Автореферат (1137316), страница 2
Текст из файла (страница 2)
профессора Г. Б. Шабата (мех-мат МГУ, 2008-2009 гг., неоднократно).− Семинар «Маломерная математика» под руководством д.ф.-м.н.С. В. Дужина (Санкт-Петербург, 2014 г.)Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:− Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летиюсо дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 28 мая - 3 июня 2008 г.)− Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, апрель2009 г.)− Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, апрель2011 г.)5− Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2013»(Новосибирск, 18-31 августа 2013 г.)− Международная конференция «Примитивные формы и связанныеобъекты» (Япония, Токио, 10-14 февраля 2014 г.)− Школа-конференция «Модули кривых» (США, Стони-Брук, 7-18июля 2014 г.)− Международная конференция «Вложенные графы» (Санкт-Петербург,27-31 октября 2014 г.)− Школа-конференция «Неделя молодых ученых» (Франция, Марсель, 8-14 февраля 2015 г.)ПубликацииРезультаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (4 из которых входят в перечень ВАК), список которых приведен в конце введения.Структура диссертацииДиссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав исписка литературы.
Главы разбиты на разделы и параграфы. Полныйобъем диссертации — 79 страниц, библиография включает 47 наименований.Краткое содержание работыВведение к диссертации состоит из обзора литературы и кратого обзоратекущего положения исследований тем, затронутых в диссертации.Содержание главы 1В первой главе определяются пространство Гурвица, страты пространства Гурвица. Формулируется задача Гурвица, описываются известные компактификации пространства Гурвица.Определение 1. Рассмотрим пространство мероморфных функций накривых рода g, у которых кратности прообразов в ∞ равны k1 , .
. . , knи остальные критические значения простые. Множество таких функцийобразует пространство комплексной размерности k1 + . . . + kn + n + 2g − 2.Мы можем пронумеровать полюса (прообразы точки ∞) n! способами,что определяет накрытие кратности n! над пространством мероморфных функций. На тотальном пространстве этого накрытия действуетаддитивная группа C, прибавлением к функции константы. Выбором6этой константы можно добиться того, что сумма конечных критическихзначений функции будет равняться нулю, поэтому пространство орбитотождествляется с пространством мероморфных функций с нулевой суммой конечных критических значений.
Это пространство мы будем обозначать через Hg;k1 ,...,kn и называть пространством Гурвица.Определение 2. Через Hg;k1 ,...,kn мы будем обозначать пополнение пространства Hg;k1 ,...,kn состоящее из стабильных мероморфных функций нанодальных кривых рода g с полюсами порядков k1 , . . . , kn .
Его граница Hg;k1 ,...,kn \ Hg;k1 ,...,kn состоит из стабильных функций на, быть может,особых кривых, единственные допустимые особенности которых — этоточки простого двойного самопересечения.Естественная проекция Hg;k1 ,...,kn → Mg;n продолжается до проекцииHg;k1 ,...,kn → Mg;n . Послойная проективизация P Hg;k1 ,...,kn является компактным комплексным орбиобразием.По формуле Римана–Гурвица общая мероморфная функция из пространства Hg;k1 ,...,kn имеет k1 + .
. . + kn + n + 2g − 2 невырожденных критических значения — их количество равно размерности пространства.Функции с меньшим количеством критических значений в образе образуют дискриминант в пространстве P Hg;k1 ,...,kn .Определение 3. Замыкание в P Hg;k1 ,...,kn множества функций, имеющих ветвления предписанного типа будем обозначать через σµ1 ;...;µr , гдеиндекс состоит из набора разбиений кратностей прообразов над вырожденными критическими значениями. Эти подмногообразия называютсястратами дискриминанта.Содержание главы 2Мероморфных функций с одним критическим значением не бывает,а мероморфные функции с двумя критическими значениями исчерпываются функциями z n : CP 1 → CP 1 .Раздел 2.1 посвящен мероморфным функциям на кривых рода g с неболее чем тремя критическими значениями.
Такие функции называются функциями Белого и образуют страты размерности 0 в пространствеГурвица.Определение 4. Пара Белого — это пара (X, f ), состоящая из алгебраической кривой X и функции Белого f .Определение 5. Вложенный граф, вершины которого окрашены в двацвета так, что каждое ребор соединяет вершины противоположных цветов, называется гиперкартой.7Выбором координаты на прямой-образе можно добиться того, чтобы критические значения функции Белого имели координаты 0, 1 и ∞.При таком выборе прообраз f −1 ([0, 1]) отрезка [0, 1] задает гиперкартуна кривой X — прообразы точки 0 служат белыми вершинами, прообразы точки 1 — черными, а ребра являются замыканиями компонентсвязности прообраза f −1 ((0, 1)) открытого интервала (0, 1).
Следуя [32],гиперкарту как представление пары Белого будем называть детским рисунком.Во второй главе вычислены пары Белого всех шестиреберных детскихрисунков с нетривиальной группой автоморфизмов рода 3 с единственной вершиной.Теорема 6. Все пары Белого детских рисунков рода 3 с 6 ребрами,группа автоморфизмов которых имеет порядок 12, это функция Белого f = x6 на кривой y 2 = x(x6 − 1).Теорема 7. Все пары Белого детских рисунков рода 3 с 6 ребрами, группа автоморфизмов которых имеет порядок 3, это:1.
функция Белого√f=3+2 2√ x,3на плоской кривойz 6 + z 3 x2 (3 +√3) − z 3 x(1 +√3) =√ !3(x5 − 3x4 + 3x3 − x2 ),1+2записанной в координатах (x : 1 : z).2. функция Белого√f=3−2 2√ x,3на плоской кривой63 2z + z x (3 −√33) − z x(1 −√3) =√ !31−(x5 − 3x4 + 3x3 − x2 ),2записанной в координатах (x : 1 : z).Пары Белого детских рисунков с симметрией порядка 2 указаны вследующей теореме:8Теорема 8. Все пары Белого детских рисунков рода 3 с 6 ребрами, группа автоморфизмов которых имеет порядок 2, это:1. Функция Белого1 4 5 3 3 21 6 3 5 9 4z − z + zf =− z + z − z +1+y848884на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривой:y 2 = (z + 1)(z 3 − 3z 2 − 4)при разветвленном накрытии степени 2w2 = z − 3.2.
Ещё три пары Белого — это выраженная той же формулой функцияБелого на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойy 2 = (z + 1)(z 3 − 3z 2 − 4)при разветвленном накрытии степени 2w2 = ui , i = 2, 3, 4; u2,3,4 = (z − 3)(z + 1)(z − α), где α3 − 3α2 − 4 = 0.3. Четыре пары Белого с функциейf = −1 −135 6 81 5 135 4 9 439z + z −z − z y − z2y + z3y848848на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойy 2 = 225z 4 − 90z 3 + 69z 2 + 108z + 60,при разветвленном накрытии степени 2w2 = (±y +15 2 915z − z + )(z − α),424где 5α2 − 6α + 5 = 0.4.
Две пары Белого с функциейf = z3на кривой, являющейся прообразом гиперэллиптической кривойzy 2 = (z 2 + z + 1),39при разветвленном накрытии степени 2w2 = (y + z)(z − 1);и на кривой, являющейся прообразом кривойy 2 = −z(z 2 + z + 1),при разветвленном накрытии степени 2w2 = (y + z)(z − 1).Раздел 2.2 посвящен стратам размерности 1 в пространстве Гурвица.Определение 9. Фундаментальная группа пространства конфигурацийиз k попарно различных точек на CP 1 называется группой кос Гурвицаи обозначается Hk .Группа кос Гурвица Hk имеет стандартный набор образующих σ1 , .
. . ,σk−1 : образующая σi соответствует элементарной положительной косе,меняющей местами i-ую и (i + 1)-ую точки.Определение 10. Последовательность перестановок [g1 , . . . , gr ], gi ∈Sn , такая, что группа hg1 , . . . , gr i транзитивно действует на множествеиз n элементов и такая, что g1 · . . . · gr = id называется созвездием. Набор [µ1 , . . . , µr ] разбиений числа n, состоящий из цикловых структур µiперестановок gi называется паспортом созвездия.Каждой гиперкарте естественно сопоставляется 3-созвездие:− множество, на котором действует группа, это множество ребер гиперкарты;− перестановка g1 поворачивает ребра вокруг вершин первого цвета;− перестановка g2 поворачивает ребра вокруг вершин второго цвета;− перестановка g3 переводит каждое ребро в следующее в соответствии с ориентации ребро той же грани, причем ребро считаетсяпринадлежащим данной грани, если при обходе этой грани в положительном направлении мы проходим ребро от вершины первогоцвета к вершине второго цвета.Наоборот, как нетрудно видеть, каждому 3-созвездию естественно сопоставляется гиперкарта, так что указанное соответствие взаимно-однозначно.В свою очередь, мегакарты являются гиперкартами специального вида.10Определение 11.
Мегакарта — это множество E, элементами которого являются неизоморфные классы 4-созвездий, а само оно является орбитой действия подгруппы P группы H4 . P = hΣ, A, Φi, гдеΣ = σ12 , A = σ22 , Φ = σ2−1 σ32 σ2 , σ1 , σ2 , σ3 — образующие группы косГурвица H4 .Оказывается [47], на каждой связной компоненте компактификациипространства пар {(S, y)}, где S — 4-созвездие с фиксированным паспортом, а точка y ∈ CP 1 \ {0, 1, ∞} существует функция Белого. Крометого, соответствующий детский рисунок однозначно определяется перестановками Σ, A и Φ.Теорема 12. Детский рисунок, соответствующий мегакартам приg(C) ≤ 2 и deg(f ) ≤ 4 имеет род 0.Теорема 13. Всего существует 57 связных мегакарт с g(C) = 2 иdeg(f ) = 5 при 16 различных паспортах и 21 связная мегакарта сg(C) = 3 и deg(f ) = 5 при 5 различных паспортах.
Максимальное количество ребер среди соответствующих детских рисунков равно 40.Содержание главы 3Третья глава посвящена изучению различных стратов в пространствах Гурвица, вычислению чисел Гурвица и производящих рядов длячисел Гурвица. Обозначим через bσ0 (r) количество разложений перестановки σ0 ∈ Sn в произведение r перестановок (некоторые из которыхмогут быть тождественными), удовлетворяющих следующим условиям:− группа, порожденная этим набором из r перестановок, действуеттранзитивно на множестве из n элементов;− соответствующее разветвленное накрытие имеет род 0.Будем называть числа bσ0 (r) числами Буске-Мелу–Шеффера [24]. Черезbn (r) обозначим число Буске-Мелу–Шеффера в случае, когда перестановка σ0 — это полный цикл длины n.В разделе 3.1 приведено новое доказательство формулы для чиселbn (r):Теорема 14.rn1.bn (r) =n n−111(1)Доказательство теоремы 14 основано на формуле Гульдена и Джексона [30] о числе упорядоченных разложений циклической перестановки в произведение r перестановок фиксированных циклических типов инепосредственно использует геометрическую природу стратов пространства Гурвица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
