчатымитеориями), поскольку через характер в них выражаются статистические суммы.1Также отметим, что для -алгебр характер их модуля Верма (получаю­щегося редукцией из модулей Верма для алгебры токов) равен 1∞ , где ∞ =∏︀∞=1 (1− ), и поэтому можно предположить, что искомые характеры будут вы­ражаться в виде ()(∞ ) ,т.е.

в виде разложения по базису из характеров модулейВерма (иначе говоря будут иметь вид, аналогичный формуле Вейля). В диссер­тации вычисляются характеры некоторых построенных представлений алгебры̂︁̂︁1 , и тем самым доказывается, что такие формулы действительно имеют место.glСтепень разработанности темы исследования. Интерес к кванто­вым тороидальным алгебрам возрос, когда выяснилось, что они возникают вгеометрических вопросах, а также в топологической теории поля. Ввиду этогоони активно изучаются последние примерно 10 лет.̂︁̂︁1 реализована как эллиптическая алгебра Холла.

ВВ работе [6] алгебра glэтой работе она появляется геометрически как алгебра, построенная по катего­рии когерентных пучков эллиптической кривой.̂︁̂︁1 на пространстве когерентныхВ работе [7] изучается действие алгебры glкогомологий пучков на A2 .В работе [8] доказано, что квантовые тороидальные алгебры gl изоморф­ны двойным shuffle-алгебрам Фейгина-Одесского, что позволило в дальнейшемдоказать гипотезу Кузнецова о К-теории.В работах Накаджимы [9, 10] по колчанным многообразиям было показано,что на когомологиях К-теории таких многообразий действуют обёртывающиеалгебры разнообразных квантовых групп.

В частности многообразия инстанто­нов в топологической теории Янга-Миллса – это частный случай колчанныхмногообразий, и на их эквивариантных К-теориях действуют квантовые торои­дальные алгебры. Поэтому теория представлений тороидальных алгебр нашласвои применения в теории поля и геометрии. С другой стороны геометрия истан­тонных многообразий позволяет понять многое о представлениях.

В частностиоказывается, что в некоторых представлениях имеются естественные базисы, вкоторых действия образующих тороидальных алгебр даются явными матрица­2ми. Базисные вектора с геометрической точки зрения - это неподвижные точкидействия тора на инстантонных многообразиях. (См. [11], [12], [13], [14]).Цели и задачи диссертационной работы: Цель работы – вычислить̂︁̂︁1 как производящие функциихарактеры некоторых представлений алгебры glплоских разбиений.

Описание самих представлений можно найти в главе 1.Здесь мы приведём сразу комбинаторную формулировку задачи в том виде,как она решается в диссертации.Будем обозначать Z↓ множество наборов из нестрого убывающих целыхчисел. Т.е если k ∈ Z↓ , то k = (1 , . . . , ),1 ≥ 2 ≥ · · · ≥ , ∈ Z.Подмножество множества Z↓ , состоящее из наборов неотрицательных чисел,будем обозначать Z+↓ .Определение 1. Обобщённым плоским разбиением с граничным условием k =(1 , . .

. , ) ∈ Z+↓ называется набор целых неотрицательных чисел , , , ∈N, удовлетворяющих условиям:1. ∀, > 0 : , ≥ ,+1 , , ≥ +1, ,2. , ≥ при > 0, 1 ≤ ≤ ,3. || < ∞,где величина ||, называемая весом разбиения, определяется следующим обра­зом:|| =(︃∑︁ ∑︁>0, +>∑︁)︃(, − ) .(1)=1()При заданных целых , > 0 и заданном k ∈ Z+↓ обозначим Akмножествовсех плоских разбиений с граничным условием k и дополнительным условием+1,+1 = 0.()Множество Ak(2)̂︁̂︁1индексирует базис некоторых представлений алгебры gl(соответствющих резонансному случаю, см. п.

1.3 диссертации), и характер та­3ких представлений может быть записан как производящая функция()∑︁k () = || .(3)()∈AkВычисление этой производящей функции и является целью диссертации.Положения, выносимые на защиту.Перечислим основные научные положения и результаты диссертации.1. Получена формула характера для случая k = (0, 0, . . . , 0) (без потери⏟⏞общности подразумевается ≥ ):1(),,00 () = (0,0,0)=×(∞ )+(︃∑︀1∑︁∏︁(2 +(2−1) )|t| 2 =1 ×(−1) (1 − − +− )k∈Z+↓1≤<≤)︃∏︁(1 − − +− )1≤<≤(4)где мы считаем = 0, если > , ∞ =∞∏︀(1 − ).=12. Получена формула характера для случая произвольного k и = :(),,0k () = (k,0,0)=−∑︀(−1)=1∑︁(∞)2sgn()(︃ (︃ +∞∏︁ ∑︁=1∈S)︃)︃(−1) ( −+())+ (+1)2=0(5)Здесь S – симметрическая группа.3.

Получена формула характера для произвольных k, , :,,0(k,0,0) −|k|−k ∑︁=sgn()^(k) ()(∞ ) ∈Sгде ˆ – оператор Z → Z , определённый следующим образом:∀ = (1 , . . . , ) ∈ Z :4(ˆ()) = () − () + ,(6)и ∀ = (1 , . . . , ) ∈ Z :(︃[︂]︂ )︃∏︁∑︁(− )2 +(− )+−12 () =(−1) .−1≥0=14.

Алгоритм сформулирован в виде, отличном от традиционно при­меняемого в комбинаторике. В новой формулировке алгоритм напрямуюприменяется к плоским разбиениям и позволяет явно отслеживать изме­нение плоского разбиения при пошаговом преобразовании в N-матрицу.5. Предложен подход к вычислению производящих функций, основанный начастичном преобразовании плоского разбиения: в отличие от традицион­ного алгоритма , последнее приводится не к нулю, а к паре (плоскоеразбиение, -матрица), что позволяет разложить искомую производящуюфункцию в произведение двух других производящих функций (формула(9)), одна из которых является хорошо известной, а другая может бытьнайдена методами теории представлений.Отдельно следует прокомментировать три формулы для производящихфункций (4), (5), (6). При подстановке k = (0, .

. . , 0) в формулу (6) получаетсявыражение, отличное от (4), хотя обе формулы задают производящие функцииодного и того же множества. Точно так же при подстановке = в формулу(6) получается выражение, отличное от (5). По-видимому, совпадение этих фор­мул, которое можно проверить прямым раскрытием скобок, является нетриви­альным комбинаторным фактом даже при малых значениях индексов. Авторунеизвестно прямое арифметическое доказательство этого факта.Научная новизна.∙ Формула (4) была высказана в [4] в качестве гипотезы, однако её доказа­тельство не было известно. Оно было получено в работе [15] сочетаниемкомбинаторно-алгебраических методов.5∙ Формула (5) впервые в явном виде получена в работе [16], хотя идеи еёполучения и доказательства излагались в той же работе [4].

В этом слу­чае (при = ) искомая производящая функция может быть вычисленатолько методами теории представлений, без вмешательства комбинатори­ки.∙ Формула (6) впервые получена и доказана в работе [16]. В доказатель­стве используется обобщение комбинаторного подхода, применявшегосяпри доказательстве (4), и методов теории представлений, применявшихсяпри доказательстве (5).Теоретическая значимость. Полученные в диссертации результатыимеют теоретическое значение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации