Диссертация (1137329), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для этого используется градиентная модель теплопроводности. Подстановка (2.2) в (2.5)позволяет определить общее решение (2.7), которое представляется следующим выражением:(︁ ( )3 ( ) 1 − ( ) · () =21 − 222)︁(︁(−, )/1, −(−, )/− 2, )︁+)︁ ( )1 (︁1(−, )/−(−, )/2+ 2, +3, ( − , ) + 2 1, + ( )2 ( )+ 3, ( − , ) + 4, , (2.7)где , , = 1, 4 — постоянные интегрирования, которые определяются прирешении соответствующей системы уравнений из граничных и краевых условий.Краевые условия на внутренних поверхностях контакта слоев (,+1 , =1, − 1) для градиентной модели термоупругости формулируются следую56щим образом:⎧⎪⎪⎪ (,+1 ) = +1 (,+1 ),⎪⎪(︂)︂(︂)︂⎪⎪dd⎪+1⎪⎪=,⎪⎪dd⎪,+1 )︂,+1 (︂⎪)︂(︂⎪3⎪dd⎪2⎪⎪− ( )+ ( )⎪3⎪dd⎪,+1⎪(︃ ,+1 (︂)︃⎪)︂⎪2⎪⎪2 d Δ⎪+()()− ( )Δ (,+1 ) =⎪⎪2⎪d⎨,+1)︂)︂(︂(︂ 3d+1d+12= +1 (+1 )− +1 (+1 )+1+⎪⎪3⎪dd⎪,+1,+1⎪(︃)︃⎪(︂ 2)︂⎪⎪dΔ+1⎪2⎪++1 (+1 ) +1 (+1 )+1− +1 (+1 )Δ+1 (,+1 ) ,⎪⎪2⎪d⎪,+1)︃⎪(︃(︂⎪)︂(︂)︂⎪2⎪d dΔ⎪2⎪−()=()⎪⎪⎪d2 ,+1d ,+1⎪⎪(︃(︂)︃⎪)︂)︂(︂⎪2⎪d +1dΔ+1⎪2⎪=().−()⎪+1+1+1+1+1⎩d2 ,+1d,+1(2.8)На внешних поверхностях необходимо поставить следующие граничные условия:⎧)︂(︂ 3 )︂(︂d 1d1⎪2⎪⎪− 1 (1 )1+1 (1 )⎪3⎪dd⎪00)︂)︂(︂(︂⎪⎪2⎪dΔ1⎪⎪− 1 (1 )Δ1 (0) = 0,+1 (1 ) 1 (1 )12⎪2⎪d⎪0(︂⎪(︂(︂)︂)︂ )︂⎪2⎪ddΔ11⎪⎪− 1 (1 )= 0,⎨1 (1 )122dd0(︂)︂(︂ 3 )︂ 0dd ⎪⎪ ( )− ( )2+⎪⎪3⎪dd⎪(︂ (︂ 2)︂)︂⎪⎪dΔ⎪⎪⎪+ ( ) ( )2− ( )Δ () = 0,⎪2⎪d⎪(︂(︂(︂ 2 )︂)︂ )︂⎪⎪⎪ddΔ⎪2⎪− ( )= 0.⎩ ( )d2 d (2.9)Нетрудно убедиться, что классические напряжения, которые входят вуравнение равновесия и в граничные условия модели, будут равны нулю врассматриваемой постановке задачи (как и в классической модели термоупругости).
В среде будут возникать только напряжения, связанные с градиентной57составляющей деформаций.Вследствие учета градиентных эффектов модель предсказывает возникновение неоднородного распределения деформаций: в области высокой изменяемости температурного поля возникает концентрация деформаций и напряжений. Этот эффект принципиально не возникает в классическом решении(при → 0 модель переходит в классический вариант модели термоупругости).На Рис. 2.3 и 2.4 представлены результаты моделирования распределения деформаций и напряжений по толщине СКМ, полученные в рамках градиентной теории термоупругости для структуры, состоящей из 14 пар чередующихся слоев оксида алюминия и хрома толщиной 40 и 35 мкм соответственно и испытывающей перепад температуры с 1 500 до 500 К между внешнимиграницами.Рис.
2.3.Распределение деформаций по толщине СКМ оксид алюминия-хром,полученное в рамках градиентной теории термоупругости для толщинкерамического и металлического слоев 40 и 35 мкм соответственно итемператур внешних границ 1 500 и 500 К58Рис. 2.4.Распределение напряжений по толщине СКМ, полученное в рамкахградиентной теории термоупругости для толщин керамического иметаллического слоев 40 и 35 мкм соответственно и температур внешнихграниц 1 500 и 500 КАнализ результатов расчетов с применением градиентной теории термоупругости позволяет сделать вывод о том, что локальные градиентные эффекты дают существенный вклад в напряженно-деформированное состояниеизучаемой слоистой структуры и важны с точки зрения предсказания параметров прочности и трещиностойкости. Еще более существенным их учетстановится для структур, в которых параметр «градиентности» сопоставим столщиной слоев.
Это имеет место для микроструктурированных сред в целоми, в частности, для многослойных композитов с характерной толщиной слоевзначительно меньше 1 мм.2.3. Идентификация параметров градиентной моделиКак отмечалось ранее, градиентные модели характеризуются наборомвходных параметров, которые нуждаются в предварительной идентификации.59Так, основными параметрами градиентной модели теплопроводности являются величины и , а параметром модели термоупругости — величина .С физической точки зрения величина определяет линейный размер областиградиентного взаимодействия, в пределах которой осуществляется плавноеизменение температуры при переходе от одного слоя к другому. Чем большей протяженностью обладает данная область, тем более плавно происходитизменение температуры. Величина , в свою очередь, характеризует термобарьерные свойства межфазной области.
Чем больше , тем больший температурный скачок реализуется на межфазной границе и тем большим термическим сопротивлением она обладает. Варьирование параметров может происходить в достаточно широком диапазоне, и корректность их выбора напрямую влияет на достоверность и точность получаемых результатов и степеньих соотвествия экспериментальным данным. Важно отметить, что параметры градиентных моделей не могут быть определены аналитически и требуютпроведения идентификации исключительно на основе данных эксперимента.Идентификация параметров и градиентной модели теплопроводности в настоящей работе проводилась на основе экспериментальных данных теплофизических испытаний многослойных теплозащитных покрытий(ТЗП), состоящих из чередующихся слоев оксида циркония, стабилизированного оксидом иттрия ZrO2 +8 Y2 O3 , и слоев никеля Ni, нанесенных на меднуюили стальную подложку газотермическим методом в условиях низкого вакуума [79].
Идентификация параметров проводилась с использованием двухотличающихся типов структур ТЗП (I и II) (Таблица 7).Целью эксперимента являлось определение эффективного коэффициента теплопроводности покрытия. Испытуемые макеты представляли собойстальные подложки в форме диска диаметром 25 мм с нанесенными с одной из их плоских сторон многослойными ТЗП соответствующей структуры(Рис. 2.5).В ходе эксперимента покрытие контактировало с плазмой, создаваемой сверхзвуковым соплом трехфазного плазмотрона мегаваттного класса60Таблица 7.Структурные характеристики и параметры теплофизических испытаниймногослойных ТЗП (ZrO2 + 8 Y2 O3 )−NiТип структурыКоличество слоевОбщая толщина покрытия, мкмТолщина слоев ZrO2 + 8 Y2 O3 , мкмТолщина слоев Ni, мкмПерепад температур на покрытии, КЭффективная теплопроводность покрытия, Вт/(м · К)(а).
Общий видI11123,817,34220(1 500 ÷ 1 280)1,1II5982019100(1 590 ÷ 1 490)1,8(б ). В сборе с узлом охлаждения:1 — внешний водоохлаждаемыйкорпус; 2 — внутренняя вставнаячасть с макетомРис. 2.5.Испытанный макет ТЗПтипа «Звезда» (Рис. 2.6, а). Поверхность подложки испытуемых макетов охлаждалась водой с использованием независимого замкнутого контура охлаждения с регулировкой давления и расхода хладагента. В контуре охлажденияпроводились измерения температур (на входе и выходе) и расхода хладагента.Таким образом, обеспечивался контроль тепловой мощности, отводимой от испытуемого образца.
Перед проведением испытаний определялись коэффициенты конвективной теплоотдачи с обеих сторон стенки испытуемого макета,что позволило в дальнейшем пересчитать измеренное значение теплового потока через стенку макета в соответствующий перепад температур на стенке идать оценку эффективной теплопроводности ТЗП в рабочем температурном61режиме. Измерение параметров эксперимента (температуры, давления, расхода хладагента) осуществлялось с использование высокоточных датчиков,поверенных государственной метрологической службой.Принципиальная схема проведения эксперимента представлена на Рис. 2.6, б .Приняты следующие обозначения: в — массовый расход хладагента; в —удельная теплоемкость хладагента; покр — эффективный коэффициент теплопроводности покрытия; Δ — толщина образца; — толщина покрытия; 0и в — коэффициенты теплообмена внешних поверхностей образца с плазмойи хладагентом (водой) соответственно; 1 — температура хладагента на входе; 2 — температура хладагента на выходе; 1 — температура внешней поверхности подложки образца; 2 — температура границы между подложкойобразца и покрытием; 3 — температура внешней поверхности покрытия.(а).
Общий вид(б ). Принципиальная схемаРис. 2.6.Экспериментальный стенд для проведения теплофизических испытанийТЗПОпределение параметров градиентной модели и на основе экспериментальных значений коэффициентов эффективной теплопроводности проводилась путем решения нелинейной оптимизационной задачи поиска локаль62ного минимума величиныΔ(, ) = |eff (, ) − expeff |(2.10)на интервалах изменения параметров = 10−6 ÷ 10−4 м2 · К/Вт, = 10−7 ÷ 10−5 м. Здесь функцияeff (, ) =· (, )Δпредставляет эффективный коэффициент теплопроводности слоистой структуры, выраженный в рамках градиентной модели через обобщенный тепловойпоток (, ) и перепад температур на наружных поверхностях слоистойструктуры общей толщиной .
Величина expeff представляет собой экспериментально определенное значение эффективного коэффициента теплопроводности.Таким образом, задача сводится к нахождению значений и из заданных интервалов, при которых абсолютное значение разности величин eff (, )и expeff минимально.Приведем строгую математическую формулировку рассматриваемой задачи в наиболее общем виде, что позволит ее использовать в дальнейшем прирешении других подобных оптимизационных задач, которые встречаются вданной работе.Необходимо решить нелинейную оптимизационную задачу видаmin (x),x∈Ωгде — целевая функция, x представляет собой вектор из оптимизационныхпараметров. Область задания параметров ограничена гиперкубом: ≤ ≤ , = 1, .В качестве верхних и нижних границ могут выступать +∞ и −∞ соответственно.
Кроме того, наложены нелинейные ограничения в виде неравенств (x) ≤ 0, = 1, 63и, возможно, равенствℎ (x) = 0, = 1, .Если точка x удовлетворяет всем граничным условиям и ограничениям,то она называется допустимой точкой, а множество всех допустимых точексоставляет область допустимых решений.Возможна постановка двух типов существенно отличных по своей сложности задач: нахождение глобального экстремума и нахождение локального экстремума целевой функции. Задача глобальной оптимизации состоит внахождении такой допустимой точки, которая доставляет минимум целевойфункции на всей области допустимых решений.
Задача локальной оптимизации намного проще — поиск локального минимума в некоторой малой окрестности области допустимых решений для заданного нулевого приближения.Знание аналитически определенных градиентов целевой функции и функций-ограничений существенно ускоряет процесс нахождения решений. Однако в рассматриваемых в данной работе задачах оптимизации структуры композитного материала нахождение аналитических выражений для указанныхфункций не представляется возможным.
Поэтому предлагается ограничиться следующими, не требующими задания производных алгоритмами поискарешения: для глобальной оптимизации — [80, 81], а для локальной — [82, 83].Численная реализация описанной процедуры нелинейной оптимизации быларазработана автором.Применительно к решаемой задаче в качестве целевой функции (x)рассматривалась величина Δ(, ), определяемая выражением (2.10), с вектором оптимизационных параметров x = (, ).При расчете были использованы зависимости теплофизических константматериалов слоев ТЗП (Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
